2016_2017学年高中数学1.1.2量词学案新人教B版选修.docx

1.1.2量词1通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称命题和存在性命题的意义(重点)2掌握全称命题与存在性命题真假性的判定(重点)基础初探教材整理1全称量词与全称命题阅读教材P4P5“思考与讨论”下面第3自然段，完成下列问题1全称量词与全称命题短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示含有全称量词的命题，叫做全称命题2全称命题的形式设p(x)是某集合M的所有元素都具有的性质，那么全称命题就是形如“对M中的所有x，p(x)”的命题，用符号简记为xM，p(x)下列命题：至少有一个x，使x22x10成立；对任意的x，都有x22x10成立；对任意的x，都有x22x10不成立；存在x，使x22x10成立其中是全称命题的为_【解析】中的量词“至少有一个”和中的量词“存在”都不是全称量词，故这两个命题不是全称命题中的量词“任意的”是全称量词，所以这两个命题是全称命题【答案】教材整理2存在量词与存在性命题阅读教材P5“思考与讨论”下面第3自然段以下部分内容，完成下列问题1存在量词与存在性命题短语“有一个”“有些”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题2存在性命题的形式设q(x)是某集合M的有些元素x具有的某种性质，那么存在性命题就是形如“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，用符号简记为xM，q(x)判断下列存在性命题的真假：(1)有一个实数x0，使x2x030；(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；(3)有些整数只有两个正因数【解】(1)由于xR，x22x3(x1)222，因此使x22x30的实数x不存在所以存在性命题“有一个实数x0，使x2x030”是假命题(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线所以存在性命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以存在性命题“有些整数只有两个正因数”是真命题质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_全称命题和存在性命题的判定指出下列命题是全称命题还是存在性命题(1)xN,2x1是奇数；(2)存在一个x0R，使0；(3)对任意向量a，|a|0；(4)有一个角，使sin 1.【精彩点拨】判断一个语句是全称命题还是存在性命题的思路：判命题看量词下结论【自主解答】(1)因为含有“”，所以是全称命题(2)因为含有“存在”，所以是存在性命题(3)因为含有全称量词“任意”，所以该命题是全称命题(4)因为含有存在量词“有一个”，所以该命题是存在性命题判定一个命题是全称命题还是存在性命题时，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词当然有些全称命题中并不含全称量词，这时要根据命题所涉及的意义去判断再练一题1给出下列四个命题：所有梯形的对角线相等；对任意实数x，均有x2x；存在实数x，使x2x10；(2)x3,5,7,3x1是偶数；(3)xQ，x23；(4)xR，x2x10.【精彩点拨】结合全称命题与存在性命题的含义及相关数学知识进行判断【自主解答】(1)由于xR，都有x20，所以有x2110，所以“xR，x210”是真命题(2)因为对集合3,5,7中的每一个值，都有3x1是偶数，所以“x3,5,7,3x1是偶数”是真命题(3)由于使x23成立的实数只有，且它们都不是有理数，因此，没有任何一个有理数的平方能等于3，所以“xQ，x23”是假命题(4)因为对于x2x10，0 DxR,2x0【解析】选项A，lg x0x1；选项B，tan x1xk(kZ)；选项C，x30x0；选项D,2x0xR.【答案】C探究共研型全称命题与存在性命题的应用探究已知关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非空，求实数a的取值范围【提示】不等式有解问题是存在性命题，只需0即可因此(2a1)24(a22)0，即a.已知函数f(x)x22x5，是否存在实数m，使不等式mf(x)0对于任意xR恒成立，并说明理由【精彩点拨】(1)mf(x)0恒成立mf(x)恒成立求yf(x)的最大值m大于f(x)的最大值【解】不等式mf(x)0可化为mf(x)，即mx22x5(x1)24.要使m(x1)24对于任意xR恒成立，只需m4即可故存在实数m，使不等式mf(x)0对于任意xR恒成立，此时，只需m4.应用全称命题与存在性命题求参数范围的两类题型1全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以利用集合中相应元素的具体性质求解；也可以根据函数等数学知识来解决2存在性命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设再练一题3若命题“xR，有x2mxm0”是真命题，则实数m的取值范围是_. 【导学号：15460004】【解析】“xR，有x2mxm0”是真命题，即m24m0，4m0.【答案】4,0构建体系1以下四个命题既是存在性命题又是真命题的是()A锐角三角形的内角是锐角或钝角B至少有一个实数x，使x20C两个无理数的和必是无理数D存在一个负数x，使2【解析】A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x0时，x20，所以B既是存在性命题又是真命题；C中因为()0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有0，所以D是假命题【答案】B2下列命题为存在性命题的是()A偶函数的图象关于y轴对称B正四棱柱都是平行六面体C不相交的两条直线是平行直线D有很多实数不小于3【解析】A，B，C都是全称命题，D命题可以改为“有一些实数不小于3”，是存在性命题【答案】D3下列命题中是真命题的有_(填序号)xR，x22x10；xR，|x|0；xN*，log2x0；xR，cos x.【解析】当x1时，x22x10，命题是假命题当x0时，|x|0成立，命题是真命题当x1时，log2x0，命题是假命题当xR时，cos x1,1，而1，不存在xR，使cos x，命题是假命题【答案】4命题p：x0R，x2x050是_(填“全称命题”或“存在性命题”)，它是_命题(填“真”或“假”)【解析】命题p：x0R，x2x050是存在性命题因为x22x5(x1)240恒成立，所以命题p为假命题【答案】存在性命题假5已知命题p：ax22x10，若对xR，p是真命题，求实数a的取值范围【解】由题意可得，xR，ax22x10恒成立(1)当a0时，ax22x12x10，显然不恒成立，不合题意(2)当a0时，要使ax22x10恒成立，则解得a1.综上可知，所求实数a的取值范围是(1，)我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1下列命题为存在性命题的是()A奇函数的图象关于原点对称B棱台只有两个面平行C棱锥仅有一个底面D存在大于等于3的实数x，使x22x30【解析】A，B，C中命题都省略了全称量词“所有”，所以A，B，C都是全称命题；D中命题含有存在量词“存在”，所以D是存在性命题，故选D.【答案】D2下列命题为真命题的是()AxR，cos x2BxZ，log2(3x1)0,3x3DxQ，方程x20有解【解析】A中，由于函数ycos x的最大值是1，又12，所以A是真命题；B中，log2(3x1)003x11x0；x1，1,0,2x10；xN，x2x；xN，x为29的约数其中真命题的个数为()A1 B2C3 D4【解析】对于，这是全称命题，由于(3)24240恒成立，故为真命题；对于，这是全称命题，由于当x1时，2x10不成立，故为假命题；对于，这是存在性命题，当x0或x1时，有x2x成立，故为真命题；对于，这是存在性命题，当x1时，x为29的约数成立，所以为真命题【答案】C5下列命题不是“xR，x23”的表述方法的是()A有一个xR，使x23B对有些xR，使x23C任选一个xR，使x23D至少有一个xR，使x23【解析】选项C中“任选一个”是全称量词，没有“”的含义【答案】C二、填空题6给出下列四个命题：abab0；矩形都不是梯形；x，yR，x2y21；任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于1.其中全称命题是_【解析】由全称命题的定义可知为全称命题，而为存在性命题【答案】7已知命题：“x01,2，使x2x0a0”为真命题，则实数a的取值范围是_【解析】当x1,2时，x22x(x1)21是增函数，所以3x22x8，由题意有a80，a8.【答案】8，)8下列命题：存在xx；对于一切xx；已知an2n，bn3n，对于任意nN*，都有anbn；已知Aa|a2n，Bb|b3n，对于任意nN*，都有AB.其中，所有正确命题的序号为_. 【导学号：15460006】【解析】命题显然为真命题；由于anbn2n3nn0，对于nN*，都有anbn，即anbn，故为真命题；已知Aa|a2n，Bb|b3n，如n1,2,3时，AB6，故为假命题【答案】三、解答题9判断下列命题是否为全称命题或存在性命题，若是，用符号表示，并判断其真假(1)有一个实数，使sin2cos21；(2)任何一条直线都存在斜率；(3)对于任意的实数a，b，方程axb0恰有唯一解；(4)存在实数x0，使得x00.【解】(1)是一个存在性命题，用符号表示为：R，使sin2cos21，假命题(2)是一个全称命题，用符号表示为：直线l，l都存在斜率，假命题(3)是一个全称命题，用符号表示为：a，bR，方程axb0恰有唯一解，假命题(4)是一个存在性命题，用符号表示为：x0R，使得x00，真命题10若x2,2，关于x的不等式x2ax3a恒成立，求a的取值范围【解】设f(x)x2ax3a，则此问题转化为当x2,2时，f(x)的最小值不小于0即可当4时，f(x)在2,2上单调递增，f(x)的最小值为f(2)73a0，解得a.又因为a4，所以a不存在当22，即4a4时，f(x)的最小值为f0，解得6a2.又因为4a4，所以4a2.当2，即a