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浅析弗赖登塔尔的数学教学原则 摘要：弗赖登塔尔是国际上声望卓著的权威学者，他的数学教学原则主要包括“数学现实”原则、数学化原则、再创造原则和思想实验原则 下载 关键词：弗赖登塔尔 数学 教学原则 荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔是国际上声望卓著的权威学者，荷兰皇家科学院院士、数学教育研究所前所长。在担任国际数学教育委员会主席期间，召开了第一届国际数学教育大会并创办了数学教育研究杂志，这是堪称世界数学教育发展史上两件划时代的大事，前国际数学教育委员会主席，巴黎十一大学校长加亨（Kahane）教授曾评论说：“对于数学教育；20世纪上半叶克莱因做出了不朽的功绩；20世纪的下半叶弗赖登塔尔做出了巨大的贡献。” 弗赖登塔尔发表了一系列论文和著作，他独特的数学教育思想在国际上产生了深远的影响。他从数学教育的特点出发，提出的数学教学原则是：“数学现实”原则、数学化原则、再创造原则、思想实验原则等。这几条数学教学原则不同于教育学加数学例子的模式，而是根据数学和数学教育的特点，对数学教学规律的深刻总结。以下笔者对弗氏的几条数学教学原则做简单的理解与分析。 一、“数学现实”原则 从数学发展史可以清楚地看到，无论是数学的概念，还是数学的运算、规则等都是由于现实世界的实际需要而形成的。数学是现实世界的抽象反映和人类经验的总结。因而，数学来源于现实，也必须扎根于现实，并且应用于现实。这是弗赖登塔尔的基本出发点。据此，他提出数学教育应该是现实数学的教育，它应该源于现实、寓于现实、用于现实。例如，可以通过公共汽车经过各站上下车人数的增减来使学生形成加减法的概念及其运算法则;运用商店销售不同商品所获得的利润计算，帮助学生形成矩阵的概念，矩阵的运算相运算法则;用血压的变化介绍一般周期函数的概念。 弗氏认为数学教学内容应该是现实客观事物各种关系的反映，教学要时刻以这种关系为出发点，而不用顾虑它是数学的，还是物理的、日常生活的或是其他方面的关系。如果数学教学仅仅强调数学的演绎逻辑性，强调数学知识的内部联系，那么他必然会牺牲更为重要、更为自然的数学的外部联系，使数学悬浮于不可思议的一无所有的空间。只有教源于现实关系、寓于现实关系的数学，才能使学生明白和学会如何从现实中提出问题和解决问题，如何将所学知识更好地应用于现实。这种基于客观关系的教学也保证了学生在懂得了有关教学内容之后不会轻易忘记。 弗氏的“数学现实”还有另一层含义，即要求数学教育为社会培养各种不同层次的数学人才和根据每个学生的数学现实世界进行教学。他认为，数学教育应为不同的人提供不同的数学修养，每个人都有自己生活、工作和思考着的特定客观世界以及反映这个客观世界的各种数学概念、它的运算方法、规律和有关的数学知识结构。这就是说，每个人都有自己的一套“数学现实”。从这个意义上说，“现实”不一定限于具体的事物，作为属于这个现实世界的数学本身，也是“现实”的一部分，或者说，每个人都有自己所接触到的特定的“数学现实”。大多数人的数学现实可能只限于数和简单的几何形状以及它们的运算，另一些人可能需要熟悉某些简单的函数与比较复杂的几何，至于一个数学家的数学现实可能就要包含Hilbert空间的算子、拓扑学以及纤维丛等等。所以，数学教育必须面向全体学生，培养适应不同层次、不同行业需要的数学人才，从只要掌握简单基本数学期识的售货员，有一定深度的数学知识的各种工程技术人员，直到从事高水平研究的专家。“每个人都有自己的数学现实”，数学教育当然要根据学生的“数学现实”来进行，这一点十分重要。学生的知识基础、数学水平、生活经验等都是教师面对的“现实”，这实际上与我们以往强调的“从学生实际出发”差不多。教师对学生的“数学现实”不能不加区别，采取相同对待的态度进行教学，而必须了解每个学生的数学现实世界的水平和范围并以此为基础进行教学，才能使每个学生都有所收益，才能使他的“数学现实”世界不断扩大，达到他所能达到的高度。 二、数学化原则 弗赖登塔尔认为，人们运用数学的思想方法来观察现实世界，分析研究各种具体事物，并加以整理组织，经过进一步形式化、抽象化形成新的数学概念、方法、思想等，这个过程就是数学化。简单地说，数学地组织现实世界的过程就是数学化。由于客观事物的不断变化和发展，人类认识的范围和深度要不断地拓广和深化，数学化也因此表现为一种由浅入深、具有不同层次的、不断发展的过程。因此，数学的产生和发展本身也是数学化的过程。对数学本身进行数学化，既可以是某些数学知识的深化，也可以是对已有的数学知识进行重新整理和组织，使其体系更系统、更完美。 在这一思想基础上，弗氏提出的名言是:与其说是学习数学，还不如说是学习“数学化”；与其说是学习公理系统，还不如说是学习“公理化”；与其说是学习形式体系，还不如说是学习“形式化”，这是颇有见地的。传统的指导思想强调数学化是数学家的职责，学生只需掌握现成的知识，因而数学教学内容大多是数学化的结果而不是其本身。这就造成了学生所学知识与其实际背景相脱离，结果是他们对一些概念、定理、法则虽能倒背如流，却不懂得如何运用它们，即使面对日常生活中的简单问题也常常束手无策。要改变这种局面就应让学生学习数学化。在最低水平上，应让学生学习如何将非数学事物数学化，根据客观现实形成数学概念、构造数学模型等，以保证数学的应用性。在下一个水平上则应让学生学习如何构造数学内容，数学化数学本身。数学化是一个发展的过程，学习数学化也是一个发展过程。学生在学习数学化的同时也学到了一定的数学知识。 弗赖登塔尔根据数学化的对象和数学化程度将数学教学划分为机械的、经验的、构造的和现实的四种教学模式。机械教学模式既不注重客观现实，又很少强调数学思维能力，其结果是学生只会死记硬背一些结论，而不懂得如何数学化；;经验教学模式过分强调客观现实和实际经验，而对数学思维能力提高的重要性考虑不够，其结果是学生的实际经验可能不少，但数学水平的提高有限；构造教学模式一味强调数学的演绎逻辑体系，很少顾及数学背后的广泛丰富的现实基础，其结果是学生往往既不理解抽象的数学，更不会在实际中应用;现实教学模式既注重数学的客观基础，又重视数学思维水平的提高，强调两者的有机交融，相互促进。和谐发展。 三、再创造原则 弗赖登塔尔认为存在两种数学，一种是现成的或已完成的数学，另一种是活动的或创新的数学。完成的数学以形式演绎的面目出现在人们面前，它完全颠倒了数学的思维过程和实际创造过程，给予人们的是思维的结果;活动的数学则是数学家发现和创造数学的过程的真实体现，它表明了数学是一种艰难曲折又生动有趣的活动过程。 弗赖登塔尔认为数学教育方法的核心是学生的“再创造”。数学实质上是人们常识的系统化，每个学生都可能在一定的指导下，通过自己的实践来获得这些知识。所以我们必须遵循这样的原则，那就是数学教育必须以“再创造”的方式来进行。教师不必将各种规则定律灌输给学生，而是应该创造合适的条件，提供很多具体的例子，让学生在实践的过程中，自己再创造出各种运算法则，或是发现有关各种知识，让学生通过自己的“再创造”过程获得知识。 弗氏认为传统的数学教育方式是“违反教学法的颠倒”。数学家从不按照他们发现、创造的真实过程来介绍他们的工作，教科书更是常常将通过分析法所得的结论采取综合法的形式来叙述，传授给学生的是现成的数学，因而严重堵塞了学生“再发现”、“再创造”数学的通道。这种做法让学生感到抽象乏味，甚至厌恶害怕。真正的数学教育应该是活动的或创新的数学，遵循数学发展史所表明的渐近系统化的过程，教活动的数学，应教学生像数学家那样用再创造的方法去学习。 “再创造”和我们常说的“发现法”有相似之处，“发现法”是“再创造”的一种形式，“发现法”并未真正接触数学思维本质，只是老师设置一些“圈套”牵着学生的鼻子走，学生还是处于被动状态，并且“发现”的内容往往只限于某个狭窄的题材、难度不高的内容，或是用一些具体的材料。所以，“发现法”能理解为带有一定限制条件的“再创造”，或者说是处于低水平的一种“再创造”活动。 关于培养学生“再创造”能力的问题，弗氏赞同大教育家夸美纽斯的一句名言：“教一个活动的最好方法是演示”，要真正把数学作为一种活动来分析和教学，让学生有可模仿的样板。弗氏进一步将这一思想发展成他本人的观点：“学一个活动的最好方法是实践”，其目的是将强调的重点从教转向学，要让学生在学习数学的活动中学会再创造。他强调数学是一种活动，正如骑自行车、游泳和滑雪是一种活动一样，不经过亲身实践，仅仅从书本、靠听课和观察他人的演示是学不会的。 四、思想实验原则 数学是抽象思维的结果，是人类认识的一种表达，它无疑是一种思想。所以，学习数学就必须触及人的思想灵魂，否则不可能产生真正的数学学习。从这种意义上，弗赖登塔尔提出了一种十分重要而有效的教学方法思想实验法。这实质上是一种具有普遍意义的数学教学原则。 思想实验法继承了苏格拉底方法的精华，它要求教师在教学过程中充分发挥一个助产士的作用，运用启发法不断地激励学生去再发现、再创造出有关的数学内容，产生他们自己的思想和认识，同时它又克服了苏格拉底教学法的不足。他认为，在苏格拉底教学模式中，只见教师提问，学生简单地回答是与否，学生的学习多少有点被动。而在实际上，课堂上不仅应有教师的启发提问，更应有教师和学生、学生和学生之间时相互讨论、争论或反驳，有一种人人畅所欲言的生动活泼的气氛和场面。思想实验原则就是要求教师在全面了解学生思想。行为的基础上进行教学，要求教师在课前要充分想象和考虑到学生在课堂上对教学内容可能存在的各种态度、观点和反应，以及准备如何正确合理而又恰到好处地回答和处理他们可能提出的问题，要求教师在思想实验中完成如何启发引导学生，如何向他们演示再创造的全过程。他认为，只有学生真正参与了教学活动并在课后表达了“我现在明白为什么我的那种看法不正确”、“老师反驳了我一个又一个念头，就好像他知道我要说什么似的”或者“老师表达了我心灵深处的想法”这一类情感时，即学生能根据自