2013年广东高考试卷(理科数学)解析版.doc

绝密启用前试卷类型：A2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（理科）一、 选择题：本大题共8小题，每题5分满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的。1.设集合，。则A0 B.0,2 C.-2,0 D.-2,0,2解析：， 选D2.定义域为R的四个函数中，奇函数的个数是A.4 B.3 C.2 D.1解析：四个函数中，奇函数有两个。选C3.若复数z满足，则在复平面内，z对应的点的坐标是A.(2,4) B.(2,-4) C.(4,-2) D.(4,2)解析： 选C4.已知离散型随机变量X的分布列为X123P则X的数学期望E(X)=A. B.2 C. D.3解析：E(X)= 选A5.某四棱台的三视图如图1所示，则该四棱台的体积是 图1A. 4 B. C. D. 6 解析：显然棱台的上下底的面积分别为，故其体积为 选B6.设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是A.若，则mn； B. 若，则C. 若，则； D. 若，则解析：选D ，平面内存在直线，故其它选项均错。7.已知中心在原点的双曲线C的右焦点F(3,0)，离心率等于，则C的方程是A. B. C. D. 解析：由题意得 故C的方程是：B. 8.设整数，集合，令集合且三条件恰有一个成立，若和都在S中，则下列选项正确的是A. B. C. D. 解析：若，和都在S，且，且 故若，和都在S，且，且 故 选B二、填空题：本大题共7小题， 考生作答6小题，每小题5分，满分30分.（一）必做题（9-13题）9.不等式的解集为 解析：由所以原不等式的解集为或填（-2,1）10.若曲线在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k= 解析： 解得11.执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出S的值为 解析： 7 12.在等差数列an中，已知a3+a8=10，则3a5+a7= 解析：3a5+a7=a5+a4+a6+a7=(a4+a7)+(a5+a6)=2(a3+a8)= 20 13.给定区域D：，令点集是在D上取得最大值或最小值的点，则中的点共确定 条不同的直线。解析：目标函数的最大值点有五个点都在同一直线上，最小值点为.故中的点共确定不同直线的条数为 6 .（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程为，C在点（1,1）处切线为，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则的极坐标方程为 。解析：曲线C为圆C：，在点A（1,1）处切线为的斜率为处切线的直角坐标方程为故的极坐标方程为或或画出图形解三角形（略）15.（几何证明选讲选做题）如图3，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD过C作圆O的切线交AD于E若AB=6，ED=2，则BC= 。解析：BC=DC，ACB=ACD，AC=ACACBACDAD=AB=6，BAC=DACCE切圆O于C，ABC=ACE. AEC=ACB=90在RtACD中 CD2=ADED=12 三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答必须写出文字说明、证明过程和演算步骤。16.（本小题满分12分）已知函数.（1）求的值；（2）若，求.解：（1）(2) ，17. （本小题满分12分）某车间共有12名工人，随机抽取6名他们某日加工零件个数的茎叶图如图4所示，其中茎为十位数，叶为个位数.（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率。解：（1）样本的均值为（2）由茎叶图知，抽取的6名工人中有2名为优秀工人，由此推断该车间12名工人中优秀工人有12=4（名）.（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率18. （本小题满分14分）如图5，在等腰直角三角形ABC中，A=90，BC=6，D、E分别是ACAB上的点，CD=BE=，O是BC的中点，将ADE折起得到如图6所示的四棱锥，其中（1）证明平面BCDE；（2）求二面角的平面角的余弦值。解：(1)连结OD、OE。 BC=6， BO=CO=3 由余弦定理得在等腰直角三角形ABC中，A=90，BC=6， ， (2)设G为AC的中点，连结，则，且 ABBC， OGAC. ， 为二面角的平面角在Rt中，为所求二面角的平面角的余弦值。19. （本小题满分14分）设数列的前n项和为，已知.（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有.解：（1）令，得把代入，解得（2）由，得-化得。由（1）可得，所以成为首项为，公差为1的等差数列，于是有即（3）当时，显然成立；当时，综合以上，对一切正整数n，有.20. （本小题满分14分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点 到直线的距离为，设P为直线上的点过点P作抛物线C的两条切线PA、PB，其中A、B为切点.（1）求抛物线C的方程；（2）当点直线上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线上移动时，求的最小值.解：（1）由题意，得， 所以，抛物线C的方程为（2）由，得设，切线，即同理切线，由得上述表明直线过两点 ， 故直线AB的方程为：（3）由 消去化得 ， 当，即时，取最小值为.21. （本小题满分14分）设函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，求函数在的最大值M.解：（1）当时，令，得当时，；当时，；当时，；函数的单调递增区间为、；单调递减区间为（2）， ， 所以