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2.2.2 三角恒等变换与解三角形考题预测精准猜押一、选择题1.已知tan =-,且(0,),则sin 2=()A.45B.-C.35D.-【解析】选B.已知tan =-,sin 2=2sin cos =,将tan =-代入得到-.2.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ABC的面积为,a=2,b=3,则=()A.B.C.D.或【解析】选D.由三角形的面积公式可得absin C=,则sin C=,所以cos C=,由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C=16或10,所以c=4或,由正弦定理可得=csinC=161515或.3.已知函数f(x)=3sin xcos x-4cos2x(0),其周期为,f()=12,则f+f=()A.-52B.-92C.-D.-【解析】选D. f(x)=3sin xcos x-4cos2x=32sin 2x-2(1+cos2x)=52sin(2x-)-2,其中tan =43,所以=,所以=1,因为f()=12,所以52sin(2-)-2=12,所以2-=+2k(kZ),f+f=-52sin(2-)-2-52cos(2-)-2=-52sin -2-52cos -2=-.4.已知ABC中,sin A+2sin Bcos C=0,b=c,则tan A的值是()A.B.C.D.【解析】选A.因为sin A+2sin Bcos C=0,所以sin(B+C)+2sin Bcos C=0所以3sinBcosC+cosBsinC=0,cosC0,cosB0,化为3tan B=-tan C.又cb,可得:B为锐角,C为钝角.所以tan A=-tan(B+C)=-=2tanB1+3tan2B=,当且仅当tan B=时取等号.所以tan A的最大值是.二、填空题5.若sin=14,则cos=_.【解析】cos=cos=2sin2-1=2-1=-78.答案:-786.在ABC中,B=30,AC=2,D是AB边上的一点,CD=2,若ACD为锐角,ACD的面积为4,则BC= _.【解析】S=12CDACsinACD4=1222sinACDsinACD=cosACD=.所以AD2=4+20-222=16,所以AD=4,所以cos A=sin A=,所以BC=4.答案:4三、解答题7.已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos A)且mn=sin 2C.(1)求角C的大小.(2)若sin A+sin B=2sin C,且ABC面积为9,求边c的长.【解析】(1)因为mn=sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B)=sin 2C,在ABC中有:sin(A+B)=sin C,从而有sin C=2sin Ccos C,即cos C=12,则C=60.(2)由sin A+sin B=2sin C,结合正弦定理知:a+b=2c,又S=12absin C=12
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