考研数学春季基础班线性代数讲义.doc

膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂螈羂肁莂羀螅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节荿袄肈膈莈薄袁肄莇蚆肇莂蒆蝿衿芈蒆袁肅膄蒅薁袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莅蒂薅膂芁蒁蚇羄膇蒁蝿膀肃薀袂羃莁蕿薁螅芇薈螄羁芃薇袆袄腿薆薆聿肅薅蚈袂莄薅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆肂蚂蚅衿莀蚁袇肄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄芅袃膁莃芄薃羄艿莃蚅腿膅莂 第一讲 行列式一、基本概念1、逆序设是一对不等的正整数，若，则称为一对逆序。2、逆序数设是的一个排列，该排列所含的逆序总数称为该排列的逆序数，记为，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。3、对换对排列中任意两个数的位置进行对调，称为对该排列的一次对换，对换改变排列的奇偶性。4、行列式由个数组成的下列记号 ，称为阶行列式，规定 。5、余子式与代数余子式把行列式中元素所在的行元素和列元素去掉，剩下的行和列元素按照元素原来的排列次序构成的阶行列式，称为元素的余子式，记为，称为元素的代数余子式。二、几个特殊的高阶行列式 以下几种行列式为常用的特殊行列式，其计算非常方便，应用也非常广泛：1、对角行列式形如，称为对角行列式，对角行列式等于其对角线上元素之积。2、上（下）三角行列式称及为上三角行列式和下三角行列式，它们都等于主对角线上的元素之积。3、范得蒙行列式形如 称为阶范得蒙行列式，且。4、广义对角行列式形如 （其中为方阵）称为广义对角行列式，且。5、设分别为和阶矩阵，则，。三、行列式的性质（一）把行列式转化为特殊行列式的性质1、行列式与其转置行列式相等，即。2、对调两行（或列）行列式改变符号。3、行列式某行（或列）有公因子可以提取到行列式的外面。推论：（1）行列式某行（或列）元素全为零，则该行列式为零。（2）行列式某两行（或列）相同，行列式为零。（3）行列式某两行（或列）元素对应成比例，行列式为零。4、行列式的某行（或列）的每个元素皆为两数之和时，行列式可分解为两个行列式，即。5、行列式的某行（或列）的倍数加到另一行（或列），行列式不变，即，其中为任意常数。（二）行列式降阶的性质6、行列式等于行列式某行（或列）元素与其对应的代数余子式之积的和，即，。7、行列式的某行（或列）元素与另一行（或列）元素的代数余子式之积的和为零。四、行列式的应用克莱姆法则对方程组 （）及 （）其中称为非齐方程组，称为对应的齐次方程组或的导出方程组。令，其中称为系数行列式，我们有定理1 只有零解的充分必要条件是；有非零解（或者有无穷多个解）的充分必要条件是。定理2 有唯一解的充分必要条件是，且；当时，要么无解，要么有无穷多个解。基本题型1、计算行列式（答案：）2、设，求（1）；（2）。3、设为4维列向量,且，求。4、计算，其中。第二讲 矩阵一 、基本概念及其运算（一）基本概念1、矩阵形如称为行列的矩阵，记为，行数与列数相等的矩阵称为方阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵。2、同型矩阵及矩阵相等若两个矩阵行数与列数相同，称两个矩阵为同型矩阵，若两个矩阵为同型矩阵，且对应元素相同，称两个矩阵相等。3、对称矩阵设，若，称为对称矩阵。4、转置矩阵设，记，称为矩阵的转置矩阵。5、单位矩阵称为单位矩阵。6、伴随矩阵设为矩阵，将矩阵中的第行和列去掉，余下的元素按照原来的元素排列次序构成的阶行列式，称为元素的余子式，记为，同时称为元素的代数余子式，这样矩阵中的每一个元素都有自己的代数余子式，记，称为矩阵的伴随矩阵。7、非奇异矩阵设为一个阶矩阵，若，则称矩阵为非奇异矩阵。（二）矩阵的四则运算及性质1、矩阵的四则运算的定义（1）矩阵加减法设，则。（2）矩阵乘法1）数与矩阵的乘法：设，则。2）矩阵与矩阵的乘法：设，则，其中（）。注解（1）对方程组 （） （）记利用矩阵乘法，则方程组（）、（）可改写为 ， （）与 ， （）（2）推不出，如，。（3）。（4）矩阵多项式可进行因式分解的充分必要条件是矩阵乘法可交换，如若，则，再如。2、矩阵四则运算的性质（1）交换律：。（2）结合律：1）。 2）。（3）分配律：1）。 2）。3）。 4）。（4）。（三）矩阵转置性质1、。2、（其中为常数）。3、。4、。（四）矩阵对应的行列式的性质1、设为同阶方阵，则。 2、。3、。 4、。 5、设矩阵可逆，则。二、逆矩阵的存在性与求法（一）逆阵问题的产生设为阶矩阵，为维列向量，对方程组，若存在阶矩阵，使得，则在方程组两边左乘，得，于是。（二）逆矩阵的定义设为阶矩阵，若存在，使得，称可逆，称为的逆矩阵，记为。（三）逆矩阵的性质1、。2、（其中为非零常数）。3、，更进一步。4、。5、设可逆，则。6、设都是可逆矩阵，则。（四）两个问题问题1 设为阶矩阵，何时可逆？问题2 设为阶矩阵，若可逆，如何求？（五）矩阵可逆的充分必要条件定理 设为阶矩阵，则矩阵可逆的充分必要条件是。证明“”设可逆，根据矩阵可逆的定义，存在，使得，两边取行列式得，故。“”设，因为，所以，根据逆阵的定义可逆，且，（六）逆矩阵的求法1、伴随矩阵法：若，则。2、初等变换法逆阵求法：。（七）初等变换法求逆矩阵的思想体系1方程组的同解变形（1）对调两个方程；（2）某个方程两边同乘以非零常数；（3）某个方程的倍数加到另一个方程，以上三种变形称为方程组的三种同解变形。2矩阵的三种初等行变换（1）对调矩阵的两行；（2）矩阵的某行乘以非零常数倍；（3）矩阵某行的倍数加到另一行。以上三种变换称为矩阵的三种初等行变换，若对矩阵的列进行以上三种变换，称为矩阵的初等列变换，矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换。注解 矩阵的三种初等行变换本质上对应了方程组的三种同解变形。3三个初等矩阵及性质（1）将单位矩阵的第行与第行或者单位矩阵的第列与第列对调所得到的矩阵，如。性质： 1）；1）。3）相等于把矩阵的第行与第行对调，相等于把矩阵的第列与第列对调，即相当于对进行第一种初等行变换，相当于对进行第一种初等列变换。（2）将单位矩阵的第行乘以非零常数或单位矩阵的第列乘以非零常数所得到的矩阵，如。性质：1）；2）；3）相等于把矩阵的第行非零常数，相等于把矩阵的第列非零常数，即相当于对进行第二种初等行变换，相当于对进行第二种初等列变换。（2）将单位矩阵的第行的倍加到第行或单位矩阵的第列的倍加到第列所得到的矩阵。性质：1）相当于把矩阵得第行的倍加到第行，相当于把矩阵得第列的倍加到第列；2）；3）。注解矩阵左乘三种初等矩阵相当于对矩阵进行三种初等行变换，矩阵右乘三种初等矩阵相当于对矩阵进行三种初等列变换。4三个问题问题1 设是阶可逆矩阵，可都经过有限次初等行变换化为？如可逆，等价于，问题1的答案是肯定的，于是有定理1 设是阶可逆矩阵，则经过有限次初等行变换化为，且。证明：因为为阶可逆阵，所以存在初等矩阵，使得 ，即，显然，于是，合并后得 。问题2 设是阶不可逆矩阵，是否可以经过有限次初等行变换化为？问题2回答是否定的，如 为可逆矩阵，显然不可以经过有限次初等行变换化为。问题3设是阶不可逆矩阵，是否可以经过有限次初等变换化为？问题3回答是肯定的，对，可以经过初等行变换和列变换化为，于是有定理2设是阶不可逆矩阵，则存在阶可逆矩阵和，使得。证明：因为不可逆，所以存在初等矩阵和，使得 ，令，显然和都可逆，且。例题1设是阶可逆阵，将的第行与第行对调得到矩阵，（1）证明可逆； （2）求。三、矩阵的秩（一）问题背景设是矩阵，是维列向量，则线性方程组可表示为 ，讨论其解是可分为如下三种情形：情形一：是阶可逆矩阵，由，得；情形二：是阶不可逆矩阵情形三：是矩阵且。对情形一，方程组的解为；对情形二、三，此时方程组是否有解及有解时解的情况无法通过逆矩阵解决，此时需要矩阵的秩。（二）矩阵秩的定义设是矩阵，中任取行和列且元素按原有次序所成的阶行列式，称为的阶子式，若中至少有一个阶子式不等于零，而所有阶子式（如果有）皆为零，称为矩阵的秩，记为。（三）矩阵秩的求法将用初等行变换化为阶梯矩阵，阶梯矩阵的非零行数即为矩阵的秩。（四）矩阵秩的性质1。2；3，等价于，即矩阵的乘法不会使矩阵的秩升高。4设，且，则；5设为可逆矩阵，则；6.7；8（1）。（2）若，则。（3）若矩阵至少有两行不成比例，则。（4）存在非零向量，使得。（需证明）例题1设是矩阵，且，证明：。2设，证明：。3是3维列向量，证明：。4设是矩阵，是矩阵，且，证明：。5设是可逆矩，证明：的逆矩阵唯一。三、矩阵等价1矩阵等价的定义设是两个同型矩阵，若矩阵经过有限次初等变换化为，称矩与等价。2矩阵等价的充分必要条件设是两个同型矩阵，则等价的充分必要条件是。基本题型1设为阶矩阵，且，求。2设，且，求。3设为正交矩阵，证明：（1）；（2）若，则4设，则 （ ） 第三讲 向量一、向量基本概念（一）向量的基本概念1向量及运算（1）定义个实数所构成的一个数组称为向量，其中称为维行向量，称为维列向量，构成向量的所有元素皆为零的向量称为零向量。（2）向量的运算设向量，则规定1）向量的加法：；2）数与向量的乘法：；3）向量的内积：。注解（1）；（2）；（3）；（4）。（5）当，即时，称向量与正交，记为，注意零向量与任何向量正交。预备知识方程组的向量形式对方程组 （） （）令，上述则方程组可表示为 ， （）及 ， （）有两种情况：（1）当且仅当时成立，即齐次线性方程组只有零解；（2）存在不全为零的常数，使得成立，即齐次线性方程组有非零解。有两种情况：（1）存在一组常数，使得成立，即非齐线性方程组有解；（2）不存在常数，使得成立，即非齐线性方程组无解。于是有2向量组的线性组合及相关性（1）向量组的线性组合设为一个向量组，称为向量组的线性组合。（2）向量组的线性相关性设为一个向量组，若成立当且仅当，称线性无关；若存在一组不全为零的常数，使得成立，称线性相关。3向量组的线性表示设，为向量组，若存在一组常数，使得成立，称向量可由向量组线性表示。（三）向量组的秩与矩阵的秩的概念1向量组的极大线性无关组与向量组的秩设为一个向量组，若中存在个线性无关的子向量组，但任意个子向量组（如果有）线性相关，称个线性无关的子向量组为向量组的一个极大线性无关组，称为向量组的秩。注解（1）若一个向量组中含有零向量，则该向量组一定线性相关；（2）两个向量线性相关的充分必要条件是两个向量成比例；（3）向量组的极大线性无关组不一定唯一，如，则及皆为极大线性无关组。2向量组的等价设与为两个向量组，若，则称向量组可由向量组线性表示，若两个向量组可以相互线性表示，称两个向量组等价。二、向量的性质（一）向量组的相关性与线性表示的性质1若线性相关，则其中至少有一个向量可由其余向量线性表出。证明 因为线性相关，所以存在不全为零的常数，使得 成立。不妨设，则，即可由线性表示。2设线性无关，而线性相关，则可由线性表出，且表示方法唯一；证明 因为线性相关，所以存在不全为零的常数，使得，若，则，因为线性无关，所以，矛盾，故，于是有，即可由线性表示。令，两式相减得，因为线性无关，所以，唯一性得证。3若一个向量组线性无关，则其中任意一个部分向量组也必然线性无关；4若一个向量组的一个部分向量组线性相关，则此向量组一定线性相关；5设为个维向量，则线性无关；证明 向量组线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组 只有零解，由Cramer法则，只有零解的充分必要条件是，故线性无关。6若一个向量组的个数多于维数。则此向量组一定线性相关；证明 设为个维向量组，且，因为线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组 有非零解，而，所以方程组一定有自由变量，从而方程组一定有非零解，故向量组线性相关。7若为一个两两正交的非零向量组，则线性无关。证明 令，则，即，因为两两正交，所以，又因为是非零向量，所以，于是有，再由，得，同理可得，故线性无关。反之不对，如，显然线性无关，但不两两正交。例题1设线性无关，线性相关，证明：可由线性表示。2维列向量组线性无关充要条件是。3与皆为三维线性无关的向量组，证明：存在非零向量，使得可同时由与线性表示。（二）向量组的秩的性质1设为两个向量组，若组可由线性表出，则组的秩不超过组的秩序；2等价的向量组由相等的秩；3矩阵的秩、矩阵的行向量组的秩、矩阵的列向量组的秩三者相等。第四讲 方程组一、线性方程组的基本概念与表达形式方程组 （）称为元齐次线性方程组。方程组 （）称为元非齐线性方程组，方程组（）又称为方程组（）对应的齐次线性方程组或者导出方程组。方程组（）和方程组（）分别称为齐次线性方程组和非齐线性方程组的基本形式。记 则方程组（）、（）可改写为 ， 与 ， 方程组和方程组分别称为齐次线性方程组和非齐线性方程组的矩阵形式。称 为方程组的增广矩阵。再记 则方程组（）、（）可改写为 ， 与 ， 方程组和方程组分别称为齐次线性方程组和非齐线性方程组的向量形式。二、线性方程组解的结构1设为齐次线性方程组的解，则为的解，其中为任意常数。特殊情形，及（为任意常数）都是的解。2设为齐次线性方程组的解，为非齐线性方程组的解，则为方程组的解。3设为非齐线性方程组的解，则为的解。4设为的一组解，则为的解的充分必要条件是。三、线性方程组解的基本定理定理1 （1）齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是；（2）齐次线性方程组有非零解（或者无穷多个解）的充分必要条件是。定理2 （1）非齐线性方程组无解的充分必要条件是。（2）非齐线性方程组有解的充分必要条件是。更进一步地，当时，方程组有唯一解；当时，方程组有无穷多个解。四、线性方程组的通解（一）齐次线性方程组的基础解系与通解1基础解系设，则将进行初等行变换阶梯化（本质上即为方程组的同解变形）得，其中，则原方程组的同解方程组为 ，取，则得到原方程组的一组解，显然线性无关，且可以生成方程组的任何解，称为齐次线性方程组的一组基础解系。2通解设为齐次线性方程组的一组基础解系，则的通解为（其中为任意常数）。（二）非齐线性方程的通解 设，且为的导出方程组的一个基础解系，为的一个解，则的通解为，其中为任意常数。基本题型1、(1)设为阶阵，且的各行元素之和为0，求的通解。(2) 设为阶阵，且，求的通解。(3)设为四元非齐方程组，为其3个解向量，且，求的通解。2、为的三个解，求其通解。3、设为4维列向量组，线性无关，求的一个基础解系。4、设线性无关，且，求的通解。5、取何值时，方程组有解，并求出其解。6、设方程组无解，求。7、设为维向量组，且线性无关，为的非零解，问线性相关性。8、证明：。第五讲 特征值与特征向量一、基本概念1矩阵的特征值、特征向量的定义设为阶矩阵，若存在一个数和非零向量，使得，称为矩阵的特征值，称为矩阵的属于特征值的特征向量。2特征多项式、特征方程令，称为矩阵的特征多项式，称为矩阵的特征方程。注解设矩阵，则有（1）。（2）。3矩阵相似设为两个阶阵，若存在可逆阵，使得，则称与相似，记为。注解（1）；（2）若，则；（3）若，则。4矩阵的对角化若一个矩阵和对角矩阵相似,则称矩阵可以对角化，设是阶矩阵，所谓可对角化，即存在可逆矩阵，使得，其中为对角矩阵。5Schmidt为一组线性无关的向量组，以下过程称为Schmidt正交化（1）令，此过程称为Schmidt正交化，所得的新向量组两两正交。（2）令，则为两两正交的单位向量组。二、矩阵相似的性质1、。2、，反之不对。3、，反之不对。4、。5、（其中可逆）。6。三、特征值与特征向量的性质1、不同特征值对应的特征向量线性无关。2、任何一个特征值对应的线性无关的特征向量的个数不超过其阶数。3、设为阶矩阵，是矩阵的特征值，是矩阵的对应于的特征向量，则（1）若可逆，则是矩阵的特征值，是矩阵的对应于的特征向量。（2）若可逆，则为矩阵的特征值，是矩阵的对应于的特征向量。（3）设为一元次多项式，称为关于矩阵的矩阵多项式，则有为矩阵的特征值，是矩阵的对应于的特征向量。4、设为实对称阵，则的特征根都是实数。证明：设为实对称阵，为的特征根，为的属于的特征向量，5、设为实对称阵，则的不同特征根对应的特征向量正交。6、可对角化有个线性无关的特征向量。注：以下三种矩阵一定可以对角化：1）若有个相异特征根，则一定可以对角化；2）实对称一定可以对角化；3）如果任意一个特征根的代数重数与几何重数相等,则一定可以对角化。设为的两个不同的特性根，分别为所对应的特征向量，则不是特征向量。7、设为实对称阵，为其特征根，则存在正交阵，使得。问题：1、设为阶方阵，的秩是否一定与的非零特征值的个数相等？2、若为可对角化矩阵，的秩是否一定与的非零特征值个数相等？四、相似矩阵的概念与性质及矩阵的对角化（一）基本概念1、相似矩阵：2、矩阵的相似对角化：3、Schmidt正交化：（二）矩阵对角化的基本步骤情形一：非实对称矩阵情形二：实对称矩阵基本题型1、，求的特征根、特征向量，以及是否可以对角化？2、设，证明不可以对角化。3、设矩阵的每行元素之和分别为，其中可逆。（1）求的每行元素之和；（2）求的每行元素之和。4、设，且相似，求的值。5、设，求。6、设三阶实对称阵的特征值分别为，的属于特征值的特征向量分别为。（1）求的属于特征值的特征向量；（2）求。7、设有三个线性无关的特征向量，求满足的条件。8、设，证明可对角化。9、,证明: 可以对角化。10、,有解但不唯一,(1)求的值;(2)求可逆阵,使得为对角阵;(3)求正交阵,使得为对角阵。第六讲 二次型及其标准型一、基本概念1、二次型含个变量且每项皆为二次的齐次多项式称为二次型。令，则。矩阵称为二次型的矩阵，显然，即二次型的矩阵都是对称矩阵，矩阵的秩称为二次型的秩。2、标准二次型只含有平方项不含交叉项的二次型称为标准二次型。3、二次型的标准化设为一个二次型，若经过可逆的线性变换（即为可逆矩阵）把二次型化为，称为二次型的标准化。4、惯性指数：5、规范二次型二次型的标准型的系数为和的标准型，称为二次型的规范型。6、矩阵合同设为阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵，使得，称矩阵与合同，记为。二、标准型基本定理定理1（标准型定理）任何二次型总可以通过可逆的线性变换（其中为可逆矩阵）化为标准型，即，其中为标准型中非零系数的个数。定理2（惯性定理）二次型的标准型的系数中正、负系数的个数保持不变，分别称为二次型的正、负惯性指数。定理3（矩阵合同定理）设为阶实对称矩阵，则的充分必要条件是的特征值中正、负及零的个数相同。三、二次型标准化方法1、配方法：2、正交变换法：四、正定矩阵与正定二次型（一）基本概念1、正定二次型定义：2、正定二次型等价定义：（二）正定二次型的判别：二次型的正定二次型的充分必要条件是1、的特征值全是正数。2（定理），即矩阵的所有顺序主子式都大于零。3、存在可逆矩阵，使得或。4、二次型的正惯性指数为。基本题型1、设。（1）写出二次型的矩阵形式；（2）用正交变换法求二次型的标准型，写出正交阵。2、 设二次型为正定二次型，求的范围。3、设，为正定矩阵，证明：是正定矩阵。4、设为阶实对称正定阵, 为实阵,证明: 是正定的。5、设为阶正定阵，证明。 蝿羄肃芃袂螆莁莃薁羂芇莂蚄螅膃莁袆羀腿莀薆袃肅荿蚈肈莄莈螀袁芀莇袃肇膆莇薂袀肂蒆蚅肅羈蒅螇袈芆蒄蒇肃节蒃虿羆膈蒂螁膂肄蒁袃羄莃蒁薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蒇羁羇薇蚀螄莆薆螂聿节薅袄袂膈薅薄肈肄薄蚆袀莂蚃蝿肆芈蚂袁衿膄蚁薁肄肀芈螃袇肆芇袅膂莅芆薅羅芁芅蚇膁膇芄蝿羄肃芃袂螆莁莃薁羂芇莂蚄螅膃莁袆羀腿莀薆袃肅荿蚈肈莄莈螀袁芀莇袃肇膆莇薂袀肂蒆蚅肅羈蒅螇袈芆蒄蒇肃节蒃虿羆膈蒂螁膂肄蒁袃羄莃蒁薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蒇羁羇薇蚀螄莆薆螂聿节薅袄袂膈薅薄肈肄薄蚆袀莂蚃蝿肆芈蚂袁衿膄蚁薁肄肀芈螃袇肆芇袅膂莅芆薅羅芁芅蚇膁膇芄蝿羄肃芃袂螆莁莃薁羂芇莂蚄螅膃莁袆羀腿莀薆袃肅荿蚈肈莄莈螀袁芀莇袃肇膆莇薂袀肂蒆蚅肅羈蒅螇袈芆蒄蒇肃节蒃虿羆膈蒂螁膂肄蒁袃羄莃蒁薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蒇羁羇薇蚀螄莆薆螂聿节薅袄袂膈薅薄肈肄薄蚆袀莂蚃蝿肆芈蚂袁衿膄蚁薁肄肀芈螃袇肆芇袅膂莅芆薅羅芁芅蚇膁膇芄蝿羄肃芃袂螆莁莃薁羂芇莂蚄螅膃莁袆羀腿莀薆袃肅荿蚈肈莄莈螀袁芀莇袃肇膆莇薂袀肂蒆蚅肅羈蒅螇袈芆蒄蒇肃节蒃虿羆膈蒂螁膂肄蒁袃羄莃蒁薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蒇羁羇薇蚀螄莆薆螂聿节薅袄袂膈薅薄肈肄薄蚆袀莂蚃蝿肆芈蚂袁衿膄蚁薁肄肀芈螃袇肆芇袅膂莅芆薅羅芁芅蚇膁膇芄蝿羄肃芃袂螆莁莃薁羂芇莂蚄螅膃莁袆羀腿莀薆袃肅荿蚈肈莄莈螀袁芀莇袃肇膆莇薂袀肂蒆蚅肅羈蒅螇袈芆蒄蒇肃节蒃虿羆膈蒂螁膂肄蒁袃羄莃蒁薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蒇羁羇薇蚀螄莆薆螂聿节薅袄袂膈薅薄肈肄薄蚆袀莂蚃蝿肆芈蚂袁衿膄蚁薁肄肀芈螃袇肆芇袅膂莅芆薅羅芁芅蚇膁膇芄蝿羄肃芃袂螆莁莃薁羂芇莂蚄螅膃莁袆羀腿莀薆袃肅荿蚈肈莄莈螀袁芀莇袃肇膆莇薂袀肂蒆蚅肅羈蒅螇袈芆蒄蒇肃节蒃虿羆膈蒂螁膂肄蒁袃羄莃蒁薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蒇羁羇薇蚀螄莆薆螂聿节薅袄袂膈薅薄肈肄薄蚆袀莂蚃蝿肆芈蚂袁衿膄蚁薁肄肀芈螃袇肆芇袅膂莅芆薅羅芁芅蚇膁膇芄蝿羄肃芃袂螆莁莃薁羂芇莂蚄螅膃莁袆羀腿莀薆袃肅荿蚈肈莄莈螀袁芀莇袃肇膆莇薂袀肂蒆蚅肅羈蒅螇袈芆蒄蒇肃节蒃虿羆膈蒂螁膂肄蒁袃羄莃蒁薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蒇羁羇薇蚀螄莆薆螂聿节薅袄袂膈薅薄肈肄薄蚆袀莂蚃蝿肆芈蚂袁衿膄蚁薁肄肀芈螃袇肆芇袅膂莅芆薅羅芁芅蚇膁膇芄蝿羄肃芃袂螆莁莃薁羂芇莂蚄螅膃莁袆羀腿莀薆袃肅荿蚈肈莄莈螀袁芀莇袃肇膆莇薂袀肂蒆蚅肅羈蒅螇袈芆蒄蒇肃节蒃虿羆膈蒂螁膂肄蒁袃羄莃蒁薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蒇羁羇薇蚀螄莆薆螂聿节薅袄袂膈薅薄肈肄薄蚆袀莂蚃蝿肆芈蚂袁衿膄蚁薁肄肀芈螃袇肆芇袅膂莅芆薅羅芁芅蚇膁膇芄蝿羄肃芃袂螆莁莃薁羂芇莂蚄螅膃莁袆羀腿莀薆袃肅荿蚈肈莄莈螀袁芀莇袃肇膆莇薂袀肂蒆蚅肅羈蒅螇袈芆蒄蒇肃节蒃虿羆膈蒂螁膂肄蒁袃羄莃蒁薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蒇羁羇薇蚀螄莆薆螂聿节薅袄袂膈薅薄肈肄薄蚆袀莂蚃蝿肆芈蚂袁衿膄蚁薁肄肀芈螃袇肆芇袅膂莅芆薅羅芁芅蚇膁膇芄蝿羄肃芃袂螆莁莃薁羂芇莂蚄螅膃莁袆羀腿莀薆袃肅荿蚈肈莄莈螀袁芀莇袃肇膆莇薂袀肂蒆蚅肅羈蒅螇袈芆蒄蒇肃节蒃虿羆膈蒂螁膂肄蒁袃羄莃蒁薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蒇羁羇薇蚀螄莆薆螂聿节薅袄袂膈薅薄肈肄薄蚆袀莂蚃蝿肆芈蚂袁衿膄蚁薁肄肀芈螃袇肆芇袅膂莅芆薅羅芁芅蚇膁膇芄蝿羄肃芃袂螆莁莃薁羂芇莂蚄螅膃莁袆羀腿莀薆袃肅荿蚈肈莄莈螀袁芀莇袃肇膆莇薂袀肂蒆蚅肅羈蒅螇袈芆蒄蒇肃节蒃虿羆膈蒂螁膂肄蒁袃羄莃蒁薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蒇羁羇薇蚀螄莆薆螂聿节薅袄袂膈薅薄肈肄薄蚆袀莂蚃蝿肆芈蚂袁衿膄蚁薁肄肀芈螃袇肆芇袅膂莅芆薅羅芁芅蚇膁膇芄蝿羄肃芃袂螆莁莃薁羂芇莂蚄螅膃莁袆羀腿莀薆袃肅荿蚈肈莄莈螀袁芀莇袃肇膆莇薂袀肂蒆蚅肅羈蒅螇袈芆蒄蒇肃节蒃虿羆膈蒂螁膂肄蒁袃羄莃蒁薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蒇羁羇薇蚀螄莆薆螂聿节薅袄袂膈薅薄肈肄薄蚆袀莂蚃蝿肆芈蚂袁衿膄蚁薁肄肀芈螃袇肆芇袅膂莅芆薅羅芁芅蚇膁膇芄蝿羄肃芃袂螆莁莃薁羂芇莂蚄螅膃莁袆羀腿莀薆袃肅荿蚈肈莄莈螀袁芀莇袃肇膆莇薂袀肂蒆蚅肅羈蒅螇袈芆蒄蒇肃节蒃虿羆膈蒂螁膂肄蒁袃羄莃蒁薃螇艿薀蚅羃膅蕿螈螅肁薈蒇羁羇薇蚀螄莆薆螂聿节薅袄袂膈薅薄肈肄薄蚆袀莂蚃蝿肆芈蚂袁衿膄蚁薁肄肀芈螃袇肆芇袅膂莅芆薅羅芁芅蚇膁膇芄蝿羄肃芃袂螆莁莃薁羂芇莂蚄螅膃莁袆羀腿