2019版高考数学复习第2章函数概念与基本初等函数4第4讲二次函数与幂函数教案理.docx

第4讲二次函数与幂函数1幂函数(1)定义：形如yx(R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，为常数常见的五类幂函数为yx，yx2，yx3，yx，yx1.(2)性质幂函数在(0，)上都有定义当0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，)上单调递增当0)f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0时，幂函数yxn在(0，)上是增函数()(3)二次函数yax2bxc(xR)不可能是偶函数()(4)二次函数yax2bxc(xa，b)的最值一定是.()答案：(1)(2)(3)(4) 已知函数f(x)ax2x5的图象在x轴上方，则a的取值范围是()A.B.C. D.解析：选C.由题意知即得a. 已知函数yx22x3在闭区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为()A0，1B1，2C(1，2D(1，2)解析：选B.如图，由图象可知m的取值范围是1，2 已知幂函数f(x)的图象经过点(9，3)，则f(2)f(1)_.解析：设幂函数为f(x)x，则f(9)93，即323，所以21，即f(x)x，所以f(2)f(1)1.答案：1 (教材习题改编)函数g(x)x22x(x0，3)的值域是_解析：由g(x)x22x(x1)21，x0，3，得g(x)在0，1上是减函数，在1，3上是增函数所以g(x)ming(1)1，而g(0)0，g(3)3.所以g(x)的值域为1，3答案：1，3幂函数的图象及性质 典例引领 (1)已知幂函数f(x)(m23m3)xm1为偶函数，则m()A1 B2C1或2D3(2)(2016高考全国卷)已知a2，b4，c25，则()AbacBabcCbcaDcab【解析】(1)因为幂函数f(x)(m23m3)xm1为偶函数，所以m23m31，即m23m20，解得m1或m2.当m1时，幂函数为f(x)x2为偶函数，满足条件，当m2时，幂函数为f(x)x3为奇函数，不满足条件，故选A.(2)因为a216，b416，c25，且幂函数yx在R上单调递增，指数函数y16x在R上单调递增，所以bac.【答案】(1)A(2)A幂函数的图象与性质问题的解题策略(1)关于图象辨识问题，关键是熟悉各类幂函数的图象特征，如过特殊点、凹凸性等(2)关于比较幂值大小问题，结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较或应用(3)在解决幂函数与其他函数的图象的交点个数、对应方程根的个数及近似解等问题时，常用数形结合的思想方法，即在同一坐标系下画出两函数的图象，数形结合求解 通关练习1(2018西安模拟)函数y的图象大致是()解析：选C.yx，其定义域为xR，排除A，B，又01，图象在第一象限为上凸的，排除D，故选C.2若(a1)(32a)，则实数a的取值范围是_解析：不等式(a1)32a0或32aa10或a1032a，解得a1或a.故a的取值范围是(，1).答案：(，1)求二次函数的解析式 典例引领 已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式【解】法一：(利用一般式)设f(x)ax2bxc(a0)由题意得解得所以所求二次函数的解析式为f(x)4x24x7.法二：(利用顶点式)设f(x)a(xm)2n(a0)因为f(2)f(1)，所以抛物线的对称轴为x.所以m.又根据题意函数有最大值8，所以n8，所以f(x)a8.因为f(2)1，所以a81，解得a4，所以f(x)484x24x7.法三：(利用零点式)由已知f(x)10的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值8，即8.解得a4或a0(舍去)，所以所求函数的解析式为f(x)4x24x7.求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下： 通关练习1已知二次函数f(x)有两个零点0和2，且它有最小值1，则f(x)的解析式为f(x)_解析：由二次函数f(x)有两个零点0和2，可设f(x)a(x2)x，则f(x)a(x22x)a(x1)2a.又f(x)有最小值1，则a1.所以f(x)x22x答案：x22x2已知二次函数yf(x)的顶点坐标为(，49)，且方程f(x)0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是_解析：设f(x)a(x)249(a0)，方程a(x)2490的两个根分别为x1，x2，则|x1x2|27，所以a4，所以f(x)4x212x40.答案：f(x)4x212x40二次函数的图象与性质(高频考点)高考对二次函数图象与性质进行考查，多与其他知识结合，且常以选择题形式出现，难度为中高档题高考对二次函数图象与性质的考查主要有以下三个命题角度：(1)二次函数的单调性；(2)二次函数的最值问题；(3)一元二次不等式恒成立问题典例引领角度一二次函数的单调性 函数f(x)ax2(a3)x1在区间1，)上是递减的，则实数a的取值范围是()A3，0)B(，3C2，0D3，0【解析】当a0时，f(x)3x1在1，)上递减，满足条件当a0时，f(x)的对称轴为x，由f(x)在1，)上递减知解得3a0.综上，a的取值范围为3，0【答案】D若把本例中“在区间1，)上是递减的”改为“单调减区间是1，)”，则a_解析：由本例解析知，当a0时，函数f(x)在区间1，2上是增函数，最大值为f(2)8a14，解得a；(3)当af(2mmt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是()A(，)B(，0)C(，0)(，)D(，)(，)【解析】当xf(2mmt2)对任意实数t恒成立，知4t2mmt2对任意实数t恒成立mt24t2m0对任意实数t恒成立m(，)，故选A.【答案】A(1)二次函数最值问题的类型及处理思路类型：a.对称轴、区间都是给定的；b.对称轴动、区间固定；c.对称轴定、区间变动解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成 (2)二次函数中恒成立问题的求解思路一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离这两个思路的依据是：af(x)af(x)max，af(x)af(x)min.通关练习1(2017高考北京卷)已知x0，y0，且xy1，则x2y2的取值范围是_解析：由已知可得，y1x，代入x2y2，得x2y2x2(1x)22x22x12(x)2，x0，1，当x0或x1时，取得最大值1，当x时，取得最小值，所以x2y2的取值范围是，1答案：，12若函数f(x)x22x1在区间a，a2上的最小值为4，则a的取值集合为_解析：因为函数f(x)x22x1(x1)2，对称轴x1，因为在区间a，a2上的最小值为4，所以当1a时，yminf(a)(a1)24，a1(舍去)或a3，当a21时，即a1，yminf(a2)(a1)24，a1(舍去)或a3，当a1a2时，即1a1)(1)若函数f(x)的定义域和值域均为1，a，求实数a的值；(2)若f(x)在区间(，2上是减函数，且对任意的x1，x21，a1，总有|f(x1)f(x2)|4，求实数a的取值范围解：(1)因为f(x)x22ax5在(，a上为减函数，所以f(x)x22ax5(a1)在1，a上单调递减，即f(x)maxf(1)a，f(x)minf(a)1，所以a2.(2)因为f(x)在(，2上是减函数，所以a2.所以f(x)在1，a上单调递减，在a，a1上单调递增，所以f(x)minf(a)5a2，f(x)maxmax，又f(1)f(a1)62a(6a2)a(a2)0，所以f(x)maxf(1)62a.因为对任意的x1，x21，a1，总有|f(x1)f(x2)|4，所以f(x)maxf(x)min4，即1a3，又a2，故2a3. 幂函数yx(R)图象的特征0时，图象过原点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；0时，图象不过原点，经过(1，1)点在第一象限的部分“下降”，反之也成立 二次函数求最值的三种常见类型二次函数的最值由所给区间，对称轴及开口方向等因素确定(1)一般在轴定区间定的条件下有以下三种情况：若所给区间为R，则在顶点处取最值在所给区间m，n，yax2bxc(a0)的对称轴xm，n时，其最值为一个是在顶点处取得另一个则距轴较远的端点处取得在所给区间m，n，m，n时，则利用函数的单调性求得最值(在区间的两个端点处)(2)若二次函数自变量的区间确定，但对称轴位置是变化的，则需要根据对称轴位置变化情况分对称轴在给定区间内变化与在给定区间外变化两种情况讨论，若对称轴只能在给定区间内变化，则只考虑对称轴与区间端点的距离即可若对称轴在区间外，应分在区间左侧或右侧内讨论(3)若所给区间变化，而对称轴位置确定，则对于区间变化时，是否包含对称轴与x轴交点的横坐标必须进行分类讨论，其分类标准为变化区间中包含对称轴与x轴交点的横坐标与变化区间中不包含对称轴与x轴交点的横坐标具体分类可分四类对称轴在区间左侧对称轴在区间右侧对称轴在闭区间内且在中点的左侧对称轴在闭区间内且在中点的右侧(或过中点) 会用两种数学思想(1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路(2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，讨论二次方程根的大小等 易错防范(1)对于函数yax2bxc，要认为它是二次函数，就必须满足a0，当题目条件中未说明a0时，就要讨论a0和a0两种情况(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点 1如图是yxa；yxb；yxc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为()AcbaBabcCbcaDacbc，且abc0，则它的图象是()解析：选D.因为abc，且abc0，得a0，且c0，所以f(0)cf()f(1)Bf()f()f(1)Cf()f()f(1)Df(1)f()f()解析：选B.因为f(x)(m1)x22mx3为偶函数，所以得m0，即f(x)x23，其在0，)上为减函数，又因为f()f()，f(1)f(1)且1f()f()，即f()f()0，符合题意；当m0时，由f(0)1可知：要满足题意，需解得0m1；当m0时，由f(0)1可知，函数图象恒与x轴正半轴有一个交点综上可知，m的取值范围是(，16已知幂函数f(x)x的图象过点(2，4)，那么函数f(x)的单调递增区间是_解析：因为f(2)24，所以2，故函数f(x)的解析式为f(x)x2，则其单调递增区间为0，)答案：0，)7已知二次函数为yx22kx32k，则顶点位置最高时抛物线的解析式为_解析：由题意可知：yx22kx32k(xk)2k22k3，所以该抛物线的顶点坐标为(k，k22k3)设顶点的纵坐标为yk22k3(k1)24，所以当k1时，顶点位置最高此时抛物线的解析式为yx22x5.解析：yx22x58已知a是实数，函数f(x)2ax22x3在x1，1上恒小于零，则实数a的取值范围是_解析：由题意知2ax22x30在1，1上恒成立当x0时，30，符合题意；当x0时，a，因为(，11，)，所以当x1时，右边取最小值，所以af(a1)的实数a的取值范围解：因为函数f(x)的图象经过点(2，)，所以2(m2m)1，即22(m2m)1，所以m2m2，解得m1或m2.又因为mN*，所以m1，f(x)x.又因为f(2a)f(a1)，所以解得1af(a1)的实数a的取值范围为1a0，f(p)0Bf(p1)0，函数图象的对称轴为x，则f(1)f(0)0，设f(x)0的两根分别为x1，x2(x1x2)，则1x1x20，根据图象知，x1p0，f(p1)0.2(2018陕西西安模拟)已知幂函数f(x)的图象经过点，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1x2f(x2)；x1f(x1)xf(x2)；xf(x1)xf(x2)其中正确结论的序号为()ABCD解析：选C.设函数f(x)x，依题意有2，所以，因此f(x)x.令g(x)xf(x)xxx，则g(x)在(0，)上单调递增，而0x1x2，所以g(x1)g(x2)，即x1f(x1)x2f(x2)，故错误，正确；令h(x)，则h(x)在(0，)上单调递减，而0x1h(x2)，即，于是xf(x1)xf(x2)，故正确，错误，故选C.3设函数f(x)x21，对任意x，f4m2f(x)f(x1)4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是_解析：依据题意，得14m2(x21)(x1)214(m21)在x上恒成立，即4m21在x上恒成立当x时，函数y1取得最小值，所以4m2，即(3m21)(4m23)0，解得m或m.答案：4定义：如果在函数yf(x)定义域内的给定区间a，b上存在x0(ax0b)，满足f(x0)，