2016_2017学年高中数学3.2.2复数的乘法和除法学案新人教B版选修1.docx

3.2.2复数的乘法和除法1.掌握复数代数形式的乘除运算.(重点)2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.(难点)3.理解共轭复数的性质，并能灵活运用.(易错点)基础初探教材整理1复数的乘法法则及运算律阅读教材P59例1以上内容，完成下列问题.1.设z1abi，z2cdi，a，b，c，dR，则z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.2.对任意z1，z2，z3C，有交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z3已知a，bR，i是虚数单位.若(ai)(1i)bi，则abi_.【解析】因为(ai)(1i)a1(a1)ibi，a，bR，所以解得所以abi12i.【答案】12i教材整理2共轭复数的性质与复数的除法阅读教材P59例2至P61，以上内容，完成下列问题.1.共轭复数的性质(1)两个共轭复数的对应点关于实轴对称.(2)实数的共轭复数是它本身，即zzzR.利用这个性质，可以证明一个复数是实数.(3)zz|z|2|z|2R.2.复数的除法法则设z1abi，z2cdi(cdi0)，i.1.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个复数互为共轭复数，则它们的模相等.()(2)若zC，则|z|2z2.()(3)若z1，z2C，且zz0，则z1z20.()【解析】(1)正确.设zabi(a，bR)，则zabi，|z|，|z|，|z|z|.(2)错误.举反例：如z1i，则|z|，z22i，|z|2z2.(3)错误.例如z11，z2i，显然zz0，但z1z20.【答案】(1)(2)(3)2.i是虚数单位，复数_.【解析】2i.【答案】2i质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型复数代数形式的乘除运算(1)已知a，bR，i是虚数单位，若ai2bi，则(abi)2()A.34iB.34iC.43iD.43i(2)等于()A.1iB.1iC.1iD.1i(3)计算：_. 【导学号：37820045】【精彩点拨】(1)复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成1，再把实部、虚部分别合并.(2)复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似.【自主解答】(1)a，bR，ai2bi，a2，b1，(abi)2(2i)234i.(2)1i.故选D.(3)22i.【答案】(1)A(2)D(3)22i1.复数的乘法可以把i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i2化为1，进行最后结果的化简.复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i).2.利用某些特殊复数的运算结果，如(1i)22i，1，i，i，i，i的幂的周期性等，都可以简化复数的运算过程.再练一题1.计算：(1)(1i)；(2)(23i)(12i).【解】(1)(1i)(1i)(1i)ii.(2)(23i)(12i)i.共轭复数及其应用(2016潍坊高二检测)已知复数z的共轭复数是z，且zz4i，zz13，试求.【精彩点拨】【自主解答】设zxyi(x，yR)，则由条件可得即解得或因此z32i或z32i.于是i，或i.1.已知关于z和的方程，而复数z的代数形式未知，求z.解此类题的常规思路为：设zabi(a，bR)，则abi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解.2.关于共轭复数的常用结论(1)z|z|2|2是共轭复数的常用性质；(2)实数的共轭复数是它本身，即zRz，利用此性质可以证明一个复数是实数；(3)若z0且z0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数.再练一题2.已知复数z满足zz2iz42i，求复数z.【解】设zxyi(x，yR)，则zxyi，由题意，得(xyi)(xyi)2(xyi)i(x2y22y)2xi42i，解得或z13i或z1i.探究共研型虚数单位i的幂的周期性及其应用探究1i4n，i4n1，i4n2，i4n3(nN)的结果分别是什么？【提示】1，i，1，i.探究2in(nN)有几种不同的结果？【提示】四种：1，i，1，i.探究3inin1in2in3(nN)结果是多少？【提示】0.(1)计算：；(2)若复数z，求1zz2z2 016的值.【精彩点拨】将式子进行适当的化简、变形，使之出现in的形式，然后再根据in的值的特点计算求解.【自主解答】(1)原式iii1 008ii4252i1.(2)1zz2z2 016，而zi，所以1zz2z2 0161.1.要熟记in的取值的周期性，即i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1(nN)，解题时要注意根据式子的特点创造条件使之与in联系起来以便计算求值.2.如果涉及数列求和问题，应先利用数列方法求和后再求解.再练一题3.在上例(2)中，若z，求1zz2z2 016的值.【解】zi.1zz2z2 0161.构建体系1.设复数z满足(1i)z2i，则z()A.1iB.1iC.1iD.1i【解析】设zabi，则(1i)(abi)2i，即(ab)(ba)i2i.根据复数相等的充要条件得解得z1i.故选A.【答案】A2.复数zi(1i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于() 【导学号：37820046】A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】zi(1i)1i，复数z对应复平面上的点是(1，1)，该点位于第二象限.【答案】B3.复数z的共轭复数是()A.2iB.2iC.1iD.1i【解析】z1i，z1i.【答案】D4.已知a为实数，是纯虚数，则a_.【解析】，因为是纯虚数，所以a10且a10，即a1.【答案】15.计算：.【解】法一：2i.法二：ii2i.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.已知复数z2i，则zz的值为()A.5B.C.3D.【解析】zz(2i)(2i)22i2415，故选A.【答案】A2.i是虚数单位，复数()A.1iB.1iC.iD.i【解析】1i，故选A.【答案】A3.z1，z2是复数，且zz0，则正确的是()A.zzB.z1，z2中至少有一个是虚数C.z1，z2中至少有一个是实数D.z1，z2都不是实数【解析】取z11，z22i满足zz0，从而排除A和D；取z1i，z22i，满足zz0，排除C，从而选B.【答案】B4.若zz6，zz10，则z()A.13iB.3iC.3iD.3i【解析】设zabi(a，bR)，则zabi，解得a3，b1，则z3i.【答案】B5.已知复数z，z是z的共轭复数，则zz() 【导学号：37820047】A.B.C.1D.2【解析】法一：zi，zi.zz.法二：z|z|.zz|z|2.【答案】A二、填空题6.若(xi)i12i(xR)，则x_.【解析】由题意，得xi2i，所以x2.【答案】27.(2016天津高二检测)复数的共轭复数是_.【解析】2i，其共轭复数为2i.【答案】2i8.复数的模为，则实数a的值是_.【解析】，解得a.【答案】三、解答题9.(2016唐山高二检测)若z满足z1(1z)i，求zz2的值.【解】z1(1z)i，zi，zz2ii1.10.(2016天津高二检测)已知复数z满足z(13i)(1i)4.(1)求复数z的共轭复数；(2)若wzai，且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围.【解】(1)z1i3i3424i，所以复数z的共轭复数为24i.(2)w2(4a)i，复数w对应的向量为(2，4a)，其模为.又复数z所对应向量为(2，4)，其模为2.由复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，得208aa220，a28a0，所以，实数a的取值范围是8a0.能力提升1.若复数z满足z(1i)2i(i为虚数单位)，则|z|()A.1 B.2 C.D.【解析】z(1i)2i，z1i，|z|.【答案】C2.设z的共轭复数为z，z1i，z1zz，则等于() 【导学号：37820048】A.iB.iC.D.【解析】由题意得z1i，z1zz(1i)(1i)2.【答案】C3.对任意复数zxyi(x，yR)，i为虚数单位，则下列结论正确的是_.|zz|2y；z2x2y2；|zz|2x；|