[初三数学]特级教师王盛裕老师数学竞赛讲座汇编.doc

数学竞赛辅导讲座一数1、 计算：2、 如果，那么n=_3、 军训基地购买苹果慰问学员，已知苹果总数用八进制表示为，七进制表示为，那么苹果总数用十进制表示为_4、 已知实数a满足，那么a-20062的值是（ ）A、2005B、2006C、2008D、20095、设分数不是最简分数，那么正整数n的最小值可以是（ ）A、84B、68C、45D、1156、数272-1能被500与600之间的若干整数整除，试找出三个这样的整数，它们是_7、n是自然数，19n+14与10n+3都是某个不等于1的自然数d的倍数，则d=_8、设，则3a3+12a2-6a-12=（ ）A、24B、25C、D、9、已知a、b是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a，b）共有_对10、设n是大于1909的正整数，使得为完全平方数的n的个数有（）个A、3B、4C、5D、611、设an表示数n4的末位数，则a1+a2+a2008=_12、如果对于某一特定范围内x的任意允许值，p=|1-2x|+|1-3x|+|1-10x|为定值，则定值为（ ）A、2B、3C、4D、513、若，则x=_14、试求|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-2009|的最小值15、已知p、q均为素数，且满足5p2+3q=59，则以p+3，1-p+q，2p+q-4为边长的三角形是（ ）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、等腰三角形16、若x1、x2 、x3 、x4 、x5为互不相等的正奇数，满足(2005-x1)(2005-x2)(2005-x3)(2005-x4)(2005-x5)=242，则x12+x22+x32+x42+x52的末尾数字是（ ）A、1B、3C、5D、717、在数1、2、3、2008、2009前面任意添加上“+”或“-”进行计算，所得可能的最小非负数是_18、设a、b、c为实数，x、y、z中至少有一个值（ ）A、大于0B、等于0C、不大于0D、小于019、今天是星期日，若明天算第1天，则第13+23+20093天是星期_20、当x分别取时，计算代数式值，将所得的结果相加，其和等于（ ）A、-1B、1C、0D、200921、已知四个互不相等的正数x、y、m、n中，x最小，n最大，且x：y=m：n，试比较x+n与y+m的大小，并证明你的结论22、计算：23、设x0，y0，且，求的值24、求的最小值25、设a、b、c为两两不相等的有理数，求证为有理数26、已知，且0xy，那么满足上述等式的整数对(x，y)的个数有多少？27、设，如果用记号S表示不超过S的最大整数，试求S28、已知x、y是整数，并且13|(9x+10y)，求证：13|(4x+3y)29、若a、b是整数，且7|(a+b)，7|(2a-b)，求证：7|(5a+2b)30、正整数p、q都大于1，且都是整数，求p+q31、当n是正整数时，n4-6n2+25是质数还是合数？证明你的结论32、已知a是自然数，问a4-3a2+9是质数还是合数？证明你的结论33、试求出一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同34、设a、b、c、d是正整数，并且a2+b2=c2+d2，证明a+b+c+d一定是合数35、你能找到三个正整数a、b、c，使得关系式(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)=3388成立吗？如果能找到，请举一例；如果找不到，请说明理由36、一个正整数a，若将其数字重新排列，可得到一个新的正整数b，如果a恰好是b的3倍，我们称a是一个“希望数”（1）请你举例：“希望数”一定存在；（2）请你证明：如果a、b都是“希望数”，则ab一定是729的倍数37、将自然数1、2、3、21这21个数，任意地放在一个圆周上，证明：一定有相邻的三个数，它们的和不小于3338、设，a是x的小数部分，b是-x的小数部分，求的值39、设a、b都是整数，求证：a，b，a2+b2，a2-b2中一定有一个被5整除40、若一个数能够表示成(x，y是整数)的形式，则称该数为“好数”（1）试判断29是否为好数；（2）写出80，81，100中的好数；（3）如果m，n都是好数，证明mn也是好数41、有三堆小石子的个数分别是19、8、9，现在进行如下的操作：每次从三堆中的任意两堆中取出1个石子，然后把这两个石子都加到另一堆中，试问能否进过若干次这样的操作后，使得（1）三堆的石子数分别是2、12、22？（2）三堆的石子数都是12？如能达到要求，请用最小的操作次数完成它，如不能达到，请说明理由注：每次操作可用如下方式表示，比如从第一、二堆中各取出一个石子，加到第三堆上，可表示为（19，8，9）（18，7，11）等等42、求证为无理数43、已知p为大于3的质数，证明p的平方被24除的余数是144、已知M是一个四位的完全平方数，若将M的千位数字减少3而各位数字增加3可以得到另一个完全平方数，则M=_45、在“123456789”的小方格中填上“+”或“-”号，如果可以使其代数和为n，就称n是“可被表出的数”，否则，就称n是“不可被表出的数”（如1是可被表出的数，这是因为1+2-3-4+5+6-7-8+9是1的一种可被表出的方法）（1）求证：7是可被表出的数，而8是不可被表出的数；（2）求25可被表出的不同方法种数数学竞赛辅导讲座二式1、 已知x为实数，则的最大值是_2、 已知a+b+c=11与，则的值是_3、 已知实数a，b，c满足(a+b)(b+c)(c+a)=0，且abcyz0，求合适等式xyz+xy+yz+zx+x+y+z=1989的整数x，y，z的值29、已知一组数据4，-2，0，2，x的极差是10，求x的值30、设都是正整数，且满足，求的最大值31、实数a，b满足，求的最大值32、计算：33、当x变化时，求分式的最小值34、已知，求的值35、求证：（1）一个自然数的平方被7除的余数只能是0，1，4，2；（2）对任意正整数n，不被7整除36、为实数，求证：37、已知a，b，c均为正整数，且满足，有a为质数，求证：（1）b与c这两个数的乘积为偶数；（2）2(a+b+1)是完全平方数38、设a，b，c均是不等于0的实数，且满足及，证明：39、设实数x，y满足，求x+y的值40、已知a，b，c为实数，证明这四个代数式的值中至少有一个不小于的值，也至少有一个不大于的值41、设实数x，y，z同时满足，试求的值42、试求满足条件的整数对（x，y）43、如果实数a，b满足条件，a+b的值是多少？44、已知a，b，c为证书，满足下列条件说明：以为三边长的三角形可构成以个直角三角形数学竞赛辅导讲座三方程1、方程|3x|+|x-2|=4的解的个数是（ ）A、0B、1C、2D、32、以关于x，y的方程组的解为坐标的点（x，y）在第三象限，则符合条件的实数m的范围是（ ）A、mB、m-2C、-2mD、-m0，b0，满足，则a+b的值是_4、关于x的方程的解为_5、已知p是质数，且方程的两个根都是整数，则p=_6、方程的整数解（x，y）的个数是（ ）A、0B、1C、3D、无数多个7、若a，b都是整数，方程的两相异根都是质数，则3a+b的值是（ ）A、100B、400C、700D、10008、对于实数x，符合x表示不大于x的最大整数，例如3.14=3，-7.59=-8，则关于x的方程的整数解有（ ）个A、4B、3C、2D、19、已知a，b，c，d，e，f满足，则(a+c+e)-(b+d+f)的值为_10、方程有三个不相等的实根，则k的取值范围是（ ）A、-k0B、0k-D、k0，且ba+c，证明方程必有两个不同的实根33、解下列方程：（1）（2）（3）（4）（5）（6）34、设a为整数，使得关于x的方程至少有一个有理根，试求方程所有可能的有理根35、已知正整数a，b，c满足ab2，b2，试判断关于x的方程与方程有没有公共根，并说明理由43、求所有的实数k，使得关于x的方程的根都是整数44、设a，b，c为互不相等的非零实数，求证三个方程不可能有两个相等实根45、设是整系数二次方程的判别式，（1）4，5，6，7，8五个数值中，哪几个能作为判别式的值？分别写出一个相应的二次方程；（2）请你从中导出一般规律一切整数中怎样的整数值不能作为的值，并给出理由数学竞赛辅导讲座四不等式1、 不等式对一切实数x都成立，则实数a的最大值为_2、 满足的整数x的个数是（ ）A、4B、5 C、6D、73、已知-12x-10的解集为xn(m0)的解集为_5、使关于x的不等式成立的x的最大值是-1，则a的值是_6、关于x的不等式|2x-1|6的所有非负整数解的和为_7、若整数x，y，z满足不等式组，则x，y，z的大小关系是（ ）A、xyzB、yzx C、zxyD、不能确定8、若a，c，d是整数，b是正整数，且满足a+b=c，b+c=d，c+d=a，那么a+b+c+d的最大值为（ ）A、-1B、-5 C、0D、19、若a，b，c，d为乘积是1的四个正数，则代数式的最小值是（ ）A、0B、4 C、8D、1010、设实数x满足，求2|x-1|+|x+4|的最小值11、求证：（x为实数）12、已知，对于满足条件0x1的一切实数x，不等式a(1-x)(1-x-ax)-bx(b-x-bx)0恒成立，当乘积ab取最小值时，求a，b的值13、设x，y为实数，若，求k的取值范围14、解关于x的不等式组15、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点称为整点，试在二次函数的图像上找出满足y|x|的所有整点（x，y），并说明理由16、已知0a1，0b1，0c1，求证：(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不可能同时大于数学竞赛辅导讲座五函数1、在平面直角坐标系中有点A（-2，2）、B（3，2），C是坐标轴上的一点，若ABC是直角三角形，则符合条件的点C有（ ）个A、1B、2 C、4D、62、已知一次函数y=kx+b，kb0，b0），若直线AB为一次函数y=kx+m的图像，则当是整数时，满足条件的整数k的值共有（ ）A、1个B、2个 C、3个D、4个6、一次函数与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作正方形ABCD，在第二象限内有一点P（a，），满足SABP=S正方形ABCD，则a=_7、已知（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（ ）A、-3B、3 C、-D、-8、把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数的图像与x轴有两个不同交点的概率是（ ）A、B、 C、D、9、过点P（-1，3）作直线，使它与坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以做（ ）A、4条B、3条 C、2条D、1条10、若关于x的函数的图像与坐标轴有两个交点，则a的值为_11、二次函数的图像经过（-1，2）且与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2（-2x1-1，0x20，4a-2b+c0，2a-b4ac，其中正确的有（ ）个A、1B、2 C、3D、412、过原点的直线与反比例函数y=- 的图像交于A，C，自点A，C分别作x轴的垂线，垂足分别为B，D，则四边形ABCD的面积等于_13、设抛物线与x轴有两个不同的交点（x1，0）、（x2，0），则下列结论中一定成立的是（ ）A、B、 C、D、14、一次函数y=kx+b的图像过点P（1，4），且分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B，O为坐标原点，ABC的面积最小时，k，b的值分别是（ ）A、-4，8B、-4，4 C、-2，4D、-2，-215、已知函数（a，c为实数），若-4f(1)-1，-1f(2)2，则f(8)的最大值是_16、如果函数y=b的图像与函数的图像恰有三个交点，则b的可能值为_17、若函数的最大值关于t的表达式ymax=_18、已知abck20）在第一象限内的图像依次是曲线C1和C2，设点P在C1上，PEx轴于点E，交C2与点A，PDy轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（ ）A、k1+k2B、k1-k2 C、k1k2D、20、在平面直角坐标系中，已知点（1，1）在坐标轴上找一点P，使AOP为等腰三角形，求P点坐标21、设抛物线的图像与x轴只有一个交点（1）求a的值；（2）求22、已知直线y=b（b为实数）与函数的图像至少有三个公共点，则实数b的取值范围23、已知一次函数y=Ax+B与反比例函数y=的图像交于点M（2，3），N（-4，m）（1）求一次函数y=Ax+B与反比例函数y=的解析式；（2）求OMN的面积24、已知二次函数的图像与x轴交于点A，B，它的顶点在以AB为直径的圆上（1）证明：A，B是x轴上两个不同的交点；（2）求二次函数的解析式；（3）设以AB为直径的圆与y轴交于点C，D，求弦CD的长25、求满足下列条件的正整数n的所有可能值：对这样的n，能找到实数a，b，使得函数对任意整数x，f(x)都是整数26、如图，已知点M（0，1），N（0，-1），P是抛物线上的一个动点（1）判断以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=-1的位置关系；NxyOMQP（2）设直线PM与抛物线的另一个交点为Q，连结NP，NQ，求证：PNM=QNM27、已知二次函数的图像与x轴的交点分别为A，B，与y轴的交点为C，设ABC的外接圆的圆心为P（1）证明P与y轴的另一个交点为定点；（2）如果AB恰好为P的直径且SABC=2，求b和c的值28、已知抛物线上有一点M（x0，y0）位于x轴的下方（1）求证：已知抛物线与x轴必有两个交点A（x1，0），B（x2，0），其中x1x2；（2）求证x1 x0x2；（3）若点M为（1，-2）时，求整数x1，x2的值数学竞赛辅导讲座六三角形1、设ABC的三边分别为a，b，c且，则ABC一定是（ ）A、直角三角形B、等边三角形C、等腰三角形D、钝角三角形2、ABC的边a，b，c满足条件，则b边所对的B的大小是（ ）A、锐角B、直角 C、钝角D、锐角、直角、钝角都有可能3、在锐角ABC中，三个内角的读数都是质数，且最短边的长是1，则满足条件的互不全等的三角形的个数为（ ）A、1B、2 C、3D、多于34、7条长度均为整数的线段，满足，且这7条线段中的任意三条都不能构成三角形，若a1=1，a7=21，则a6=（ ）A、18B、13 C、8D、55、是一个正九边形，则等于（ ）A、B、 C、(a+b)D、a+b6、在RtABC中，C=90，BCAC，且，则A=（ ）A、15B、18 C、20D、257、如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60的角，在直线l上取一点P，使得APB=30，则这样的点P有（ ）A、3个B、2个 C、1个D、不存在8、在ABC中，AB=AC=2，BC边上有100个不同的点，记，则=（ ）A、100B、200 C、300D、4009、如图，在线段AE同侧作两个等边ABC，CDE（ACE120），P，M分别是线段BE和AD的中点，则PCM是（ ）A、钝角三角形B、直角三角形C、等边三角形D、非等腰三角形10、在ABC中，C=3A，a=27，c=48，则b等于（ ）A、33B、35 C、37D、不确定11、在ABC中，AB=5，AC=12，BC=13，D，E在边BC上，满足BD=1，CE=8，则DAE的度数为_12、在RtABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在CA、CB上，满足DFE=90，若AD=3，BE=4，则线段DE的长度为_13、如图，在正ABC中，D、E分别在BC，CA上，使CD=AE，AD与BE交于点P，BQAD于点Q，则=_14、设P是边长为12的正ABC内一点，过P分别作三条边BC、CA、AB的垂线，垂足为别为D、E、F，已知PD:PE:PF=1:2:3，那么四边形BDPF的面积是_15、如图，已知BAD=DAC=9，ADAE，且AB+AC=BE，则B=_16、如图，在三角形ABC中，BAC=45，ADBC于点D，若BD=3，CD=2，则SABC=_17、在ABC中，AB=7，AC=11，M是BC边的中点，AD是BAC的平分线，MFAD，则FC的长是_18、在ABC中，CAB=70，CAB和ACB的平分线交于点I，若AC+AI=BC，则ACB=_19、在钝角ABC中，AB90，ADBC，求证AC+ABBC25、锐角ABC中，BCS2 C、S1b），当BF平分AE时，则的值为（ ）A、B、 C、D、2、设AD、BE、CF为ABC的三条高，若AB=6，BC=5，EF=3，则线段BE的长为（ ）A、B、4 C、D、3、O是ABC的外心，ODBC，OEAC，OFAB，则OD：OE：OF=（ ）A、a：b：c B、： C、Cos A：CosB： CosC D、SinA：SinB：SinC4、如图，ABC是边长为6cm的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分面积为（ ）A、4B、2 C、3D、45、在等腰直角三角形ABC的斜边AB上取两点M、N，使MCN=45，记AM=m，MN=x，BN=n，则以x、m、n为边长的三角形形状是（ ）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、随x、m、n的变化而变化6、ABC中，D、F分别在AC、BC上，且ABAC，AFBC，BD=DC=FC=1，则AC=（ ）A、B、 C、D、7、RtABC中，C=Rt，CD是斜边AB上的高，在BC和CA上分别取点E和F，使EFD和ABC相似，这样的FED有（ ）个A、1B、2 C、3D、多于38、设锐角ABC的三条高AD、BE、CF相交于H，若BC=a，AC=b，AB=c，则AHAC+BHBE+CHCF的值是（ ）A、B、C、D、9、设D是ABC的边AB上的一点，作DEBC交AC于点E，作DFAC交BC于点F，已知ADE，DBF的面积为m和n，则四边形DECF的面积为_10、如图，ABCD的对角线相交于O，在AB的延长线上任取一点E，连结OE，交BC于F，若AB=a，AD=c，BE=b，则BF=_11、已知ABC为锐角三角形，其最大边AC上有一点P（P与A、C不重合），过P作直线l，使l截ABC所得的三角形与原三角形相似，则这样的直线可以作_条12、正方形ABCD边长为1，M、N为BD所在直线上两点，且AM=，MAN=135，则四边形AMCN的面积为_13、如图，已知ABC的面积为1，D为BC的中点，E、F分别在AC、AB上，且SBDF=，SCDE=，则SDEF=_14、ABC中，C=90，D、E分别为BC上的两点，且ABC=ADC=AEC，若BD=11，DE=5，则AC=_15、如图，已知边长为的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形，其中a、b、c是整数，且b不能被任何质数的平方整除，则=_16、如图，ABC中，AB=2，AC=，A=BCD=45，则BC的长为_，BDC的面积为_17、设CD是RtABC斜边AB上的高，I1、I2分别是ADC、BDC的内心，AC=3，BC=4，求I1I218、如图，在ABC，D、E分别是AC、BC的中点，BF=AB，BD与FC相交于G，（1）求证：EGAC；（2）求的比值19、已知线段AB，只用圆规把线段AB二等分20、分别以锐角ABC的三边为边向外作正ABC、正BCE、正CAF，三个正三角形的中心分别为O1、O2、O3，求证：O1O2O3是正三角形21、如图，在ABCD中，P1、P2、Pn-1分别是BD的n等分点，连结AP2并延长交BC于点E，连结APn-2并延长交CD于点F，（1）求证：EFBD；（2）若ABCD的面积为S，且SAEF=S，求n的值22、是否存在一个边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角是另一个内角的2倍的ABC？证明你的结论23、如图，在直角梯形ABCD，ABC=BAD=90，AB=16，对角线AC与BD交于点E，过E作EFAB于点F，O为AB中点，且EF+EO=8，求AD+BC的值24、已知点D在ABC的边BC上，且与B、C不重合，过D作AC的平行线DE交AB于E，作AB的平行线DF交AC于点F，又已知BC=5，设ABC的面积为S，若四边形AEDF的面积为S，求BD的长；若AC=AB，且DF经过ABC的重心G，求EF两点间的距离25、如图，O是四边形ABCD对角线交点，已知BAD+BCA=180，AB=5，AC=4，AD=3，=，求BC数学竞赛辅导讲座九圆1、如图，已知P是边长为a的正方形ABCD内一点，PBC是等边三角形，则PAD的外接圆半径是（ ）A、aB、a C、aD、a2、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则SinCBE=（ ）A、B、 C、D、3、如图，圆心在原点，半径为2的圆内有一点P（，），过P点作弦AB与劣弧组成一个弓形，则该弓形面积的最小值为（ ）A、-1B、-2 C、-1D、-4、如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，P与x轴切与点Q，与y轴交于点M（0，2），N（0，8），则点P的坐标是（ ）A、（5，3）B、（3，5） C、（5，4）D、（4，5）5、在底面直径是2，母线长为4的圆锥，若一只小虫子以点A出发，绕侧面一周又回到点A，则它爬行的最短路线长是（ ）A、2B、4 C、4D、56、如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，则这条直线必经过这个三角形的（ ）A、内心B、外心 C、重心D、垂心7、如图，O与RtABC的斜边AB切于点D，与直角边AC交于点E且，DEBC，已知AE=2，AC=3，BC=6，则O的半径是（ ）A、3B、4 C、4D、28、如图，正方形ABCD内接于O，点P在劣弧上，联结DP，DP交AC于点Q，若QP=QO，则=（ ）A、2-1B、2 C、+D、+29、如图，AB是半圆O的直径，半圆O的内接正方形CDEF的边长为1，AD=m，DB=n，那么的值为_10、如图，AD是半圆的直径，AD=4，B、C为半圆上的两点，弦AB=BC=1，则弦CD的长为_11、已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆的外公切线的距离为_12、如图，从O外一点M作圆的切