周期性和抽象函数.doc

周期性和抽象函数1周期函数：设函数，如存在非零常数T，使得对任何，都有，则函数为周期函数，T为的一个周期。(1)y=f(x)对xR时，f(x +a)=f(xa) 或f(x2a )=f(x) (a0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数；（2）若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2a的周期函数；（3）若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4a的周期函数；（4）若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2的周期函数；（5）y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(ab)对称，则函数y=f(x)是周期为2的周期函数；（6）y=f(x)对xR时，f(x+a)=f(x)(或f(x+a)= ，则y=f(x)是周期为2的周期函数；2处理抽象函数的六大策略：（1）递推（2）换元 （3）联用 （4）图象 （5）赋值例1（1）（96全国15）设f(x)是(,+)上的奇函数，f(x+2)=f(x)，当0x1时，f(x)=x,则f(7.5)等于( )A.0.5 B.0.5C.1.5D.1.5（2）设，且，（3）设，且，_ （4）设，且，式是_（5）函数都有=（ ）. .解：（1）解：f(7.5)=f(5.5+2)=f(5.5)=f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=f(1.5)=f(0.5+2)=f(0.5)=f(0.5)=0.5.（2）解法1：设 y A 3 C E 2 B D x 1 解法2：利用偶函数和周期性作出右图 A（，）（，）（3）解：将代入，得下同例题（4）解法： .解法2：，下同例题.（5）解：. 令.当，且.上为增函数评析：解抽象函数问题的方法，可概括为十个字：换元（例题解法1等）、递推（变式1）、联用（变式2的解法2）、图象、赋值（变式3）.例2 定义在R上的函数y= f(x) 是偶函数，且满足f(x+2)也是偶函数，当x0，2时，f(x)=2x1，求x4，0时f(x)的表达式.解析由条件可以看出，应将区间4，0分成两段考虑：若x2，0，x0，2，f(x)为偶函数， 当x2，0时，f(x)= f(x)=2x1,若x4，2 ， 4+ x0，2，f(2+x)+ f(2x)， f(x)= f(4x)，f(x)= f(x)= f4（x）= f(4+x)=2（x+4）1=2x+7; 综上，例3已知函数f(x)的定义域为（，0）（0，+），且满足条件： f(xy)= f(x)+ f(y)， f(2)=1， 当x1时，f(x)0， （1）求证：f(x)为偶函数； （2）讨论函数的单调性； （3）求不等式f(x)+ f(x3)2的解集.解析 （1）在中令x=y=1, 得f(1)= f(1)+ f(1) f(1)=0, 令x=y=1, 得f(1)= f(1)+ f(1) f(1)=0, 再令y=1, 得f(x)= f(x)+ f(1) f(x),f(x)为偶函 数； （2）在中令 先讨论上的单调性， 任取x1、x2，设x2x10， 由知：0，f(x2)f(x1)， f(x)在（0，+）上是增函数， 偶函数图象关于y轴对称 ，f(x)在（，0）上是减函数； （3）fx(x3)= f(x)+ f(x3)2， 由、得2=1+1= f(2)+ f(2)= f(4)= f(4)， 1）若x(x3)0 , f(x)在（0，+）上为增函数， 由fx(x3) f(4)得 2）若x(x3)0，且a1）对于任意的实数x、y都有（ ）CA.f（xy）=f（x）f（y） B.f（xy）=f（x）+f（y）C.f（x+y）=f（x）f（y） D.f（x+y）=f（x）+f（y）22 如果且，则（ ）CA、2003 B、1001 C、2004 D、200233 若的最小正周期为2T，且有对一切实数x恒成立，则是 （ ）BA、奇函数 B、偶函数 C、既是奇函数又是偶函数 D、非奇非偶函数4已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x+2)=,当2x3，f(x)=x，则f(5.5)=（ D ）A5.5B5.5C2.5D2.55.定义在R上的函数f(x)不是常数函数，且满足（）（），（）（），则（）（ ）BA.是奇函数也是周期函数 B.是偶函数也是周期函数C.是奇函数但不是周期函数 D.是偶函数但不是周期函数6.（04年福建卷.理11）定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x3，5时，非f(x)=2-|x-4|，则（D）（A）f(sin)f(cos1)（C）f(cos)f(sin2)7（05福建卷）是定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方程=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ B ） A5B4C3D28设函数f(x)的定义域为R，且x1，已知f(x+1)为奇函数，当x1时，f(x)的递增区间是（ ）DA.B.C.D.图279.（2000上海，8）设函数yf（x）是最小正周期为2的偶函数，它在区间0，1上的图象为如图27所示的线段AB，则在区间1，2上f（x） x10已知函数f (x)是周期为2的函数，当1x1时，f (x)x21，当19x0时，0.(I)试判定的奇偶性；(II)试判定在(-1，0)和(0，1)的单调性；()证明：解：令x=y=0，得f(0)=0.再令x=-y，则f(x)+f(-x)=f(0)=0， f(-x)=-f(x) f(x)在(-1，1)上为奇函数.设-1x1x20，(x1+1)(x2-1)0，x1x2-1x1-x2-1 f()0，则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)= f()0 即f(x1)f(x2).f(x)在(-1，0)上为单调减函数.f(x)为奇函数， f(x)在(0，1)也是减函数.f()=f=f=f()+f()=f()-f()左边=f()-f()+f()-f()+ f()+f()=f()-f()f(x) 为奇函数，又x(-1，0)时，有f(x)0，x(0，1)时，有f(x)001，f() f().20定义在R上的函数y=f（x），f（0）0，当x0时，f（x）1，且对任意的a、bR，有f（a+b）=f（a）f（b）.（1）求证：f（0）=1；（2）求证：对任意的xR，恒有f（x）0；（3）求证：f（x）是R上的增函数；（4）若f（x）f（2xx2）1，求x的取值范围.（1）证明：令a=b=0，则f（0）=f 2（0）.又f（0）0，f（0）=1.（2）证明：当x0时，x0，f（0）=f（x）f（x）=1.f（x）=0.又x0时f（x）10，xR时，恒有f（x）0.（3）证明：设x1x2，则x2x10.f（x2）=f（x2x1+x1）=f（x2x1）f（x1）.x2x10，f（x2x1）1.又f（x1）0，f（x2x1）f（x1）f（x1）.f（x