函数的奇偶性与周期性.doc

第11课 函数的奇偶性与周期性考试目标 主词填空1.f(x)是奇函数的充要条件是任取xA，必有-xA，且f(-x)=-f(x)，奇函数的图像关于坐标原点成中心对称.2.f(x)是偶函数的充要条件是任取xA，必有-xA，且f(-x)=f(x)，偶函数的图像关于y轴成轴对称.3.奇函数之和是仍是奇函数.偶函数之和是仍是偶函数.4.对于函数y=f(x)，且xA，当此函数满足条件f(x+T)=f(x)，T是非零常数且x+TA时，称y=f(x)是A上的周期函数.题型示例 点津归纳【例1】 判断下列函数的奇偶性与周期性. (1)f(x)=；(2)f(x)=；(3)f(x)=；(4)f(x)=log2()；(5)f(x)=log2().【解前点津】 (1)直接检验；(2)考察分母为0时的x取值范围；(3)先确定定义域，然而检验；(4)考察f(-x)+f(x)的值；(5)考察f(-x)+f(x)的值.【规范解答】 (1)xR，-xR，又f(-x)+f(x)=0，f(x)是R上的奇函数，它不是周期函数.(2)由sinx+cosx=0得：sin(x+)=0.f()有意义，而f(-)无意义，故f(x)既不是奇函数，又不是偶函数.又f(x+2)=f(x)，f(x)是周期函数.(3)若tanx=0则x=k，kZ，故f(x)的定义域是对称域，又f(x)=，故知f(-x)=f(x).又f(x+)=f(x)，f(x)既是奇函数，又是周期函数.(4)f(-x)f(x)0，f(x)是非奇非偶函数，又f(x)不是周期函数.(5)xR，-xR，又f(-x)+f(x)=log2()=log21=0，f(x)是R上的奇函数，可用反证法证明，它不是周期函数.【解后归纳】 判断函数的奇偶性，先考察函数的定义域是否关于原点“对称”然后检验f(-x)f(x)是否为0.考察函数的周期性一是看定义域A，对一切xA，是否存在非零常数T，使(x+T)A；二是在上述基础上，检验f(x+T)=f(x)在A上是否恒成立.【例2】 若f(x)=3x-3-xlog3a为奇函数，求实数a的值.【解前点津】 利用恒等式f(x)+f(-x)=0可推导a值.【规范解答】 由条件知：3x-3-xlog3a+3-x-3xlog3a=0(3x+3-x)=(3x+3-x)log3alog3a=1，a=3.【解后归纳】 对恒等式而言，左、右两边的“同类项”要完全相同.【例3】 试构造一个-4，4上的奇函数，使得当0x4时，f(x)=2x+1.【解前点津】 由条件，可推导-4x2时，不等式f(klog2t)+f(log2t-logt-2)0恒成立，求实数k的取值范围.【解前点津】 由f(x)的定义域为R，从其特殊值x=y=0入手解之.【规范解答】 (1)令x=y=0f(0)=2f(0)f(0)=0，又令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x)故f(-x)=-f(x)，即f(x)为奇函数.(2)f(0)=0，f(1)=2，且f(x)在R上单调增，故由f(klog2t)-f(log2t-logt-2)得：klog2t0=(k+1)2-80-1-2k0)上是单调奇函数，且f()f()，则下列各式一定成立的是 ( )A.f(-)f(-) B.f(-)f(-)C.f(0)f(a) 2.已知f(x)=a0+a1x+a2x2+a2004x2004，若f(1)=100，则f(-1)= ( )A.100 B.-100 C.20 D.-203.f(x)是奇函数，当xR+时，f(x)(m0)，则f(x)的值域可能是 ( )A.m，-m B.C. D.4.设y=f(x)是R上的奇函数，一定在y=f(x)的图像上的点是 ( )A.(a，f(-a) B.(-a，-f(a)C.(-a，-f(-a) D.(，-f()5.如果奇函数f(x)当1x4时的解析式为f(x)=x2-4x+5，则当-4x-1时，f(x)的最大值为 ( )A.5 B.-5 C.-2 D.-16.设f(x)是R上的奇函数，且xR+时，f(x)=log2(2x+1)，则当xR- 时，f(x)= ( )A.log2(2x+1) B.-log2(2x+1)C.log2(1-2x) D.-log2(1-2x) 7.已知奇函数f(x)在区间-b，-a上单调减且最小值为2004，则g(x)=-|f(x)|在a，b上 ( )A.单调减且最大值为-2004 B.单调增且最小值为-2004C.单调减且最小值为-2004 D.单调增且最大值为-20048.已知f(x)=x3+bx2+cx是R上的奇函数，动点P(b，c)描绘的图形是 ( )A.椭圆 B.抛物线 C.直线 D.双曲线9.偶函数f(x)在0，上单调增，则下列各式成立的是 ( )A.f(-1)f()f() B.f()f()f(1)C.f()f(-1)f() D.f(-1)f()1).17.已知函数f(x2-3)=loga(a0，a1).(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)解不等式：f(x)loga(2x). 18.已知f(x)，g(x)都是定义在R上的奇函数，且F(x)=af(x)+bg(x)+2在(0，+)上的最大值为5，求F(x)在(-，0)上的最小值.第4课 函数的奇偶性与周期性习题解答1.B -.2.C 由a1+a3+a5+a2003=(100-M)=40M=20.3.D 若x=0不在定义域内为-m，+，若x=0在定义域内为(-，m)0.4.B x=-a时，f(-a)=-f(a).5.D 画图便知.6.D 由x0f(-x)=log2(1-2x)=-f(x)f(x)=-log2(1-2x).7.A f(x)在-b，-a上单调减，x-b，-a时，f(-b)f(x)f(-a)，f(-a)=2004，又f(x)为奇函数，故f(x)在a，b上单调减，由xa，b知f(b)f(x)f(a)，f(a)=-2004.8.C 由f(x)=-f(-x)x3+bx2+cx=-(-x3+bx2-cx)b=0.9.A 作示意图可以看出结论.10.D f1(-x)=g(-x)-1为偶函数，f2(-x)=g(-x-1)=g(x+1)f(x)故非奇非偶.11.设-6x-2则-2x+42f(x+4)=-(x+4)2+1，f(x)图像关于x=2对称，f(x+4)=f(2+x+2)=f(2-x-2)=f(-x)=f(x)，f(x)=-x2-8x-15即为所求.12.f(10)=f(7)=f(4)=f(1)=7.13.g(x)=atanx+b为奇函数，而lg()=-lg3，f(lg)+f(lg3)=f(-lg3)+f(lg3)=atan(-lg3)+b+4+atan(lg3)+b+4+8f(lg3)=3.14.f(x-2)的图像以x=2为对称轴，且f(x-2)在0，2上单调减，f(x)在-2，0上单调减，在0，2上单调增，又f(-1)=f(1)，故由f(0)f(1)f(2)得:f(0)f(-1)1)= -logak2x2=x2k