2019版高考数学第10章计数原理、概率、随机变量及其分布2第2讲排列与组合教案理.docx

第2讲排列与组合1排列、组合的定义排列的定义从n个不同元素中取出m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列组合的定义合成一组2.排列数、组合数的定义、公式、性质排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数公式An(n1)(n2)(nm1)C性质An！，0！1CC，CCC 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列()(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序()(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同()(4)若组合式CC，则xm成立()(5)An(n1)(n2)(nm)()答案：(1)(2)(3)(4)(5) 从3，5，7，11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg alg b的不同值的个数是()A6 B8C12 D16解析：选C.由于lg alg blg，从3，5，7，11中取出两个不同的数分别赋值给a和b共有A12种，所以得到不同的值有12个 (2017高考全国卷)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A12种 B18种C24种 D36种解析：选D.因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作先把4项工作分成3组，即2，1，1，有6种，再分配给3个人，有A6种，所以不同的安排方式共有6636(种) 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有_种解析：由题意知，选2名男医生、1名女医生的方法有CC75(种)答案：75 有5名男生和3名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的课代表，若某女生必须担任语文课代表，则不同的选法共有_种(用数字作答)解析：由题意知，从剩余7人中选出4人担任其余4个学科的课代表，共有A840(种)答案：840排列应用题 典例引领 3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体站成一排，男、女各站在一起；(4)全体站成一排，男生不能站在一起【解】(1)从7个元素中选出5个全排列，有A2 520种排法(2)前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A5 040 种排法(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有A种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有A种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法，由分步乘法计数原理知，共有NAAA288(种)(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有A种排法，男生在4个女生隔成的五个空中安排共有A种排法，故NAA1 440(种) 在本例条件下，求不同的排队方案的方法种数：(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端解：(1)先排甲有4种，其余有A种，故共有4A2 880种排法(2)先排甲、乙，再排其余5人，共有AA240种排法求解有限制条件排列问题的主要方法直接法分类法选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数分步法选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数捆绑法相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中间接法对于分类过多的问题，按正难则反，等价转化的方法提醒(1)插空时要数清插空的个数，捆绑时要注意捆绑后元素的个数及相邻元素的排列数(2)用间接法求解时，事件的反面数情况要准确 通关练习13本不同的数学书与3本不同的语文书放在书架同一层，则同类书不相邻的放法种数为()A36 B72C108 D144解析：选B.3本数学书的放法有A种，将3本语文书插入使得语文数学均不相邻的插法有2A种，故同类书不相邻的放法有2AA26672(种)，故选B.2(2018兰州市高考实战模拟)某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有()AA种 BA种CAAA种 DAA种解析：选D.中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人站前排并与中国领导人相邻，有A种站法；其他18国领导人可以任意站，因此有A种站法根据分步计数原理，共有AA种站法故选D.组合应用题 典例引领 要从5名女生，7名男生中选出5名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？(1)至少有1名女生入选；(2)男生甲和女生乙入选；(3)男生甲、女生乙至少有一个人入选【解】(1)法一：至少有1名女生入选包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，5女由分类加法计数原理知总选法数为CCCCCCCCC771(种)法二：“至少有1名女生入选”的反面是“全是男代表”，可用间接法求解从12人中任选5人有C种选法，其中全是男代表的选法有C种所以“至少有1名女生入选”的选法有CC771(种)(2)男生甲和女生乙入选，即只要再从除男生甲和女生乙外的10人中任选3名即可，共有C120种选法(3)间接法：“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的反面是“两人都不入选”，即从其余10人中任选5人有C种选法，所以“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的选法数为CC540(种) 在本例条件下，求至多有2名女生入选的选法种数解：至多有2名女生入选包括以下几种情况：0女5男，1女4男，2女3男，由分类加法计数原理知总选法数为CCCCC546(种)两类有附加条件的组合问题的解法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，求：(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？解：(1)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有CCC24(种)(2)甲、乙两人从4门课程中各选两门不同的选法种数为CC，又甲、乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为C种，因此满足条件的不同选法种数为CCC30(种)排列、组合的综合应用(高频考点)排列与组合是高考命题的一个热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题多为中档题高考对此问题的考查主要有以下三个命题角度：(1)相邻、相间问题；(2)分组、分配问题；(3)特殊元素(位置)问题典例引领角度一相邻、相间问题 (2018福建漳州八校联考)有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有()A34种 B48种C96种 D144种【解析】特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，有C种选法，乙、丙相邻，捆绑在一起看作一个元素，与其余三个元素全排列，最后乙、丙可以换位，故共有CAA96种，故选C.【答案】C角度二分组、分配问题 (2018福建厦门海沧实验中学等联考)将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法有()A240种 B180种C150种 D540种【解析】5名学生可分成2，2，1和3，1，1两种形式，当5名学生分成2，2，1时，共有CCA90种方法，当5名学生分成3，1，1时，共有CA60种方法，根据分类加法计数原理知共有9060150种保送方法【答案】C角度三特殊元素(位置)问题 从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有_个【解析】分三类：第一类，没有2，3，由其他三个数字组成三位数，有A6个；第二类，只有2或3，需从1，4，5中选两个数字，可组成2CA36个；第三类，2，3均有，再从1，4，5中选一个，因为2需排在3的前面，所以可组成CA9个故这样的三位数共有51个【答案】51解排列、组合综合应用问题的思路 通关练习1高三某班课外演讲小组有4名男生，3名女生，从中选拔出3名男生，2名女生，然后让这5人在班内逐个进行演讲，则2位女生不连续演讲的方法种数有()A864B432 C288D144解析：选A.选3男2女的选法有CC12种方法，5人在班内逐个进行演讲且两位女生不连续演讲，有AA72，所以共有1272864种2某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为()AAC B.AC CAA D2A解析：选B.法一：将4人平均分成两组有C种方法，将此两组分配到6个班级中的2个班有A(种)所以不同的安排方法有CA(种)法二：先从6个班级中选2个班级有C种不同方法，然后安排学生有CC种，故有CCCAC(种)3(2017高考天津卷)用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_个(用数字作答)解析：一个数字是偶数、三个数字是奇数的四位数有CCA960个，四个数字都是奇数的四位数有A120个，则至多有一个数字是偶数的四位数一共有9601201 080(个)答案：1 080 对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数 排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件 易错防范(1)区分一个问题属于排列问题还是组合问题，关键在于是否与顺序有关(2)解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏 1不等式A6A的解集为()A2，8 B2，6C(7，12) D8解析：选D.由题意得6，所以x219x840，解得7x12.又x8，x20，所以7x8，xN*，即x8.2某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A85 B56C49 D28解析：选C.由于丙不入选，相当于从9人中选派3人甲、乙两人均入选，有CC种选法，甲、乙两人只有1人入选，有CC种选法所以由分类加法计数原理，共有CCCC49种不同选法3从1，3，5中取两个数，从2，4中取一个数，可以组成没有重复数字的三位数，则在这些三位数中，奇数的个数为()A12 B18C24 D36解析：选C.从1，3，5中取两个数有C种方法，从2，4中取一个数有C种方法，而奇数只能从1，3，5取出的两个数之一作为个位数，故奇数的个数为CCAA3222124.4某县委将7位大学生志愿者(4男3女)分成两组，分配到两所小学支教，若要求女生不能单独成组，且每组最多5人，则不同的分配方案共有()A36种 B68种C104种 D110种解析：选C.分组的方案有3、4和2、5两类，第一类有(C1)A68种；第二类有(CC)A36种，所以共有N6836104(种)5. 如图，MON的边OM上有四点A1，A2，A3，A4，ON上有三点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3中三点为顶点的三角形的个数为()A30 B42C54 D56解析：选B.间接法：先从这8个点中任取3个点，有C种取法，再减去三点共线的情形即可，即CCC42.6六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A192种 B216种C240种 D288种解析：选B.第一类：甲在最左端，有A54321120种方法；第二类：乙在最左端，有4A4432196种方法所以共有12096216种方法7某班组织文艺晚会，准备从A，B等8个节目中选出4个节目演出，要求A，B两个节目至少有一个选中，且A，B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为()A1 860 B1 320C1 140 D1 020解析：选C.当A，B节目中只选其中一个时，共有CCA960种演出顺序；当A，B节目都被选中时，由插空法得共有CAA180种演出顺序，所以一共有1 140种演出顺序8(2018河南天一大联考)如图，图案共分9个区域，有6种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则涂色方法共有()A360种 B720种C780种 D840种解析：选B.由题意知2，3，4，5的颜色都不相同，先涂1：有6种方法，再涂2，3，4，5，有A种方法，故一共有6A720(种)9(2018福建漳州八校第二次联考)若无重复数字的三位数满足条件：个位数字与十位数字之和为奇数，所有数位上的数字和为偶数，则这样的三位数的个数是()A540 B480C360 D200解析：选D.由个位数字与十位数字之和为奇数知个位数字、十位数字1奇1偶，有CCA50种排法；所有数位上的数字和为偶数，则百位数字是奇数，有C4种满足题意的选法，故满足题意的三位数共有504200(个)10(2018温州中学高三模拟)身高从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人排成高矮相间的一个队形，则甲丁不相邻的不同的排法共有()A12 B14C16 D18解析：选B.从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人的身高可记为1，2，3，4，5.要求1，4不相邻分四类：先排4，5时，则1只有1种排法，2，3在剩余的两个位上，这样有AA4种排法；先排3，5时，则4只有1种排法，2，1在剩余的两个位上，这样有AA4种排法；先排1，2时，则4只有1种排法，3，5在剩余的两个位上，这样有AA4种排法；先排1，3时，则这样的数只有两个，即21534，43512，只有两种排法综上共有444214种排法，故选B.11将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有()A18种 B24种C36种 D72种解析：选C.不同的分配方案可分为以下两种情况：甲、乙两人在一个路口，其余三人分配在另外的两个路口，其不同的分配方案有CA18(种)；甲、乙所在路口分配三人，另外两个路口各分配一个人，其不同的分配方案有CA18(种)由分类加法计数原理可知不同的分配方案共有181836(种)12(2018黑龙江哈尔滨第六中学期末)某中学高一学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现从中任选3人，要求这三人不能全是同一个班的学生，且在三班至多选1人，则不同选法的种数为()A484 B472C252 D232解析：选B.若三班有1人入选，则另两人从三班以外的12人中选取，共有CC264种选法若三班没有人入选，则要从三班以外的12人中选3人，又这3人不能全来自同一个班，故有C3C208种选法故总共有264208472种不同的选法13若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法共有_种解析：把g、o、o、d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A种排法；第二步：排两个o，共一种排法，所以总的排法种数为A12(种)其中正确的有一种，所以错误的共A112111(种)答案：1114(2018江西八所重点中学联合模拟)摄像师要对已坐定一排照像的5位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有2人座位不调整，则不同的调整方案的种数为_(用数字作答)解析：从5人中任选3人有C种，将3人位置全部进行调整，有A种，故有NCA20种调整方案答案：2015(2017高考浙江卷)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有_种不同的选法(用数字作答)解析：分两步，第一步，选出4人，由于至少1名女生，故有CC55种不同的选法；第二步，从4人中选出队长、副队长各1人，有A12种不同的选法根据分步乘法计数原理知共有5512660种不同的选法答案：66016用1，2，3，4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为_解析：首先排两个奇数1，3，有A种排法，再在2，4中取一个数放在1，3之间，有C种方法，然后把这3个数作为一个整体与剩下的另一个偶数全排列，有A种排法，即满足条件的四位数的个数为ACA8.答案：81现有4种不同品牌的小车各2辆(同一品牌的小车完全相同)，计划将其放在4个车库中(每个车库放2辆)，则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有()A144种 B108种C72种 D36种解析：选C.从4种小车中选取2种有C种选法，从4个车库中选取2个车库有C种选法，然后将这2种小车放入这两个车库共有A种放法；将剩下的2种小车每1种分开来放，因为同一品牌的小车完全相同，只有1种放法，所以共有CCA72种不同的放法故选C.2某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名进行发言，要求甲、乙两人至少有一人参加当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻那么不同的发言顺序的种数为()A360 B520C600 D720解析：选C.当甲或乙只有一人参加时，不同的发言顺序的种数为2CA480，当甲、乙同时参加时，不同的发言顺序的种数为AA120，则不同的发言顺序的种数为480120600，故选C.3从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60的共有_对解析：如图它们的棱是原正方体的12条面对角线一个正四面体中两条棱成60角的有(C3)对，两个正四面体有(C3)2对又正方体的面对角线中平行成对，所以共有(C3)2248(对)答案：484数字1，2，3，4，5，6按如图形式随机排列，设第一行的数为N1，其中N2、N3分别表示第二、三行中的最大数，则满足N1N2N3的所有排列的个数是_解析：(元素优先法)由题意知6必在第三行，安排6有C种方法，第三行中剩下的