极值统计学在洪灾风险评价中的应用.doc

极值统计学在洪灾风险评价中的应用傅 湘，王丽萍，纪昌明(武汉大学 水资源系)摘 要：本文以极值统计学为理论基础，研究了该方法在洪灾损失风险计算中的适用性。在已知有限的极值事件概率信息下，确定极值风险函数以评估大洪水引起的洪灾损失期望值，揭示洪灾损失的潜在风险趋势。并通过实例研究验证该方法的可行性。关键词：极值统计学；洪灾损失；风险评价收稿日期：2000-09-25基金项目：国家自然科学基金重大项目(50099624)，湖北省自然科学基金项目。作者简介：傅湘(1971-)，女，江西九江人，讲师，博士，主要从事水文学及水资源的教学与研究工作。洪灾风险是指洪水流量超过了当地的蓄泄能力，引起洪水漫溢出河槽泛滥，造成部分地区受淹、人员伤亡和资产损失 的事件。洪灾风险评价不仅要考虑风险事件发生概率这一信息，而且还要同时考虑洪灾损失这一因素，现有的风险损失量化方法是求期望值函数，它掩盖了潜在的危 险因素，而极值统计学方法考虑了极值风险事件的严重危害，它补充、完善了现有的风险损失量化方法，在工程规划与管理领域具有一定的应用价值。1 极值统计学方法极值统计学是数学统计学的一个分支，主要是处理一定样本容量的最大值和最小值，可能的最大与最小值将组成它们各自的母体，因此这些值可用具有各自概率分布的随机变量来模拟。令X为初始的随机变量，并有已知的初始分布函数FX(x)；这里我们主要探讨样本量n的随机变量(X1，X2，Xn)的最大值，即随机变量：Yn=max(X1,X2,Xn).为了数学上的简化及与随机抽样理论一致，假设X1，X2，Xn均为相互统计独立并与初始随机变量X有相同的分布函数。据此，Yn的分布函数为：FYn(y)=P(Yny)=P(X1y,X2y,，Xny)=FX(y)n(1)对于方程(1)，当n变得很大或n时，FYn(y)是否具有极限的或渐近的形式，这一问题曾经是早期的统计学者所探讨的课题，并已成为人所共知的统计极值的渐近理论，它使得极值统计学的用途大为增强。当n很大时，极值的渐近分布趋向收敛于几种极限形式，耿贝尔把它们划分为、型的渐近形式1：来自带有指数型衰减尾部的初始分布的极值将渐近地收敛于型极限形式；而对于具有二项式衰减尾部的初始分布，它的极值将收敛于型渐近形式；对于有界的极值，其相应的极值分布将收敛于型渐近形式。描述极值统计的两个基本要素 是耿贝尔渐近分布形式与极值参数。在实际应用中，判断初始随机变量的确切分布常常比较困难，但描述极值风险事件后果是极其重要的，而它又是初始随机变量的 函数，因此，在初始随机变量的尾部情况不够明确时，必然会带来如何确定其极值分布的极限形式问题，以便确定极值风险的均值和方差，为此，可利用万米色斯 (Von Mises)准则作为指南1。James et al2在Von Mises收敛准则的基础上推导了初始变量X为极值、型时，Y=g(X)为耿贝尔极值分布形式的条件(见表1).2 极值统计方法与洪灾高损失区域的关系 在洪灾风险评价中，常用数学期望值来概化风险事件的概率和风险损失，它掩盖了极值事件的风险信息，而大多数情况下，管理者是不愿意冒风险的，当防洪系统 处于紧急时期时，管理者总是把注意力集中在避免严重危害事件上，而很少用物理或经济指标的期望值作为衡量系统性能的代表性指标。Asbeck and Haimes3提出的分区多目标风险方法(The Partitioned Multiobjective Risk Method)很好地解决了上述问题，它是一种基于条件期望值概念的风险量化方法，将期望值的概念推广到生成多个条件期望值函数，与传统的期望值法相比，它给出了一个更完整的风险描述。图1 概率-损失的风险条件期望值函数定义为随机变量在几个划定的概率范围内的期望值。显然条件期望值的大小取决于概率轴的划分，而分区点的选择由分析者根据决策问题的极值特点主观确定。下面简要介绍PMRM，如图1，Sj为第j个决策方案，FX(x,Sj),fx(x,Sj)分别为洪灾损失变量X的累积分布函数和概率密度函数。(1-i)为第i个概率分区点对应的洪水风险率(超越概率)，ij为第i个洪水风险率和第j个决策方案对应的损失值。它们的关系为：FX(ij,Sj)=i(2)洪灾损失的范围包括低损失区x:x0j,1j,中等损失区x:x1j,2j，高损失区(即极大值风险事件)为x:x2j,3j,0j、3j为洪灾损失X的下限及上限。则条件期望风险函数为：fi+1(sj)=EX|fX(x,Sj),xi-1,j;ij= =1/i-i-1(i=1,2,3；j=1,q)(3)从式(3)中我们可以看出，f4()代表了洪灾高损失区域的期望值，它对决策者处理洪灾风险问题起着关键作用；而上述极值统计方法为f4()的求解开辟了捷径，f4()的值可通过设定分区点2=，3=1而获得，这时f4()可视作的函数，分区点与样本容量n有如下关系4：n=1/1-(4)式(4)非常重要，它意味着n可以认为是相应洪水风险率1-的重现期，因此f4()是洪水重现期大于或等于n年的条件期望洪灾风险损失，由极值统计概念及式(3)、(4)可得出：(5)由上小节的讨论可知，f4()的大小取决于初始密度函数的尾部形状，它为我们研究f4()的渐近计算方法指明了道路。例如：当随机变量X初始概率密度函数的极值分布收敛于耿贝尔型时fX(x)=(an/n)exp-an(x-un)(6)将式(5)代入式(6)得：(7)将式(7)积分并简化为：f4()=un1/an(8)同理，当随机变量X初始概率密度函数的极值分布收敛于耿贝尔型或型时，我们也可推导出它们的f4()估计值：收敛于型时f4()=un+1/an+(1/an）2/(un-1/an)(9)收敛于型时f4()=un+1/an-(1/an)/(-an)an+1(10)运用极值统计学方法，我们可通过获得极值参数un,an来求解f4()，它的大小不仅取决于概率分区点的选择而且取决于初始变量的分布，极值统计与PMRM中f4()的结合使我们能推导出洪灾风险高损失区域的期望值，并能评估其对不同洪水风险率及初始分布选择的敏感性。3 应用研究在洪灾风险评价中，我们可先由洪水频率分析得出洪峰流量与频率的关系曲线，此曲线输入河道及洪泛区洪水演进方 程计算，得出流量与水位的关系，再根据洪灾损失评估确定洪泛区淹没水位与损失关系，最后得出频率与损失的关系；据此可科学地评价洪灾风险，为此作为制定减 灾规划、减灾决策、评价减灾效益的重要依据5。图2 洪灾损失的计算(已知洪水流量的概率密度函数)设X为洪水流量，Y为对应的洪水位，Z为洪灾损失，它们间的关系为Y=g(X),Z=h(Y)，则Z=hg(X)(见图2). 假定洪水流量X服从一特定分布，如对数正态，耿贝尔或维布尔分布等，且存在转换函数g、h时，随机变量Y、Z的确切分布很容易得出，但在防洪规划、设计中，Z确切分布时常难以评估。利用基础数据资料，我们可以运用耿贝尔极值概率纸和矩法(或有序统计法)1确定X的最大样本值的耿贝尔形式及极值参数uxn,axn.X的确切初始分布仍常难以确定，问题就成为在已知有限的X的概率描述信息及转换函数g、h下，研究函数Z的极值，以评估稀遇洪水事件引起的洪灾损失期望值。图3呈现了未知洪水流量的初始分布时，评估极值洪灾损失的概念性框架。图3 初始分布未知时，极值洪灾损失的估计设初始变量X为耿贝尔极值分布，假设由文中表1的转换条件，Y=g(X)也为耿贝尔极值分布，则由文献1中极值参数的定义，推导出图3中Y的极值参数uYn及aYn为：uYn=g(uXu)(11)aYn=nfY(uYn)=nfX(uxn)dx/dg(x)uXn=axn/dg(x)/dx|uXn(12)显然uYn，aYn的计算并不依赖于X的确切分布。下面以实例来说明上述方法的应用。设湖北省某河某站所测得的年最大流量适配为型极值分布，且利用矩法求出其极值参数uX100=6000m3/s；1/ax100=1500m3/s;假设该河道水位-流量关系：Y=g(X)=3.92(X/10000)0.3 (m)X1000m3/s；水位-损失曲线为：Z=h(Y)=1.5107(1-1.1/Y)($)Y1.10.解：因为年最大流量X为极值型分布，满足Von Mises准则，且由表1中的条件，可知Y也为极值型分布。根据Z=h(Y)的表达式，得表1 Y为耿贝尔、型分布的条件Y随机变量耿贝尔类型Xk0k0 k0k0k0dx存在附注：表2中表示X应满足Von Mises收敛准则，表示1/aXn(x)dg(x)/dx/g(x)应为X的单调函数。由表1可知，Z为极值型分布。通过两次运用式(11)、(12)，我们计算出Y、Z的极值参数：uY100=g(uX100)=3.92(6000/10000)0.3=3.36304 (m)1/aY100=1/aX100dg(x)/dx|uX100=15003.920.3/(104)0.3(6000)0.7=0.25223 (m)uZ100=h(uY100)=1.5107(1-1.1/3.36304)=10093666 ($)1/aZ100=1/aY100dh(Y)/dY|uX100=0.2521.51071.1/(3.363)2=367647 ($)利用方程(6)可得E():($)因为n=100,由式(12)得1-=1%即重现期不小于百年一遇的洪灾风险引起的洪灾损失期望值为10435648($)，Z的概率密度示意图(见图4)如下，图中阴影部分面积为概率(1-).图4 洪灾损失概率密度示意4 结语本文首先阐述 了极值统计学的基本原理，并利用Von Mises收敛准则作为指南，在初始随机变量概率密度函数的尾部情况不够明确时，判别初始随机变量极值分布的极限形式；再运用某一随机变量与初始变量的函 数转换关系，利用表1的判别形式判定某一随机变量的极值分布形式。其次，研究了极值统计与分区多目标风险方法中的极值风险函数f4()的联系，并概括了极值风险变量为最大值、型渐近分布时，f4()的近似计算式。在洪灾风险评价中，f4()表示洪水重现期大于或等于n年的期望洪灾风险损失值，它为密切关注防洪系统工程中洪灾风险事件的管理者提供了一个有效的理论评估依据。最后，用一实例来说明极值统计方法的具体应用。参 考 文 献：1 A.H S,Tang W H.Probability Concepts in Engineering Planning and DesignM。Volume ,John Wiley and Sons,New York,1984.2 James H L,et al.Evaluating Risk of Extreme Events For Univaviriate Loss FunctionsJ。Journal of Water Resources Planning and Management,1994,120(3):382-399.3 Asbeck E L,Haimes Y Y.The Partitioned Multiobjective Risk Method(PMRM)J。Large Scale S