2016_2017学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线的标准方程学案苏教版选修.docx

2.3.1双曲线的标准方程1了解双曲线标准方程的推导过程(难点)2理解双曲线的标准方程，能求双曲线的标准方程(重点、难点)3椭圆与双曲线标准方程的区别与联系(易混点) 基础初探教材整理双曲线的标准方程阅读教材P39P40例1以上部分，完成下列问题.标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形焦点坐标F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)a，b，c之间的关系c2a2b2判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)在双曲线标准方程1中，a0，b0且ab.()(2)在双曲线标准方程中，a，b和焦点F2(c,0)满足a2b2c2.()(3)双曲线y2x21的焦点坐标在y轴上()(4)在双曲线1中，焦点坐标为(5,0)()【解析】(1)方程1中，a0，b0.ab时也是双曲线，故不正确；(2)在双曲线标准方程中，都有a2b2c2.故不正确(3)根据标准方程特点，正确(4)在1中，c，所以焦点坐标为(0，)【答案】(1)(2)(3)(4)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型求双曲线标准方程根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)经过点P，Q；(2)c，经过点(5,2)，焦点在x轴上【精彩点拨】解答(1)可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于a，b，c的方程组求解，从而得出双曲线的标准方程也可以设双曲线方程为mx2ny21(mn0，b0)，点P和Q在双曲线上，解得(舍去)若焦点在y轴上，设双曲线的方程为1(a0，b0)，将P，Q两点坐标代入可得解得双曲线的标准方程为1.法二：设双曲线方程为1(mn0，b0)依题设有解得所求双曲线的标准方程为y21.法二：焦点在x轴上，c，设所求双曲线方程为1(其中06)双曲线经过点(5,2)，1，5或30(舍去)所求双曲线的标准方程是y21.1用待定系数法求双曲线方程的一般步骤2求双曲线标准方程的两个关注点(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)定量：“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解再练一题1已知双曲线与椭圆1有共同的焦点，且过点(，4)，求双曲线的方程. 【导学号：09390030】【解】椭圆1的焦点坐标为F1(0，3)，F2(0，3)，故可设双曲线的方程为1.由题意，知解得故双曲线的方程为1.双曲线标准方程的讨论(1)如果方程1表示双曲线，则实数m的取值范围是_(2) “ab0”是“方程ax2by2c表示双曲线”的_条件(填“必要不充分”、“充分不必要”、“充要”和“既不充分也不必要”)(3)若方程1表示焦点在y轴上的双曲线，求实数m的取值范围【精彩点拨】根据双曲线标准方程的特征常列不等式组求解【自主解答】(1)由题意知(2m)(1m)0，解得2m1.故m的取值范围是(2，1)(2)若ax2by2c表示双曲线，即1表示双曲线，则0，这就是说“ab0”是必要条件，然而若ab0，c等于0时不表示双曲线，即“ab5.所以实数m的取值范围是(5，)方程表示双曲线的条件及参数范围求法1对于方程1，当mn0时表示双曲线进一步，当m0，n0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m0，n0时表示焦点在y轴上的双曲线2对于方程1，则当mn0时表示双曲线且当m0，n0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m0，n0时表示焦点在y轴上的双曲线3已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围再练一题2讨论1表示何种圆锥曲线？它们有何共同特征？【解】由于k9，k25，则k的取值范围为k9,9k25，分别进行讨论(1)当k0,9k0，所给方程表示椭圆，此时，a225k，b29k，a2b216，这些椭圆有共同的焦点(4,0)，(4,0)(2)当9k0,9k25时，所给方程没有轨迹探究共研型双曲线中的焦点三角形探究1双曲线上一点M与双曲线的两个焦点F1，F2构成的三角形称为焦点三角形，其中MF1，MF2，F1F2为三角形的三边，在焦点三角形中，常用的关系式有哪些？【提示】焦点三角形中，常用的关系式有：(1)MF1MF22a；(2)SF1MF2MF1MF2sinF1MF2；(3)F1FMFMF2MF1MF2cosF1MF2.探究2在双曲线的焦点三角形中，如何确定它的面积？随着F1PF2的变化，F1PF2的面积将怎样变化？【提示】由公式SPF1F2PF1PF2sinF1PF2，cosF1PF21，PF1PF2.从而得SPF1F2(F1PF2)0，0，在内，是单调递减的，当增大时，SF1MF2减小设F1，F2为双曲线1的两个焦点，点P在双曲线上且满足F1PF290，求F1PF2的周长及F1PF2的面积【精彩点拨】由双曲线定义、勾股定理建立方程组，求出PF1与PF2的长，或利用整体代入法先求PF1PF2与PF1PF2，再求周长与面积【自主解答】法一：点P在双曲线1上，|PF1PF2|4，F1F24.又F1PF290，F1PF2为直角三角形，PFPFF1F32.列方程组解得或F1PF2的周长为PF1PF2F1F244，F1PF2的面积为PF1PF2(22)(22)4.法二：同解法一得|PF1PF2|4，F1F24，PFPF32.(|PF1PF2)2PFPF2PF1PF2，即16322PF1PF2，PF1PF28.(PF1PF2)2PFPF2PF1PF2321648，PF1PF24.F1PF2的周长为PF1PF2F1F244，F1PF2的面积为PF1PF2 84.在双曲线的焦点三角形中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义等是经常使用的知识点，另外，还经常结合MF1MF22a，运用平方的方法，建立它与MF1MF2的联系，体现了数学中的一种整体思想.再练一题3已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，PF12PF2，则cosF1PF2_.【解析】由双曲线方程得a，b，则c2.因为PF1PF22，且PF12PF2，所以PF14，PF22，而F1F24，在PF1F2中，由余弦定理得cosF1PF2.【答案】构建体系1若kR，方程1表示双曲线，则k的取值范围是_【解析】据题意知(k3)(k2)0，解得3k2.【答案】(3，2)2平面内有两个定点F1(5,0)和F2(5,0)，动点P满足|PF1PF2|6，则动点P的轨迹方程是_【解析】由条件可知，双曲线焦点在x轴上，且a3，c5，则b2c2a216，动点P的轨迹方程为1.【答案】13已知椭圆1与双曲线1有相同的焦点，则实数a_. 【导学号：09390031】【解析】由条件可得4a2a2，解得a1.【答案】14双曲线8kx2ky28的一个焦点为(0,3)，则实数k的值为_【解析】方程可化为1.由条件可知9，解得k1.【答案】15根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)以椭圆1的焦点为顶点，顶点为焦点；(2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点(3，2)【解】(1)依题意，双曲线的焦点在x轴上且a，c2，b2c2a25.双曲线的标准方程为1.(2)法一：c216420，c2，F(2，0)，2a|4，a212，b2c2a28，双曲线方程为1.法二：设所求双曲线方程为1(416)双曲线过点(3，2)，1，解得4或14(舍去)所求双曲线方程为1.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1(2016徐州高二检测)双曲线1上一点P到一个焦点的距离是10，那么点P到另一个焦点的距离是_【解析】据题意知|PF1PF2|PF110|8，PF118或2.【答案】18或22双曲线1的焦距是_【解析】由题意，得c4，焦距为2c8.【答案】83已知双曲线1的左焦点为F，点P为双曲线右支上的一点，且PF与圆x2y216相切于点N，M为线段PF的中点，O为坐标原点，则|MN|MO|_.【解析】设F是双曲线的右焦点，连接PF(图略)，因为M，O分别是FP，FF的中点，所以|MO|PF|.又|FN|5，且由双曲线的定义知|PF|PF|8，故|MN|MO|MF|FN|PF|(|PF|PF|)|F