主动电磁悬浮系统等效刚度和阻尼的在线测量.doc

主动电磁悬浮系统等效刚度和阻尼的在线测量蒋科坚，祝长生（浙江大学电气工程学院，杭州，310027）摘要：主动电磁悬浮系统的等效刚度和阻尼不仅与系统本身的尺寸和结构特性有关，而且与控制器所采用控制策略密切相关。在控制系统传递函数已知的前提下，可以对主动电磁悬浮系统的等效刚度和阻尼进行理论计算。然而，在许多无法得到系统传递函数的情况下，如何确定主动电磁悬浮等效刚度和阻尼是一个值得研究的问题。本文首先分析了主动电磁悬浮等效刚度和阻尼的理论计算方法。而后从闭环系统的角度出发，提出了一种不依赖于系统传递函数的主动电磁悬浮等效刚度和阻尼的在线测量方法。最后，进行了PID控制策略下的等效刚度和阻尼的测试实验，并与理论计算结果进行了对比，分析了PID控制器的参数、激振幅度和激振频率对主动电磁悬浮等效刚度和阻尼的影响。结果表明，本文所提出的在线测量方法能够实时地对主动电磁悬浮系统的等效刚度和阻尼进行准确识别，其结果可以作为主动电磁悬浮系统动力学特性研究的依据。关键词：主动电磁悬浮；等效刚度；等效阻尼；在线测量On-line Measurement of Equivalent Stiffness and Damping in Active Magnetic LevitationsJiang Kejian Zhu Chengsheng(College of Electrical Engineering, Zhejiang University, Hangzhou, 310027)Abstract: Besides the structure and the size, the control strategy plays an important role in equivalent stiffness and damping performance of Active Magnetic Levitation system. However, it is difficult to theoretically calculate the stiffness and the damping when the transfer function of controller is unknown. This paper firstly analyses the equivalent stiffness and damping calculating in the theory. Then, based on the closed-loop control theory, a method which can measure equivalent stiffness and damping without regard to the transfer function is proposed. The experiment, which testing the influence of the amplitude, the frequency and the PID parameters on the equivalent stiffness and damping, indicates that the method can correctly identify the equivalent stiffness and the equivalent damping in real-time. Depend on its outcome, dynamic analysis can be improved in the Active Magnetic Levitation investigation.Keywords: Active magnetic levitation ；Equivalent stiffness；Equivalent damping,；On-line measurement90 引言主动电磁悬浮，特别是主动电磁轴承，的魅力不仅在于它是一种无摩擦的支承装置，更重要的是其支承的动力学特性可通过控制策略进行在线调节优化。前者决定了主动电磁悬浮能够应用在高速场合；后者使得可以通过控制策略的设计，优化主动电磁悬浮在不同频段的支承特性，实现对支承刚度和阻尼的主动控制，从而抑制振动。过去的研究表明，主动电磁悬浮系统的动力学特性可以用等效刚度及等效阻尼参数来描述。但是，主动电磁悬浮系统的等效刚度和阻尼不仅与结构尺寸有关，而且还受到其控制器所采用的控制策略的影响。只有在已知控制系统传递函数的条件下，才可能对主动电磁悬浮系统的等效刚度和阻尼进行理论计算。目前各种新型的智能控制策略都成功地实现应用在主动电磁悬浮系统中，但这些控制策略无法归结出相应的传递函数。在控制系统传递函数未知的情况下，如何确定主动电磁悬浮系统的等效刚度和阻尼是主动电磁悬浮系统动力特性研究中所必须解决的关键问题。早在1980年Haberman1就对主动电磁悬浮系统刚度作了研究，提出了“浴盆”形复刚度曲线。此后，多数研究者均以此为基础分析主动电磁轴承系统的动力特性。Humphris等2从主动电磁轴承系统的传递函数推导出了电磁轴承等效刚度和阻尼的计算公式。在国内，汪希平3 、曹杰4较早地对主动电磁轴承的等效刚度和阻尼特性进行理论分析和推导。赵雷5等详细分析了控制环节各参数对刚度特性的影响。胡业发6对目前电磁轴承研究领域的各个环节都做了较为全面的分析和总结。吴华春等7对滤波、滞后、衰减等因素对主动电磁轴承的刚度的影响进行了分析。杨作兴等8提出了对主动电磁轴承复刚度的测试方法，但没有涉及到在工程中更有实用意义的等效刚度和阻尼的测试。目前文献对等效刚度和阻尼的分析讨论大多集中在已知传递函数的前提下。本文首先分析了主动电磁悬浮系统的等效刚度和阻尼的理论计算方法，然后提出一种能在未知控制系统传递函数的条件下对主动电磁悬浮系统等效刚度和阻尼进行在线测定的方法，并基于此方法进行了等效刚度和阻尼的测定实验。本文中设计的在线测量方法，能实时识别主动电磁悬浮系统的等效刚度和阻尼，具有较强的实用价值。1 等效刚度和等效阻尼分析1.1等效刚度和等效阻尼的理论分析主动电磁悬浮系统不管是采用什么样的控制策略，最终表现出来的支承动力学特性可以用支承的刚度和阻尼来表示。对于一个单自由度的质量-弹簧-阻尼系统，系统的运动方程式为 (1)其中F为物体所受到的外激励力，m为质量，K和C分别表示其弹簧的刚度和阻尼器的阻尼。将(1)式进行拉普拉斯变换后，可得其频率特性方程为 (2)对于一个单自由度的主动电磁悬浮系统，如果不考虑其他外阻尼的影响，其运动方程为 (3)式中是主动电磁悬浮系统产生的电磁力。在满足线性条件下，可以简化为，和分别是系统的电流刚度系数和位移刚度系数。i是控制电流。如果将线圈电流与悬浮物位移之间的关系表示为传递函数的形式，即，为主动电磁悬浮控制系统整体传递函数，一般包括位移传感器、输入AD、控制器算法、输出DA、功率放大器等各个控制环节的总和。将此式代入(3)式并经拉普拉斯变换，其频率特性方程形式为 (4)比较(2)式和(4)式，可以容易地得出主动电磁悬浮系统相对于质量-弹簧-阻尼系统的等效刚度和等效阻尼的表达式： (5)式中和分别表示控制系统整体传递函数的实部和虚部。显然，如果已知控制系统的传递函数的表达式，那么就可以容易的对主动电磁悬浮系统的等效刚度和等效阻尼进行理论计算。但事实上许多控制系统无法得出一个传递函数表达式，这时就难以对这些主动电磁悬浮系统的等效刚度和阻尼特性进行理论分析。1.2 PID控制的等效刚度和等效阻尼的理论计算当主动电磁悬浮控制器采用标准的PID控制器时，控制器传递函数为，其中、分别是控制器中的PID参数。设功率放大器倍数为，位移传感器转换倍率为，系统的惯性滞后时间常数为T，则整个控制系统的传递函数G(s)可表示为 (6)根据式(5)和式(6)，PID控制系统的等效刚度和阻尼的表达式为 (7) (8)将本文的实验数据代入式(7)和(8)，频率11000Hz。图1、图2、图3分别比较了PID值变化对主动电磁悬浮等效刚度和阻尼影响。从图1可知，在100Hz以下的频率较低区域，主动电磁悬浮等效刚度随比例参数Kp值改变的变化较大，而随频率的变化不大。对照公式(7)，由于系统惯性滞后时间T非常小（10-4数量级），在低频区项和项都很小，项可近似等于1。因此在频率较低时，项成为等效刚度的主要决定因素，而频率对等效刚度影响不大。随着频率逐渐增大，项的作用渐渐增大，使等效刚度随频率增大。对于等效阻尼，对照公式(8)可知，由于系统惯性滞后时间T非常小，使得变化对等效阻尼在整个频率区域的影响都很小。在100Hz以下的低频区域，等效阻尼基本保持恒值。随着频率逐渐增高，分母项随之增大，导致等效阻尼在高频区域逐渐减小。图1 不同值在PID控制中对等效刚度和阻尼的影响图2 不同值在PID控制中对等效刚度和等效阻尼的影响图3 不同值在PID控制中对等效刚度和阻尼的影响从图2等效刚度图可知，在100Hz以下的低频区域，微分参数对等效刚度无明显影响。在高频区域，由于项的作用，对等效刚度影响逐渐增大。从图2的等效阻尼图可知，微分参数在整个频率范围内都是等效阻尼的主要决定因素。在频率较高时，由于分母项的影响，对等效阻尼的影响稍弱。从图3的等效刚度图可知，积分参数对等效刚度几乎无影响。对于等效阻尼，增大使得在低频区域的等效阻尼大幅降低。时，低频区的等效阻尼基本保持恒值。越大，等效阻尼降低的幅度也越严重。2 等效刚度和等效阻尼在线测量2.1在线测量原理无外阻尼的单自由度主动电磁悬浮系统的外力F(s)和位移X(s)之间的简化关系如图4所示。可见，求解主动电磁悬浮系统的刚度阻尼，其实就是求解图中部分的频域特性。对照式(5)可知，磁轴承等效刚度就等于的实部，其虚部除以就是等效阻尼。很自然，最直观的想法是通过测试得到控制部分的频率特性，经过换算确定系统的等效刚度和阻尼。虽然这样的想法在理论和仿真中是可行的，但是由于需要控制部分脱离主动电磁悬浮系统单独进行测试，实际测试有较大的间接性和不可操作性。图4 主动电磁轴承等效刚度和阻尼在线测量原理 在控制系统的分析中，常见问题的是知道系统的开环频率特性，来求解闭环系统的频率特性。本文的思路正好相反，试图通过直接对外力F(s)和位移X(s)进行闭环频域测试，反向推算其中部分的开环特性，得到系统的等效刚度和等效阻尼。 令，整理(4)式得(9)按力学定义称为系统的动柔度。其倒数为动刚度，亦称复刚度，即力与位移在复平面上的关系。根据式(8)，把测得复数形式的频率特性取为倒数，从实部中加上即为的实部，就是主动电磁悬浮系统在频率下的等效刚度值；虚部除以就是等效阻尼。在不同的激振下，可以得到一组的频域特性值，进而计算出一系列不同频率下的等效刚度阻尼值。理论上讲，当线性定常系统输入正弦激振信号时，其输出也为正弦。但在实际系统中，由于被测系统的非线性和随机干扰，其输出信号不可避免地混杂有其他频率的杂波成分。如何从输出信号中提取相应的输入响应是测量等效刚度和阻尼的关键。设在输入信号的作用下，系统的输出信号为(10)式中为直流分量，为基波分量，为噪声分量，为各阶高次谐波分量。式(10)中，只有基波成分0是希望得到的激振响应部分。为了从这个混杂的信号中提取我们所需要的频率成分，这里采用了信号解调的原理。首先在输出信号Uc(t) 上分别乘以一个频率与输入信号频率相同，单位幅值的正弦和余弦信号sin0t、cos0t，然后在基波整倍数周期内积分并求平均值。(11)由于正弦函数的正交性和相关滤波原理，故当N值取较大时，式(11)可以写为 (12)把式(12)中的X表示为的函数形式 (13)同理可得 (14)这样，就可以从被测信号中检出基波分量，同时抑制掉直流分量、噪声分量以及各阶高次谐波分量。在实际应用中，为了得到足够的测量精度，一般取N5。2.2主动电磁悬浮控制和刚度阻尼识别系统为了测试主动电磁悬浮系统的等效刚度和阻尼，必须对系统施加一定的外激振力。施加激振一般有两种途径。其一，采用专门的激振设备，如激振器。此方法可以完全把被测系统作为“黑箱”处理，即无需知道被测系统任何参数的情况下测得刚度和阻尼，甚至对于主动电磁悬浮系统以外的刚度和阻尼测试对象，都可以适用。此方法是一种常用方法，但对于主动电磁悬浮系统来讲，必须采用非接触式的激振力，否则激振器会对主动电磁悬浮系统动力特性产生明显影响。由于主动电磁悬浮系统的特殊性，可以利用主动电磁悬浮系统本身的特点，通过在励磁线圈中叠加正弦电流，从而产生正弦激振力。此方法简单，不附加额外设备，对被测对象的附加影响小，但需要知道电磁线圈的电流系数才能完成电流到激振力的换算3 刚度阻尼的在线识别实验3.1实验装置实验是在图5a所示的杠杆式单自由度主动电磁悬浮实验台上进行的。杠杆的一端与铰链相连，另一端由主动电磁悬浮支承。由于铰链支承和中间杠杆的刚度远远大于电磁悬浮系统所提供的刚度，所以可以将杠杆机构等效成图5b所示的质量弹簧阻尼系统，系统的等效质量为。实验采用的悬浮控制策略为标准的离散PID控制，采样频率为10KHz，测试的频率范围是11000Hz。实验在Matlab平台的Real-time Windows Target外接实物仿真模型上进行，由Real-time Windows Target生成实时控制代码，经过模数I/O板卡外接功率放大器和主动电磁悬浮实验台，实现主动电磁悬浮的控制和监测。 a b 图5 杠杆式单自由度主动电磁悬浮系统实验台3.2 PID参数对刚度和阻尼影响的实验此项测试中，选取激励力的振幅为18.75N；分别选取0.8、1、1.2；分别选取0、0.0005、0.001、0.005、0.01；分别选取20、40、60。图6、图7、图8分别是在这些不同PID参数情况下，在线识别出的主动电磁悬浮系统的等效刚度和阻尼随频率的变化曲线。图中表示激振振幅为18.75N。图6 不同值在PID控制中对等效刚度和阻尼的影响图7 不同值在PID控制中对等效刚度和阻尼的影响图8 不同值在PID控制中对等效刚度和阻尼的影响把图6、图7、图8分别于图1、图2、图3比较。首先，对于等效刚度，实验识别结果与理论计算结果在低频区和中频区有很好的吻合，数值非常接近。但频率超过500Hz后，实验数据与理论计算值的误差逐渐增大，导致在图7中微分参数在高频区域对等效刚度的影响不明显。对于等效阻尼，在低频区和中频区实验识别结果与理论计算结果也有很好的吻合。当频率逐渐升高，等效阻尼在100Hz后开始下降。实验识别出的等效阻尼下降比理论计算值下降得更快。并且在300Hz左右又触底反弹，形成一个谷底。谷底反弹后，在600Hz后又与理论计算值吻合。为了分析形成谷底的原因，我们计算了实验悬浮结构的固有频率。杠杆结构的固有频率，这个值与实验测得的谷底频率基本一致。实验中出现谷底的原因可能是由于固有频率点引起了系统的共振，增加了振动的幅度，导致等效刚度和等效阻尼的识别值减小。从图6、图7和图8中可以观察到，在固有频率点等效刚度和等效阻尼都出现了减小的向下拐点，并根据不同PID参数对固有频率的影响和振动抑制能力的差异，形成不同频率和不同深度的拐点底部。3.3激励振幅对测试效果的影响如果对于一个理想线性系统，激振力的大小不会对等效刚度及阻尼的识别结果产生影响。但是，实际系统往往具有较大的非线性，激振力的大小会对识别结果有很大的影响。对于本文实验而言，振幅选择过小，同频的位移信号难以检出，刚度阻尼读数会有很大的误差。振幅选择过大，会影响到主动电磁轴承的电流线性化和位移线性化条件，同样会造成误差。为了测试不同大小的激振力对等效刚度和阻尼识别效果的影响，试验分别在六个激励振幅6.25N、12.5N、18.75N、25N、31.25N、37.5N进行了相关的测试。 图9 不同激励振幅对等效刚度和阻尼影响的测试结果在不同振幅激励下，11000Hz频率范围的等效刚度和阻尼变化测试结果如图9。图中可知，在低频区域，激振力大小对等效刚度值基本没有影响。仔细察看图9的实验数据可得，随着频率升高，大激振力识别出的等效刚度值比小激振力的稍大，但这种影响甚微，从图中几乎看不出来。对于等效阻尼值，在低频区域激振力大小对等效阻尼值无明显影响。引起注意的是，在固有频率点引起的向下拐点处，激振幅度越大，谷底越深。根据实验经验，当主动电磁悬浮控制能很好平缓低频的小幅激励时，会使得同频位移信号难以检出，导致检测读数不稳定。因此对于激振幅度的选择，在测量10Hz以下的低频时的刚度阻尼，需要增大激振幅度，使响应振幅达到可检测的水平。对于10Hz以上的频率，激振幅度的可选范围较大，只要能保持主动电磁悬浮状态且系统振动尚可的情况下，均能正常测得系统的等效刚度和阻尼值。4 结束语本文提出的主