2019版高考数学第6章数列2第2讲等差数列及其前n项和教案.docx

第2讲等差数列及其前n项和1等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列符号表示为an1and(nN*，d为常数)(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A，其中A叫做a，b的等差中项2等差数列的有关公式(1)通项公式：ana1(n1)d(2)前n项和公式：Snna1d3等差数列的性质已知数列an是等差数列，Sn是其前n项和(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)若klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman(3)若an的公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d(4)若bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，构成等差数列4等差数列的增减性与最值公差d0时为递增数列，且当a10时，前n项和Sn有最小值；公差d0时，前n项和Sn有最大值5等差数列与一次函数的关系由等差数列的通项公式ana1(n1)d可得andn(a1d)，如果设pd，qa1d，那么anpnq，其中p，q是常数当p0时，(n，an)在一次函数ypxq的图象上，即公差不为零的等差数列的图象是直线ypxq上的均匀排开的一群孤立的点当p0时，anq，等差数列为常数列，此时数列的图象是平行于x轴的直线(或x轴)上的均匀排开的一群孤立的点 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列()(3)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数()(4)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.()(5)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6) (2017高考全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若a4a524，S648，则an的公差为()A1B2C4D8解析：选C.设等差数列an的公差为d，所以所以d4，故选C. (教材习题改编)设Sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则S5()A5B7C9D11解析：选A.法一：因为a1a52a3，所以a1a3a53a33，所以a31，所以S55a35，故选A.法二：因为a1a3a5a1(a12d)(a14d)3a16d3，所以a12d1，所以S55a1d5(a12d)5，故选A. (教材习题改编)在等差数列11，8，5，中，49是它的第_项解析：a111，d8113，所以an11(n1)(3)3n14.由3n1449，得n21.答案：21 已知数列an中，a11，anan1(n2)，则数列an的前9项和等于_解析：由a11，anan1(n2)，可知数列an是首项为1，公差为的等差数列，故S99a191827.答案：27等差数列的基本运算(高频考点) 等差数列基本量的计算是高考的常考内容，多出现在选择题、填空题或解答题的第(1)问中，属容易题高考对等差数列的基本运算的考查常有以下三个命题角度：(1)求公差d、项数n或首项a1；(2)求通项或特定项；(3)求前n项和典例引领角度一求公差d、项数n或首项a1 (2018洛阳市第一次统一考试)等差数列an为递增数列，若aa101，a5a611，则数列an的公差d等于()A1B2C9D10【解析】依题意得(a1a10)22a1a10(a5a6)22a1a101212a1a10101，所以a1a1010，又a1a10a5a611，a10，a2 016a2 0170，a2 016a2 0170成立的最大正整数n是()A2 016B2 017C4 032D4 033解析：选C.因为a10，a2 016a2 0170，a2 016a2 0170，所以d0，a2 0170，S4 0334 033a2 0170成立的最大正整数n是4 032. 等差数列an的通项公式ana1(n1)d可变形为andn(a1d)若d0，则ana1，其是常数函数；若d0，则an是关于n的一次函数(n，an)是直线ydx(a1d)上一群孤立的点单调性：d0时，an为单调递增数列；d0时，an为单调递减数列 等差数列an的前n项和Sn可表示为Snn2n，令A，Ba1，则SnAn2Bn.当A0，即d0时，Sn是关于n的二次函数，(n，Sn)在二次函数yAx2Bx的图象上，为抛物线yAx2Bx上一群孤立的点利用此性质可解决前n项和Sn的最值问题 易错防范(1)要注意概念中的“从第2项起”如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列(2)注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别 1在等差数列an中，a1a58，a47，则a5()A11B10C7D3解析：选B.设数列an的公差为d，则有解得所以a524310.2(2018兰州市诊断考试)已知等差数列an的前n项和为Sn，若a12，a8a1028，则S9()A36B72C144D288解析：选B.法一：因为a8a102a116d28，a12，所以d，所以S99272.法二：因为a8a102a928，所以a914，所以S972.3已知数列an满足a115，且3an13an2，若akak10，则正整数k()A21B22C23D24解析：选C.3an13an2an1anan是等差数列，则ann.因为akak10，所以0，所以k，所以k23.4(2018湖南衡阳八中、长郡中学等十三校模拟)等差数列an的公差d0，且a3，a5，a15成等比数列，若a55，Sn为数列an的前n项和，则数列的前n项和取最小值时的n为()A3B3或4C4或5D5解析：选B.由题意知由d0，解得a13，d2，所以3n1n4，由n40，得n4，所以数列的前n项和取最小值时的n为3或4.故选B.5(2018衡水中学二调)今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，问：几何日相逢？()A12日B16日C8日D9日解析：选D.由题易知良马每日所行里数构成一等差数列，其通项公式为an10313(n1)13n90，驽马每日所行里数也构成一等差数列，其通项公式为bn97(n1)n，二马相逢时所走路程之和为21 1252 250，所以2 250，即2 250，化简得n231n3600，解得n9或n40(舍去)，故选D.6已知等差数列an的公差d0，且a3a9a10a8.若an0，则n_解析：因为a3a9a10a8，所以a12da18da19d(a17d)，解得a14d，所以an4d(n1)d(n5)d，令(n5)d0(d0)，可解得n5.答案：57(2018重庆适应性测试(二)设Sn是等差数列an的前n项和，S1016，S100S9024，则S100_解析：依题意，S10，S20S10，S30S20，S100S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d.又S1016，S100S9024，因此S100S902416(101)d169d，解得d，因此S10010S10d1016200.答案：2008在等差数列an中，a17，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n8时Sn取得最大值，则d的取值范围为_解析：由题意，当且仅当n8时，Sn取得最大值，说明所以所以1d.答案：9已知数列an满足：a313，anan14(n1，nN*)(1)求a1，a2及通项公式an；(2)设Sn为数列an的前n项和，则数列S1，S2，S3，中哪一项最小？解：(1)因为数列an满足a313，anan14，所以anan14，即数列an为等差数列且公差为d4，所以a2a3d13417，a1a2d17421，所以通项公式ana1(n1)d214(n1)4n25.(2)令an4n250可解得n，所以数列an的前6项为负值，从第7项开始为正数，所以数列S1，S2，S3，中S6最小10在公差为d的等差数列an中，已知a110，且a1，2a22，5a3成等比数列(1)求d，an；(2)若d0，求|a1|a2|a3|an|.解：(1)由题意得，a15a3(2a22)2，由a110，an为公差为d的等差数列得，d23d40，解得d1或d4.所以ann11(nN*)或an4n6(nN*)(2)设数列an的前n项和为Sn.因为d0，由(1)得d1，ann11，所以当n11时，|a1|a2|a3|an|Snn2n；当n12时，|a1|a2|a3|an|Sn2S11n2n110.综上所述，|a1|a2|a3|an|1(2018安徽省两校阶段性测试)已知数列an是首项为a，公差为1的等差数列，数列bn满足bn.若对任意的nN*，都有bnb8成立，则实数a的取值范围是()A(8，7)B8，7)C(8，7D8，7解析：选A.因为an是首项为a，公差为1的等差数列，所以anna1，因为bn，又对任意的nN*，都有bnb8成立，所以11，即对任意的nN*恒成立，因为数列an是公差为1的等差数列，所以an是单调递增的数列，所以，即，解得8a7.2(2018石家庄市第一次模拟)已知函数f(x)的图象关于直线x1对称，且f(x)在(1，)上单调，若数列an是公差不为0的等差数列，且f(a50)f(a51)，则数列an的前100项的和为()A200B100C50D0解析：选B.因为函数f(x)的图象关于直线x1对称，又函数f(x)在(1，)上单调，数列an是公差不为0的等差数列，且f(a50)f(a51)，所以a50a512，所以S10050(a50a51)100，故选B.3(2018兰州市诊断考试)已知数列an中，a11，Sn为数列an的前n项和，且当n2时，有1成立，则S2 017_解析：当n2时，由1，得2(SnSn1)(SnSn1)SnSSnSn1，所以1，又2，所以是以2为首项，1为公差的等差数列，所以n1，故Sn，则S2 017.答案：4(2018安徽省淮南模拟)设数列an的前n项和为Sn，若为常数，则称数列an为“精致数列”已知等差数列bn的首项为1，公差不为0，若数列bn为“精致数列”，则数列bn的通项公式为_解析：设等差数列bn的公差为d，由为常数，设k且b11，得nn(n1)dk，即2(n1)d4k2k(2n1)d，整理得(4k1)dn(2k1)(2d)0.因为对任意正整数n，上式恒成立，所以解得d2，k，所以数列bn的通项公式为bn2n1(nN*)答案：bn2n1(nN*)5已知an是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S42S24，数列bn中，bn.(1)求公差d的值；(2)若a1，求数列bn中的最大项和最小项的值解：(1)因为S42S24，所以4a1d2(2a1d)4，解得d1.(2)因为a1，所以数列an的通项公式为ana1(n1)n，所以bn11.因为函数f(x)1在和上分别是单调减函数，所以b3b2b11，当n4时，1bnb4，所以数列bn中的最大项的值是b43，最小项的值是b31.6(2018洛阳市第一次统一考试)已知数列an的前n项和为Sn，an0，a11，且2anan14Sn3(nN*)(