平面直角坐标系知识点.doc

十、平面直角坐标系与一次函数；10.1平面直角坐标系；1.有序实数对；有顺序的两个数a、b组成的数对叫做有序数对，记作；2、平面直角坐标系的含义及有关概念；（1）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组；3、平面直角坐标系的意义；（1）建立平面直角坐标系后，平面上的任意一点都可；（3）可灵活运用多种方式确定点的位置，并在同一坐；4.点的坐标的概念；如图2，十、平面直角坐标系与一次函数10.1平面直角坐标系1.有序实数对有顺序的两个数a、b组成的数对叫做有序数对，记作（a,b）.注意（a,b）中的a,b的顺序不能改变。2、平面直角坐标系的含义及有关概念（1）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，平面直角坐标系也简称直角坐标系。通常，两条数轴分别位于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫X轴或横轴，铅直的数轴叫做y轴或纵轴，X轴和y轴统称坐标轴，两条数轴的交点O称为直角坐标系的原点。 （2）如图1，对于平面内任意一点P，过点P分别向X轴、Y轴作垂线，垂足在X轴、Y轴上对应的数a、b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序实数对（a,b）叫做点P的坐标。3、平面直角坐标系的意义（1）建立平面直角坐标系后，平面上的任意一点都可以用一对有序实数对（即坐标）来表示，且任一有序实数对都表示平面内唯一确定 的点，所以点的坐标是属性结合的桥梁，为解决几何、代数问题提供了便利，且直角坐标内的点与有序实数对是一一对应的关系。 （2）建立直角坐标系后，可以由点的坐标确定点的位置，也可由点的位置写出点的坐标，由已知点的位置求出未知点的位置。（3）可灵活运用多种方式确定点的位置，并在同一坐标系中，感受图形变化后点的坐标的变化和坐标变化后的变化。4.点的坐标的概念如图2，点A是平面直角坐标系内的一点，由点A向x轴做垂线，垂足在x轴上的坐标是2，在Y轴上的坐标是-4，合起来A的坐标记作（2，-4）。横坐标写在前面。类似地，点B的坐标为（-2，0），点C的坐标是（0，4）。5.由点的坐标描述设点P的坐标为（a,b）,在平面直角坐标系中描出这个点的方法是：先在X轴上找到坐标是a的点A，在y轴上找到坐标是b的点b，在分别从点A，点B作X轴，Y轴的垂线，两垂线的交点就是所要描出的点P。（如图3）6.坐标平面图坐标平面是由两条坐标轴和四个象限构成的，也可以说坐标平面内的点可以分成六个区域：x轴上，y轴上，第一象限中，第二象限中，第三象限中，第四象限中。在这六个区域中，除X轴和y轴的一个公共点（原点）之外，其它区域之间都没有公共点。 如图4，点A在第一象限，点B在第二象限，点C在第三象限，点D在第四象限，点E在x轴上，点F在y轴上，点O为原点。坐标平面内的点P（a,b）的坐标特征：7.两坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征（1） 第一、第三象限两坐标轴夹角平分线上的点的横、纵坐标相等，一般记作（a,a）; （2） 第二、第四象限两坐标轴夹角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数，一般记作（a,-a）.8.与坐标轴平行的直线上的点的坐标的特点（1）与X轴平行的直线上各点的纵坐标都相等； （2）与Y轴平行的直线上各点的横坐标都相等。若A(a1,b1),B(a2,b2)在平行于X轴的直线上，则a1?a2,b1?b2； 在平行于Y轴的直线上，则a1?a2,b1?b2。9.两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特点若点P（a,b）在第一、三象限夹角的平分线上，则y=x. 若点P（a,b）在第二、四象限夹角的平分线上，则y=-x.10.坐标平面内的点到X轴、y轴及到原点的距离及任意两点间距离（1）点P（a,b）到x轴的距离为|b|,到Y轴的距离为|a|. （2）点P（a,b（3）平面内任意两点P1(a1,b1),P2(a2,b2)的距离为：P1P2?。11.易错点（1）不能确定点所在的象限例题1：点A（x,y）的坐标满足xy0,试确定点A所在的象限。 错解：因为xy0,所以x0,y0,所以点A在第一象限。错解分析：本题出错的原因在于漏掉了当x0，y0的情况，此时点A在第三象限。 正解：因为xy0,所以x、y同号，即x0,y0或x0，y0,y0时，点A在第一象限；当x0，y0时，点A在第三象限。 （2）点到x轴、y轴的距离易混淆例题2：求点A（-3，-4）到坐标轴的距离。错解：点A（-3，-4）到X轴的距离为3，到Y轴的距离为4. 错解分析：错误的原因是误以为点A(X,Y)到x轴的距离等于|x|,到Y轴的距离等于|y|,事实上，点A(X,Y)到x轴的距离等于|y|,到Y轴的距离等于|x|.不熟悉时，可结合图形进行分析。 正解：点A（-3，-4）到X轴的距离为4，到Y轴的距离为3.12图形上点的坐标变化与图形的平移、轴对称、伸长、压缩之间的关系设A（a,b）为原图案上任一点，经某种变换后，得到新图案上一对应点A(a,b)。 （1） 设n为大于或等于1的正整数，点A（a,b）为某一图案上任一点。若纵坐标保持不变，横坐标变成原来的n倍。即点A（a,bA(na,b)，所得图案与原图案相比，被横向拉长为原来的n倍。 若纵坐标保持不变，横坐标变成原来的与原图案相比，被横向拉长为原来的类似地，若A（a,b）若A（a,b若A（a,b）an倍。即点A（a,b）A(na,b)，所得图案1n。A(a,nb)，则所得图案被纵向拉长为原来的n倍。bn)，则所得图案被纵向拉长为原来的(a1n。(na,nb)或A(a,b)?A(,)，则所得图案被纵向拉长为原来的nnabn倍或原来的21n2.（2）若A?a,b?A(a?n,b),则所得图案与原图案相比，大小、形状不变，图案向右或向左平移了n个长度单位。（3）若A?a,b?A(a,b?n),则所得图案与原图案相比，大小、形状不变，图案向上或向下平移了n个长度单位。（4）若A(a,b)?A(a,?b)，则所得图案与原来图案关于x轴对称。 （5）若A(a,b)?A(?a,b)，则所得图案与原来图案关于y轴对称。（6）A(a,b)?A(?a,?b)，则所得图案与原来图案关于原点O成中心对称图形。13.在同一直角坐标系中，图形的变化与坐标变化的关系（1）图形的平移横坐标保持不变，纵坐标分别加上3，图形保持形状、大小不变，被向上平移了3个单位；纵坐标保持不变，横坐标分别加上3，图形保持形状、大小不变，被向右平移了3个单位。（2）图形的轴对称横坐标保持不变，纵坐标分别乘以-1，所得图形与原图形关于X轴对称； 纵坐标保持不变，横坐标分别乘以-1，所得图形与原图形关于y轴对称； 横坐标分别乘以-1，纵坐标分别乘以-1，所得图形与原图形关于原点对称。 （3）图形的伸长横坐标、纵坐标分别变成原来的3倍，所得图形与原图形相似，形状不变，大小改变了（变为原来的9倍）。 （4）图形的压缩横坐标、纵坐标分别变成原来的1/3，所得图形与原图形相似，形状不变，大小改变了（变为原来的1/9）。（5）常见的对称关系（1）点A（a,b）关于x轴对称的点的坐标为A1（a,-b）; （2）点A（a,b）关于y轴对称的点的坐标为A2（-a,b）; （3）点A（a,b）关于原点对称的点的坐标为A3（-a,-b）;（4）点A（a,b）关于第一、第三象限的平分线对称的点的坐标为A4（b,a）; （5）点A（a,b）关于第二、第四象限的平分线对称的点的坐标为A5（-b,-a）. 识记点：点的坐标变化与图形的变化（平移、轴对称、伸长、压缩）之间的关系注意点：点的变化与图形的变化是一个互逆的过程，即点的变化可引起图形的变化；反之，由图形的变化可反映点的坐标变化。易错点：易混淆点的坐标变化与图形变化间的对应关系。技巧点：图形的变化及点的坐标变化应有机地结合在一起，要善于观察图形的位置变化。在研究两者变化关系时，可选取代表点研究它们位置关系的变化及坐标的变化，从而分析、总结出图形及坐标的变化特征。例题：平面直角坐标系中，有一点A的坐标为（5,4）,能否经过适当的变化，使其坐标变成（3，2）呢？解：能，先将点A沿着纵轴方向向下平移2个单位得点A1（5，2），在将A1沿着横轴方向向左平移2个单位即得点B（3，2）。 思考：想一想还有其他方法吗？10.2 函数与一次函数1.函数的概念一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和Y，如果在x的允许范围内给定一个x值，相应地就唯一确定了一个Y值，称x是自变量，y是因变量，y是x的函数。如汽车的速度一定，路程s是时间t的函数。例题:下列变化过程得出的函数关系式是否正确，如果错误，请写出正确的结果；如果正确，请写出式子中的自变量和因变量。（1）设一长方体盒子高为8cm，底面是正方形，这个长方形的体积V?cm3?与底面边长a（cm）的关系式为V=8a3;（2）小军计划用20元购买练习本，所能购买的总数n(本)与单价a(元)的关系式为n=20/a; （3）小茜用总长为60cm的铁丝围成一个矩形，矩形的面积S（cm2）与一边长l(cm)之间的关系式为s=l(60-l). 解：（1）正确，a是自变量，V是因变量； （2） 正确，a是自变量，n是因变量； （3） 错误，应为S=l(30-l).2.对函数定义的理解（1）在一个变化过程中必须有两个变量x和y，如x+y=3,x-y=5,xy=4,y=5x+6等。（2）对于自变量x的取值，必须要使代数式有意义，如y=2x+1中自变量可以从实数范围内取值：y?2x?1?0，另外，在实际问题中，自变量x的取值必须有实际的意义，如多边形边数、人数、机器数要为正数，时间要为非负数等。 （3）函数的实质是揭示了两个变量之间的关系：x每取一个值，Y要有一个且只有一个值与之对应，否则y就不是x的函数，如y?y就不一定是x的函数，因为在x0时，x取一个值，如x=-2,y就没有一个值与它对应，所以在x0时，y随x的增大而增大；当k0时，y的值随着x值的增大而增大；（2） 当k0）;（3）当x=5时，y=15+2x=25.4.做函数图像的一般步骤（1）列表：在自变量允许的范围内任意取x的值，计算出相应的y的值；（2）描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出相应的点； （3）连线：将所描出的点用一条光滑的曲线连接起来。 易错点和易忽视点：确定实际问题和几何问题中的一次函数自变量的取值范围时，往往把实际问题忽略，使自变量的取值范围变大或变小。例题：一矩形的周长为10厘米，长为x厘米，宽为y厘米，把矩形的宽表示为长的函数，并画出它的图像。 错解：因为矩形的周长是10厘米，所以它的半周长为5厘米，所以y=5-x.取x=0得y=5;取x=5得y=0。经过点A（0，5）与点B（5，0）的直线就是所求的图像，如右图。正解：矩形的宽与长之间的函数关系式为： Y=5-x(0x5).取x=0得y=5;取x=5得y=0。描出点A（0，5）与点B（5，0），连接AB，并出去A、B两点，则所得的图像就是所求的图像，如右图。技巧点：熟记作法的步骤，从实际中得出的函数表达式一定要注意自变量的取值范围，灵活作图，并利用图像上的特征点解题。例题：已知函数y=(2m-1)x+1-3m,当m为何值时，（1）这个函数为正比例函数； （2）这个函数为一次函数；（3）函数值y随着x的增大而减小；（4）这个函数图像与直线y=x+1的交点在x轴上。 解析：形如y=kx+b的函数解析式，当k?0且b=0时为正比例函数；当k?0时为一次函数；当k0时，函数值y随着x的增大而减小；如果函数y=(2m-1)x+1-3m的图像与直线y=x+1的交点在x轴上，因为x轴上的点，纵坐标为0，所以可设交点为（x0，0）。那么交点（x0，0）适合这两个函数解析式。 解：（1）若y=(2m-1)x+1-3m是正比例函数， 则m应满足?2m?1?0?1?3m?0解得m=1/3,当m=1/3时，这个函数是正比例函数；12（2）当2m?1?0时，即m?时，这个函数为一次函数；（3）根据一次函数的性质可知当2m?1?0，即m0（或y0（或kx+b6时，y=6a+c(x-6). 由已知，得?a?1.5,解得?27?6a?3cc?6?7.5?5a所以用水量不超过6立方米时，y与x的函数关系式为y=1.5x(0?x?6).用水量超过6立方米时，y与x的函数关系式为y=9+6(x-6)=6x-27(x6).即y=6x-27(x6). (2)当x=8时，y=6x-27=6*8-27=21(元)。故该户5月份的水费是21元。10.一次函数图像的应用问题的主要类型；（1）根据函数表达式，确定函数图像的位置；（2）给定x值（或y值），利用图像求y值（或x值；（3）行程问题的图像题型；（4）销售问题的图像题型；（5）手机话费、行李费等图像题型；例题：对于气温，有的地方用摄氏温度表示，有的地方；定y与x之间的函数关系式；（2）某天，南昌的最高气温是8，澳大利亚悉；尼的最高气温是10.一次函数图像的应用问题的主要类型（1）根据函数表达式，确定函数图像的位置；（2）给定x值（或y值），利用图像求y值（或x值）；（3）行程问题的图像题型；（4）销售问题的图像题型；（5）手机话费、行李费等图像题型。例题：对于气温，有的地方用摄氏温度表示，有的地方用华氏文都表示，摄氏温度与华氏温度之间存在着某种函数关系。从温度计上的刻度可以看出，摄氏（）温度x与华氏（。F）定y与x之间的函数关系式。（2） 某天，南昌的最高气温是8，澳大利亚悉尼的最高气温是91。F，问这一天悉尼的最高气温比南昌的最高气温高多少摄氏度（结果保留整数）？解：（1）描点连线，如图。通过观察可猜测：y与x的一次函数。设y=kx+b(k?0).将两对数值?x?0,?x?10,分别代入?y?32,?y?50,32?b?k?1.8,，解得 ?50?10k?bb?32.?所以y=1.8x+32;验证：将其余三对数值 y=kx+b,得?x?10,?x?20,?x?30, ?y?14,?y?68,?y?86.分别代入y=1.8x+32，得1.8*（-10）+32=14， 1.8*20+32=68， 1.8*30+32=86.结果都成立。 所以y与函数关系式是y=1.8x+32;(2)当y=91时，由91=1.8x+32，解得x?32.8,32.8?8?24.8?25()。答：这一天悉尼的最高温度比南昌的最高温度高约25。11.理解两条直线交点的含义两个一次函数图像的交点，表示此点在两条直线上的纵坐标相同，横坐标也相同。 例题：小宇开了一家小公司，