二项式定理教案

1 / 20 二项式定理教案 公主岭第三高级中学 数学组 张鹤 一 解二项式定理的形成和过程，掌握二项式定理，会用其展开式的通项求某一项。 解二项式定理的推导过程进行类比，归纳推理推出二项式定理掌握二项式定理说明其应用。 会知识间的递进关系。 二德育目标 三，教学 重点与难点 用多项式乘法及排列组合知识推导二项式定理的形成过程 授课类型：新授课 课时安排： 1 课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础这部分知识具有较高应 用价值和思维训练价值中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性2 / 20 质等 通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面 形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成 二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点二项式定理的证明是一个教学难点这是因为，证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质 2、需要用到不太熟悉的数学归纳法 在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和 创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习 教学过程： 一、复习引入： 122 ( 1223(各项都是 4次式， 即展开式应有下面形式的各项： 展开式各项的系数：上面 4 个括号中，每个都不取 3 / 20 1 种，即 ， 40；恰有 1个取 4种， 系数是 有 2个取 42种， 42，恰有 3 种， 43，有 4 都取 443个取 b 的情况有 ， 44， 132223344 ( 二、讲解新课： 1项式定理： (ab)(ab)n 的展开式的各项都是 n 次式，即展开式应有下面形式的各项： ， ， 展开式各项的系数： 每个都不取 b 的情况有 1种，即 系数是 11 恰有 1个取 b 的情况有 n， ， 恰有 r 个取 b 的情况有 ， 系数是 ， 有 1 / 20 (ab)， 这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫 (ab)n 的二项展开式， 它有 ，各项的系数,n)叫二项式系数， 二项展开式的通项，用 通项 二项式定理中，设 a1, 1x)、讲解范例： 例 1 (1)展开 (11)4 (2) 展开 x 6 例 2（ 1)求 (12x)7的展开式的第四项的系数 求 (的展开式中 x 练习 （ 1)(12x)5_ （ 2_ （ 3） 第三项的系数是 _ 练习 （ 1）求 (2的展开式的第三项 （ 2）求 (3的展开式的第三项 五、小结 ：二项式定理的探索思路 :观察 归纳 猜想 六、课后作业： 题 2 、 B 习题 )(2) 若 (2n 5 / 20 )的展开式中，若常数项存在，则 2x 七、板书设计 （ 1） 0ab)（ 2）二项式系数 （ 3） r (r=0,1,2. 4）二项式定理中， a1,1x) 1 二项式定理 (一 )教案设计 教材：人教 A 版选修 2一、教学目标 (1)理解二项 式定理是代数乘法公式的推广 . (2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理 . 6 / 20 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式 3. 情感、态度与价值观： 培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨 二、教学重点、难点 重点：用计数原理分析 ( 的展开式，得到二项式定理 难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律 . 三、教学过程 （一）提出问题，引入课题 引入：二项式定理研究的是 (ab)n 的展开式，如：( (? (? (00? 那么 (ab)n 的展开式是什么？ 【设计意图】把问题作为教学的出发点，直接引出课题激发学生的求知欲，明确本课要解决的问题 . （二）引导探究，发现规律 1、多项式乘法的再认识 问题 1. (展开式是什么？展开式有几7 / 20 项？每一项是怎样构成的？ 问题 2. (开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？ 【设计意图】引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后续学习作准备 . 2、 ( 展开式的再认识 探究 1：不运算 (，能否回答下列问题（请以两人为一小组进行讨论）： (1) 合并同类项之前展开式有多少项？ (2) 展开式中有哪些不同的项？ (3) 各项 的系数为多少？ (4) 从上述三个问题，你能否得出 (的展开式？ 探究 2：仿照上述过程，请你推导 (的展开式 . 【设计意图】通过几个问题的层层递进，引导学生用计数原理对 ( 的展开式进行再思考，分析 n 各项的形式、项的个数，这也为推导 (展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有 “ 法 ” 可依 (三 ) 形成定理，说理证明 探究 3：仿照上述过程，请你推导 (ab) 0ab) 二项式定理 8 / 20 证明： ( n 个 (乘，每个 (相乘时，有两种选择，选 b，由分步计数原理 ,n)的形式，对于每一项 它是由 了 b， n k 个 (了 a 得到的，它出现的次数相当于从 取 k个 （包括同类项），其中每一项都是 组合数 它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理 1 【设计意图 】通过仿照 (、 ( 展开式的探究方法，由学生类比得出 (ab)n 的展开式二项式定理的证明采用 “ 说理 ” 的方法，从计数原理的角度对展开过程进行分析，概括出项的形式，用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数，从而得出用组合数表示的展开式 (四 ) 熟悉定理，简单应用 二项式定理的公式特征：（由学生归纳，让学生熟悉公式） 1. 项数：共有 2. 次数：字母 数由 ；字母 b 按升幂排列，次数由 0递增到 n 各项的次数都等于 n 012二 项 式 系 数 : 依次为 这里9 / 20 n,Cn(,n)称为二项式系数 . 二项展开式的通项 : 式中的 用 一变 （ 1） (ab)n （ 2） (1x)n 例 . 求 (2展开式 . x 思考 1：展开式的第项的系数是多少？ 思考 2：展开式的第项的二项式系数是多少？ 思 考 3：你能否直接求出展开式的第项？ 【设计意图】熟悉二项展开式，培养学生的运算能力 (五 ) 课堂小结，课后作业 小结（由学生归纳本课学习的内容及体现的数学思想） 0公式： (ab) 2. 思想方法： 作业 巩固型作业：课本 36页习题 组 1、 2、 3 012维拓展型作业：二项式系数 何性质 ,n,案设计说明 二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识10 / 20 的具体运用，是学习概率的重要基础 本节课的教学重点是 “ 使学生掌握二项式定理的形成过程 ” ，在教学中，采用 “ 问题 探究 ” 的教学模式， 把整个课堂分为 呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程 本节课的难点是用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律在教学中，设置了对多项式乘法的再认识，引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后面二项展开式的推导作铺垫再以 (对象进行探究，引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，这也为推 导 (展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“ 法 ” 可依 总之，本节课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性重视学生的参与过程，问题引导，师生互动重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力，从而形成自主探究的学习习惯 11 / 20 一、教学目标 1知识目标：掌握二项式定理及其简单应用 2过程与方法：培养学生观察、归纳、猜想能力，发现问题，探求问题的能力，逻辑推理能力以及科学的思维方式。 3情 感态度和价值观：培养学生勇于探索，勇于创新的个性品质，感受和体验数学的简洁美、和 二、教学重点、难点 重点：二项式定理的发现、理解和初步应用及通项公式 难点：展开式中某一项的二项式系数与该项的系数的区别 三、教学过程 创设问题情境： 今天是星期三， 15天后星期几， 30天后星期几， 8100天后星期几呢？ 前面几个问题全班所有学生都大声地回答出来了，最后一个问题大家都很迷惑，有些学生试图用计算器算，还是觉得很复杂，学习完这节课 我们就知道答案了，并且我们不用查日历就能知道未来任何一天是星期几 新课讲解： 12 / 20 问题 1 展开式有多少项？有无同类项可以合并？ 由于这一节是在学生学习了两个计数原理和排列组合知识之后学习的，所以学生能够快速的说出答案。 问题 2 始展开式有多少项？有几项是同类项？项是怎样构成 a 的？有规律吗？ 学生根据乘法展开式也很快得出结论 问题 3 3原始展开式有多少项？经合并后又只能有几项？是哪几项？ 学生仍然根据乘法公式算出了答案 问题 4 44问题 5 你能准确快速地写出 6项吗？经合并后，又只能有哪几 项？ 此时，学生能说出其中的一两项，并不能全部回答出来所有的项，思维觉察到麻烦，困难，易出错 借此 “ 愤悱 ” 之境，有效的实现思维的烘热） 启发类比： 4 个袋中有红球 a，白球 b 各一个，每次从 4 个袋子中各取一个球，有什么样的取法？各种取法有多少种？ 在 4个括号（袋子）中 13 / 20 问题 6 其个数，为何恰好应为该项的系数？ 题 7 合并后的展开式中， 系数应该是多少？有理由吗？ n 问题 8 那么，该如何将 松、清晰地展开？请同学们归纳猜想 学生们快速地说出 n ab n 0我们数学讲究逻辑地严密性和知识的严谨性，大家猜想地很正确，那么我们怎么来证明呢？ 思路：证明中主要运用了计数原理！ 展开式中为什么会有那几种类型的项？ ab n 是 n 个 乘，展开式中的每一项都是从这 n 个 得到的，每一项都是 每一项都是 a 展开式中各项的系数是怎么来的？ 14 / 20 ,2,n k 从 n 个 取 k 个 b，和余下 a 相乘得到的，有 此，该项的系数为 义：一般地，对于任意正整数 n，上面的关系式也成立，即有 ab n 0n 注：（ 1）公式左边叫做二项式，右边叫做 二项展开式 （ 2）定理中的 a,b 仅仅是一种符号，它可以是任意的数或式子什么的，只要是两项相加的 n 次幂，就能用二项式定理展开 例：把 b，则 ab n 0k 15 / 20 n 练习：令 a1, 1x n 01122问题 9 二项式定理展开式中项数、指数、系数特点是什么？哪一项最有代表性 公式特征： （ 1） 项数：共有 （ 2） 指数规律： 各项的次数都等于二项式的系数 n（关于 a 与 b 的齐次多项式） 字母 a 按降幂排列，次数由 n 递减到 0；字母 数由 0递增到 n 3） 二项式展开式的通项： ,2,n 0124） 二项式系数：依次为 里 ,2,n）称为二 ,n,n 项式系数 现在同学们能告诉老师 8100 天后星期几吗？ 思考了一会儿，马上有同学大声喊：把 8 写成 7+1，再进行展开，余数是多少，就是星期几 老师故意问：为什么要写成 7+1，这时，所有学生都明白了，因为一个星期 7天，所以 开式中除了最后一项外，其余的项都是 716 / 20 的倍数，因此余数为 100 应为星期四。 例 1 求的展开式 方法一：直接展开 11 技巧：将根式先化成幂的形式，再进行计算，要简单很多。即原式变成 26 方法二：先合并化简，再展开 建议用第二种方法简单些。 变式一：展开式中的常数项是多少？ 变式二：展开式中的第 3项是多少？ 变式三：展开式中的第 3项的系数是多少？ 变式四：展开式中的第 3项二项式系数是多少？ 注意：二项式系数和系数是两个不同的概念，二项式系数就是一个组合数，与 a,数与 a, 例 2 （ 1）求 (12x)7 的展开式的第 4 项的系数和第 4项的二项式系数 13 （ 2） x 的展开式中 x 的系数和中间项 x 例 3 求 (2的展开式中的倒数第 4项 小结：（ 1）注意二项式定理中二项展开式的特征 （ 2）区别二项式系数、项的系数 （ 3）掌握用通项公式求二项式系数、项的系数及项。 作业： ， 5 17 / 20 教学反思：本节课先用今天星期几的问题创设问题情境，一下子把全班学生的学习积极性都调动起来了，当大家不知道老师葫芦里卖的什么药时 ，老师由浅入深的提问，最后问到 81009天后星期几，从而引出今天的课题：二项式定理。给大家设置这个悬念后，紧接着又进行一系列的问题教学，让学生自己去探究去回答，最后学生之间合作交流归纳猜想出二项式定理的展开式，整个过程顺理成章地完成。 (1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广 . (2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理 . 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的 能力，以 及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式 3. 情感、态度与价值观： 培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程， 体会数学语言的简洁和严谨 二、教学重点、难点 重点：用计数原理分析 的展开式，得到二项式定理 18 / 20 难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各 项系数的规律 . 一、说教材 1、地位及作用： 二项式定理安排在高中数学选修 2三节 ,是排列组合内容后的一部分内容，其形成过程是组合知识的应用，同时也为随后学习的概率知识及概率与统计，作知识上的铺垫。 二项展开式与多项式乘法有密切的联系，本节知识的学习，必然从更广的视角和更高 的层次来审视初中学习的关于多项式变形的知识。运用二项式定理可以解