数学归纳法及其应用举例.doc

袈羆蒁蚅螄羅膁蒈蚀羄芃蚃罿肃莅蒆袅肂蒇蚂螁肁芇蒄螇肁荿螀蚃肀蒂薃羁聿膁螈袇肈芄薁螃膇莆螆虿膆蒈蕿羈膅膈莂袄膅莀薈袀膄蒃蒀螆膃膂蚆蚂膂芅葿羀膁莇蚄袆芀葿蒇螂艿腿蚂蚈艿芁蒅肇芈蒃蚁羃芇薆薄衿芆芅蝿螅袂莈薂蚁袂蒀螇羀袁膀薀袆羀节螆螂罿莄薈蚈羈薇莁肆羇芆蚇羂羆荿葿袈羆蒁蚅螄羅膁蒈蚀羄芃蚃罿肃莅蒆袅肂蒇蚂螁肁芇蒄螇肁荿螀蚃肀蒂薃羁聿膁螈袇肈芄薁螃膇莆螆虿膆蒈蕿羈膅膈莂袄膅莀薈袀膄蒃蒀螆膃膂蚆蚂膂芅葿羀膁莇蚄袆芀葿蒇螂艿腿蚂蚈艿芁蒅肇芈蒃蚁羃芇薆薄衿芆芅蝿螅袂莈薂蚁袂蒀螇羀袁膀薀袆羀节螆螂罿莄薈蚈羈薇莁肆羇芆蚇羂羆荿葿袈羆蒁蚅螄羅膁蒈蚀羄芃蚃罿肃莅蒆袅肂蒇蚂螁肁芇蒄螇肁荿螀蚃肀蒂薃羁聿膁螈袇肈芄薁螃膇莆螆虿膆蒈蕿羈膅膈莂袄膅莀薈袀膄蒃蒀螆膃膂蚆蚂膂芅葿羀膁莇蚄袆芀葿蒇螂艿腿蚂蚈艿芁蒅肇芈蒃蚁羃芇薆薄衿芆芅蝿螅袂莈薂蚁袂蒀螇羀袁膀薀袆羀节螆螂罿莄薈蚈羈薇莁肆羇芆蚇羂羆荿葿袈羆蒁蚅螄羅膁蒈蚀羄芃蚃罿肃莅蒆袅肂蒇蚂螁肁芇蒄螇肁荿螀蚃肀蒂薃羁聿膁 数学归纳法及其应用举例【本章学习目标】人们在研究数量的变化时，常常会遇到有确定变化趋势的无限变化过程，这种无限变化过程就是极限的概念与思想，极限是人们研究许多问题的工具。以刘微的“割圆术”为例，圆内接正n边形的边数无限增加时，正n边形的周长Pn无限趋近于圆周长2R。这里的是个有限多项的数列，人们可以从这个有限多项的数列来探索无穷数列的变化趋势。不论n取多么大的整数，都是相应的圆周长的近似值，但是我们可以从这些近似值的精确度的无限提高中（限n无限增大）找出圆周长的精确值2R。随着n的增加，在变化，这可以认为是量变（即只要n是有限数，都是圆内接正多边形的周长）；但是我们可以从这些量变中来发现圆周长。一旦得出2R，就是质的变化（即不再是正多边形的周长）。这种从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的思想就是极限的思想。本章重点内容是：（1）数学归纳法及其应用。（2）研究性课题：杨辉三角。（3）数列的极限。（4）函数的极限。（5）极限的四则运算。（6）函数的连续性。本章难点内容是：（1）数学归纳法的原理及其应用。（2）极限的概念。【基础知识导引】1了解数学推理中的常用方法数学归纳法。2理解数学归纳法的科学性及用数学归纳法来证明与正整数有关命题的步骤。3掌握数学归纳法的一些简单应用。【教材内容全解】1归纳法前面我们在学习等差数列时，通过等差数列的前几项满足的关系式归纳出等差数列的通项公式。再如根据三角形、四边形、五边形、六边形等的内角和归纳出凸n边形内角和公式。像这样由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，叫做归纳法。对于归纳法我们可以从以下两个方面来理解。（1）归纳法可以帮助我们从具体事列中发现事物的一般规律。（2）根据考察的对象是全部还是部分，归纳法又分完全归纳法与不完全归纳法。显然等差数列通项公式，凸n边形内角和公式都是通过不完全归纳法得出的，这些结论是正确的。但并不是所有由不完全归纳法得出的结论都是正确的。这是因为不完全归纳只考察了部分情况，结论不具有普遍性。例如课本数列通项公式就是一个典型。2数学归纳法在生活与生产实践中，像等差数列通项公式这样与正整数有关的命题很多。由于正整数有无限多个，因而不可能对所有正整数一一加以验证。如果只对部分正整数加以验证就得出结论，所得结论又不一定正确，要是找到把所得结论递推下去的根据，就可以把结论推广到所有正整数。这就是数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小正整数，如果当时，命题成立，再假设当时，命题成立（这时命是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数命题都成立。由此可知，用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，要分两个步骤，且两个步骤缺一不可。第一步递推的基础，缺少第一步，递推就缺乏正确的基础，一方面，第一步再简单，也不能省略。另一方面，第一步只要考察使结论成立的最小正整数就足够了，一般没有必要再多考察几个正整数。第二步是递推的根据。仅有这一步而没有第一步，就失去了递推的基础。例如，假设n=k时，等式成立，就是。那么，。这就是说，如果n=k时等式成立，那么n=k+1时等式也成立。但仅根据这一步不能得出等式对于任何nN*都成立。因为当n=1时，上式左边=2，右边，左边右边。这说明了缺少第一步这个基础，第二步的递推也就没有意义了。只有把第一步的结论与第二步的结论结合在一起，才能得出普遍性结论。因此，完成一、二两点后，还要做一个小结。在证明传递性时，应注意：（1）证n=k+1成立时，必须用n=k成立的假设，否则就不是数学归纳法。应当指出，n=k成立是假设的，这一步是证明传递性，正确性由第一步可以保证，有了递推这一步，联系第一步的结论（命题对成立），就可以知道命题对也成立，进而再由第二步可知，即也成立。这样递推下去，就可以知道命题对所有不小于的正整数都成立。（2）证n=k+1时，可先列出n=k+1成立的数学式子，作为证明的目标。可以作为条件加以运用的有n=k成立的假设，已知的定义、公式、定理等，不能直接将n=k+1代入命题。3这一节课本中共安排了五个例题，例1例3是用数学归纳法证明等式。其步骤是先证明当（这里）时等式成立。再假设当n=k时等式成立，利用这一条件及已知的定义、公式、定理证明当n=k+1时等式也成立。注意n=k+1时的等式是待证明的，不能不利用假设。例如：求证：。在第2步中这样证：设n=k时，等式成立，即，那么当n=k+1时，有所以当n=k+1时，命题也成立。这种方法不是数学归纳法，因为这个证明过程中没有体现递推的思想。例4 是用数学归纳法证明整除性问题。由于前面我们没有学过多项式除以多项式，所以题中介绍了多项式整除的概念。由多项式整除的定义容易得出：对多项式a，b，c，p，如果a能被c整除，那么pa也能被c整除；如果a，b能被c整除，那么a+b或a-b也能被c整除。在本例证明的第二步中，为了利用归纳假设，在中添加一项，为了使等式不变，同时添加一项。例5 是用数学归纳法证明几何问题。证明的关键是弄清增加一条直线增加多少个不同的交点。【难题巧解点拨】例1 试判断下面的证明过程是否正确：用数学归纳法证明：3+7+11+（4n-1）=n（2n+1）证明：（1）当n=1时，左边=3，右边=3，所以当n=1时命题成立。（2）假设当n=k时命题成立，即3+7+（4k-1）=k（2k+1）。当n=k+1时，所n=k+1时，命题也成立。根据（1）（2）可知，等式对一切nN*成立。分析 看用数学归纳法证明数学问题是否正确，关键要看两个步骤是否齐全，特别是在第二步证明中归纳假设是否被应用。如果没有用到归纳假设，那就不正确。解 以上用数学归纳法证明的过程是错误的。在证明当n=k+1时等式成立时，没有用到当n=k时命题成立的归纳假设，所以不符合数学归纳法证题的要求。第二步正确的证明方法是：假设n=k时命题成立，即3+7+11+（4k-1）=k（2k+1）成立，则当n=k+1时，即当n=k+1时命题也成立。点拨 用数学归纳法证题的两个步骤缺一不可，尽管有的与正整数有关的命题用其他方法也可以解决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须依题目的要求严格按照数学归纳法的步骤进行，否则是不正确的。例2 证明，其中nN*。分析 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题，关键是第二步，要注意当n=k+1时，等式两边的式子与n=k时等式两边的式子的联系，或增加了哪些项，或减少了哪些项，问题就容易解决。证明 （1）当n=1时，左边=1+1=2，右边，等式成立。（2）假设当n=k时，等式成立，即。则当n=k+1时，即当n=k+1时，等式也成立。由（1）、（2）可知，对一切nN*，等式成立。点拨 解题过程中，当n=k+1时，等式的左边若错写为（k+1）（k+2）（k+k）（k+k+1），时导致证明错误或无法进行。例3 平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点。求证：这n个圆把平面分成个部分。分析 用数学归纳法证明几何问题，主要是搞清楚当n=k+1时比n=k时，分点增加了多少，区域增加了几块。本题中第k+1个圆被原来的k个圆分成2k条弧，而每一条弧把它所在的部分分成了两部分，此时共增加了2k个部分，问题就容易得到解决。证明 用（1）当n=1时，一个圆把平面分成两部分，命题成立。（2）假设当n=k时命题成立（nN*），k个圆把平面分成个部分。当n=k+1时，这k+1个圆中的k个圆把平面分成个部分，第k+1个圆被前k个圆分成2k条弧，每条弧把它所在部分分成了两个部分，这时共增加了2k个部分，即k+1个圆把平面分成个部分，即命题也成立。由（1）、（2）可知，对任意nN*命题都成立。点拨 不能错误地认为第k+1个圆被前k个圆分成k段弧。例4 若不等式对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论。分析 这是一个探索性问题，先用归纳法探求a的最大值，然后再用数学归纳法证明对一切的正整数n，不等式成立。解 当n=1时，即， a26，又aN，取a=25，下面用数学归纳法证明：。（1）当n=1时，已证。（2）假设当n=k时，成立。则当n=k+1时，有，也成立。由（1）、（2）可知，对一切nN*，都有不等式成立。a的最大值为25。点拨 用数学归纳法证明不等式，推导n=k+1时不等式也成立，可以适当运用比较法、分析法、放缩法等，但前提必须是在假设的基础上使用。【课本习题解答】练习（P64页）1在第二步中，假设当n=k时，等式成立，就是，那么，。这就是说，当n=k+1时，等式也成立。2在第二步中，假设当n=k时，等式成立，就是。那么，。这就是说，当n=k+1时，等式也成立。3在第二步中，假设当n=k时，等式成立，就是，那么，这就是说，当n=k+1时，等式也成立。练习（P66页）1在第二步中，假设当n=k时，等式成立，就是。那么，这就是说，当n=k+1时，等式也成立。2在第二步中，假设当n=k时，等式成立，就是。那么这就是说，当n=k+1时，等式也成立。3在第二步中，假设当n=k时，等式成立，就是。那么，这就是说，当n=k+1时，等式也成立。练习（P67页）1不妨设两个正整数是n，n+1(nN*)。（1）当n=1时，n(n+1)=1(1+1)=2能被2整除。（2）假设当n=k时，命题成立，就是k(k+1)能被2整除。那么，(k+1)(k+2)=k(k+1)+2(k+1)也能被2整除，这就是说，当n=k+1时，命题也成立。因此对任何正整数，命题都成立。2在第二步中，假设当n=k时，命题成立，就是能被x-y整除。那么，由此可知也能被x-y整除，即当n=k+1时，命题也成立。3在第二步中，假设当n=k(k2)时，命题成立，就是平面内有k(k2)个点，连接两点所成的线段的条数，那么当平面内有k+1个点时，其中k个点，连接两点所成的线段的条数为，第k+1个点与上述k个点连接得到k条线段，因此这就是说，当n=k+1时，命题也成立。4（1）三角形的内角和为180，所以当n=3时，f(3)=180；另一方面(n-2) 180=(3-2) 180=180。因此，当n=3时，f(n)=(n-2) 180成立。（2）假设当n=k(k3)时，命题成立，就是f(k)=(k-2) 180。如果是凸k+1边形的顶点，连接，它把凸（k+1）边形分成凸k边形与三角形，因此凸（k+1）边形的内角和等于分成的两个图形的内角的和，就是(k-2) 180+180=(k-1) 180=(k+1)-2 180=f(k+1)。这就是说，当n=k+1时，命题也成立。根据（1）和（2）可知，命题对所有不小于3的正整数都成立。习题21（P67页）1（1）在第二步中，假设当n=k时，等式成立，就是。那么这就是说，当n=k+1时，等式也成立。（2）在第二步中，假设当n=k时，等式成立，就是，那么，这就是说，当n=k+1时，等式也成立。2先用数学归纳法证明等差数列前n项和公式。（1）当n=1时，左边，右边，此时等式成立。（2）假设当n=k时，等式成立，就是。那么，。这就是说，当n=k+1时，等式也成立。根据（1）和（2）可知，等式对任何正整数都成立。再用数学归纳法证明等比数列前n项和公式。（1）当n=1时，左边，右边。此时等式成立。（2）假设当n=k时，等式成立，就是。那么，。这就是说，当n=k+1时，等式也成立。根据（1）和（2）可知，等式对任何正整数都成立。3（1）在第二步中，假设当n=k时，等式成立，就是。那么，这就是说，当n=k+1时，等式也成立。（2）在第二步中，假设当n=k时，等式成立，就是。那么这就是说，当n=k+1时，等式也成立。4在第二步中，假设当n=k时，等式成立，就是。那么这就是说，当n=k+1时，等式也成立。5（1）在第二步中，假设当n=k时，命题成立，就是能被x+y整除，那么由此可知，也能被x+y整除。这就是说，当n=k+1时，命题也成立。（2）在第二步中，假设当n=k时，命题成立，就是能被6整除。那么因为能被6整除，而k(k+1)必为偶数，于是3k(k+1)+2也能被6整除。由此可知，也能被6整除，即能被6整除。这就是说，当n=k+1时，命题也成立。（3）在第二步中，假设当n=k时，命题成立，就是能被14整除。那么，由此可知，也能被14整除。这就是说，当n=k+1时，命题也成立。（4）在第二步中，假设当n=k时，命题成立，就是能被13整除，那么，由此可知，当n=k+1时，也能被13整除。这就是说，当n=k+1时，命题也成立。6（1）因为四边形有两条对角线，所以当n=4时，f(4)=2；另一方面。此时命题成立。（2）假设当n=k(k4)时，成立，当凸k边形增加一个顶点成为凸（k+1）边形时，由顶点与另外(k-2)个顶点，可构成（k-2）条对角线，同时原来的一条边A1Ak变成一条对角线，这样一共增加了(k-1)条对角线，所以凸(k+1)边形的对角线条数为这就是说，当n=k+1时，命题也成立。根据（1）、（2）可知，命题对任何不小于4的正整数都成立。7在第二步中，假设当n=k时，命题成立，就是。当平面内有k+1个圆时，任取其中的一个圆，记为P。由上述归纳假设，除圆P以外的其他k个圆的交点个数。因为每两个圆都相交于两点，所以圆P与其他k个圆都相交于两点（有2k个交点）；又因为每三个圆都无公共点，所以上面的2k个交点两两不同，且与平面内其他的个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是这说是说，当n=k+1时，命题也成立。【同步达纲练习】一、选择题1用数学归纳法证明，在验证n=1命题成立时，其左边等于（ ）A1 B1+a C D2设，则（ ）AS(n)共有n项，当n=2时，。BS(n)共有n+1项，当n=2时，。CS(n)共有项，当n=2时，。DS(n)共有项，当n=2时，。3用数学归纳法证明命题“当n为正奇数时，能被x+y整除”时，在验证n=1正确后，归纳假设应写成（ ）A假设n=k(kN*)时，能被x+y整除。B假设n=k(kN*)时，能被x+y整除。C假设n=2k+1(kN*)时，能被x+y整除。D假设n=2k-1(kN*)时，能被x+y整除。4在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证（ ）An=1成立 Bn=2成立 Cn=3成立 Dn=4成立5用数学归纳法证明时，第一步应证下述哪个不等式成立（ ）A12 B C D6用数学归纳法证明时，从n=k到n=k+1时应增添的项是（ ）A B C D二、填空题7设，那么f(n+1)-f(n)=_。8设凸k边形的内角和为f(k)，则f(k+1)=f(k)+ _。9数列中，且，成等差数列，则，依次等于_，由此猜想=_。10共有n级楼梯，每步只能跨上1级或2级，走完这n级楼梯共有f(n)种不同的走法，则f(n)，f(n-1)，f(n-2)之间的关系式是_。三、解答题11已知数列设为其前n项和，计算，的值，推测出，并用数学归纳法加以证明。12在数列中，是它们的前n项和，若当n2时，成等比数列，求，的值，由此猜想的通项公式，并证明所得的结论。13已知数列满足，且前n项和满足：，求的通项公式，并加以证明。14是否存在常数a，b，c使得等式对一切正整数n都成立？证明你的结论。参考答案【同步达纲练习】一、选择题1D 2D 3D 4C 5C 6D二、填空题7。8180。9，。10f(n)=f(n-1)+f(n-2)。三、解答题11，由此猜测。证明如下：（1）当n=1时，等式成立。（2）假设n=k时等式成立，即，那么n=k+1时所以n=k+1时等式成立。由（1）、（2）可知对所有nN*，等式成立。12当n2时，由题设条件有。故，即。由可得。又，由，可得，同理可求出，由此猜想，n2时，。下面用数学归纳法