孤立二质点系统的动力学方程及其应用.docVIP

孤立二质点系统的动力学方程及其应用二质点系统是最简单的质点系统。通常，大家把二质点孤立系统问题称为二体问题。二体问题中系统动量守恒，质心保持匀速直线运动，或保持静止。万有引力相互作用的两质点问题和两质点碰撞问题均属二体问题。本文在导出二质点孤立系统相对动力学方程的基础上，通过例题展示其应用。YXm1一、 二质点相对动力学方程推导如右图所示，设质点1m2Z和质点2的质量分别为m1和m2 它们的位矢分别为r1和r2，质点1受到质点2的作用力为f12，质点2受到质点1的作用力为f21，由牛顿第三定律，有 f12= f21两质点动力学方程分别为 m1a1=f12 m2a2=f21= f12联立求得： a1a2=（）f12 令 a12=a1-a2,a12是质点1相对质点2的加速度。方程改写为a12=f12 （1） 其中= 为m1和m2的折合质量。方程1就是质点1相对于质点2的相对动力学方程。二 讨论1.等效一体问题的动力学方程，既是质点1在质心系中的动力学方程，也是质点2在质心系中的动力学方程。证明如下： 二质点系统在运动中，质点1,、质点2和质心c始终在同一条直线上。设质点1和质点2相对于质心的位矢分别为r1c和r2c，有关系： r1c=r12 r2c= 当时有v1c= v2c=同理： 所以，等效一体问题的动力学方程（1）可以改写为：则 （2） 或 （3）方程（2）、（3）为质点1、质点2在质心系中的动力学方程。此处质心系为惯性系。2.等效一体问题中的动能定理动能表达式推导过程 = 此式即为二体系统在质心系中的系统总动能。设法把这个二质点孤立系统在惯性系中（包括质心系）写出动能定理。根据柯尼希定理，动能包括两部分，质心运动动能（）和相对质心运动的动能（Ek）.由于这里讨论的二体系统是孤立系统，质心运动动能不变，所以动能的增量等于系统在质心系中动能的增量，及等效一体问题下的动能的增量。因此，惯性系中动能定理可以写为： A惯内=三 相对动力学的应用 1.在有心力场中的应用 例：一双星系统,两颗星的质量分别是M、m(设Mm),距离为d，在相互间的引力作用下绕不动的质心做圆周运动，设两颗星近似为质点.在超新星爆炸中，质量为M的星球损失质量为M，假设爆炸是瞬时的、球对称的，并且对残余体不施加任何作用力（或作用力抵消），对另一颗星也无直接作用.试求：在什么条件下，余下的新的双星系统仍被约束而不相互远离。解：方法一：在超新星爆炸之前，质心静止。设以质心为原点，r1和r2为M和m至质心的距离。则 r1+r2=d两星体在万有引力作用下绕质心作圆周运动，设为运动角速度，写出其中一个星体的动力学方程 解得 在此式中，仅与两质量之和有关，所以m绕质心的角速度也为此值。超新星爆炸之后瞬间，脱离星体M，剩余的质量M相对两质心的角速度未变，两星距离未变。所以新系统的新势能为 在新质心系中的动能为 Ek=其中Eko为质心的动能。为了求出Eko，先求质心速度： 这里利用了两星体速度方向相反这一事实，且。所以新系统在新质心系中的总机械能为利用新系统为约束系统的条件为 整理后得到：方法二 利用二体孤立系统的等效一体问题处理。因为等效一体问题中的动能等于质心系中