物理实验指导书：测量误差与实验数据处理方法.doc

海量资料 超值下载测量误差与实验数据处理方法一、测量、误差与精度（一）测量物理实验包含两大步骤：一是调试仪器设备，观察实验现象，二是进行测量。所谓测量就是将被测物理量与选为标准的同类物理量（即取作单位的同类量）进行比较，定出它是标准量的多少倍。测量是以确定被测对象的量值为目的的全部操作。由于测量结果的大小与选择的单位密切相关，所以做物理实验时，其测量或计算的结果中必须有单位，这与数学是不同的，在物理上1m=1000mm，但在数学上11000，因为数学的数字是纯数，是没有意义的量。通过量具和仪器直接测得（读出）被测量数值的测量叫直接测量，例如用天平和砝码测量质量，用游标尺测量长度等等。有些物理量没有直接测量仪器。需要通过对待测量有函数关系的其他量的测量以得到该待测量之量值的过程称为间接测量。例如直径为D的球体的体积V=，可通过用米尺或游标卡尺测量球体的直径D后而计算得到。（二）误差的定义及表示方法所谓误差就是测量与被测量的真值之间的差值，测量误差的大小反映测量结果的准确度。1真值和约定真值在一定条件下，任何一个物理量的大小都是客观存在的，称为真值。真值是一个理想概念，一般是不知道的。但在某些特定情况下，真值又是知道的，例如，三角形三个内角之和为180；一个整圆周角为360；按定义规定的国际千克基准的值可认为真值是1kg。在实际测量中，常用被测量的实际值来代替真值。而实际值的定义是满足规定精度的用来代替真值使用的量值。该实际值常用高一等级精度的标准所测得。而在更普遍的实际测量中，常用被测量的最佳值或修正过的算术平均值来代替真值，称为约定真值。2测量值实验时，依据一定的理论和方法，用一定的仪器，在一定的环境下，由具体的人测得的某一物理量的量值叫测量值，测量值就是所测物理量的近似值。3测量误差的定义及表示方法测量误差可以简称为误差，其定义为误差=测量值真值或N=N测N真由于N真一般是不知道的，所以误差一般是不能计算的，只有在少数情况下，可以用准确度足够高的实际值来作为约定真值，这时才能估算误差。误差可用绝对误差表示，也可用相对误差表示。（1）绝对误差NN=N测N真（2）相对误差E 绝对误差可能为正值或负值，相对误差也可能为正值或负值。（三）误差的来源和分类测量过程中，误差产生的原因是多方面的，可归纳为1测量装置误差：任何测量仪器、仪表及装置，附件等即使在规定的条件下使用都具有误差，称为基本误差。2环境误差当偏离测量装置所归定的标准状态测量时，所产生的误差叫环境误差，也称为附加误差。3理论方法误差由于测量方法不完善及所依据的理论不严密而产生的误差，例如用单摆测重力加速度，但该公式成立条件为摆角趋于零，摆线质量为零，摆体体积为零，这实际上是无法满足的。4人员误差由于实验操作者的心理、生理因素各不相同所产生的误差，根据误差的来源和性质，可将误差分为以下三类：（1）系统误差在同一实验条件下（方法、仪器、环境和观测人员都不变）在对同一被测量的多次测量过程中，误差的绝对值和正、负号保持不变，或在条件改变时，以可预知的方式变化的测量误差分量，称为系统误差。系统误差产生的原因可能实验者已知，也可能不知。如果已知，其系统误差的大小和符号称为可定系统误差，应在测量中采取一定的措施给予减小，消除或者修正。对于未定系统误差，只能估计它的取值范围。（2）随机误差当系统误差已经减弱到可以忽略的程度，在对同一被测量在重复性条件下进行多次测量的过程中，误差绝对值与符号以不可预知的方式变化着的误差分量，称为随机误差，又叫偶然误差，随机误差是由实验中各种因素的微小变化引起的。随机误差的出现，就某一次测量值是没有规律的，其大小方向不可预知，但对于一个量进行多次测量，随机误差是按统计规律分布的，服从正态分布（高斯分布）曲线。（3）粗大误差（四）精度反映测量结果与真值接近程度的量，称为精度。它与误差的大小相对应，因此可用误差的大小来表示精度的高低，误差小则精度高，误差大则精度低。根据测量结果，精度可分为精密度，准确度（正确度）和精确度三个概念。其意义分别表示：精密度，反映随机误差影响的程度，是对测量结果重复性的评价，精密度高，是指测量重复性好，各次测量值的分布密集，随机误差小。准确度，反映系统误差大小的程度（也称正确度），准确度高，是指测量数据的算术平均值偏离真值较少，系统误差小。精确度，反映偶然误差和系统误差综合大小的程度，精确度简称精度，精确度高，指测量结果既精密又准确，即随机误差与系统误差均小。精度在数量上有时可用相对误差来表示，例如相对误差为0.01%，可笼统地说其精度为10-4，若纯属随机误差引起，则说其精密度为10-4；若由系统误差和随机误差共同引导起，则说其精度为10-4。二、测量不确定度（一）误差不能计算，只能估算由于测量误差的存在，等精度测量列中各个测得值一般皆不相同，被测量的真值难以确定，测量成为一个随机过程，因此，有误差。误差的估算属于统计学和计量学范畴。由于N=N测N真而N真不知道，所N无法计算，只能估算。为了估算N，我们需要定义约定真值。理论证明，在K次等精度测量中，其算术平均值=最接近真值，称为约定真值。由约定真值和各次测量值Ni估算误差N，但NiN，而是N的近似值。对其近似值的估算有多种方法，但方法不同，所表示的物理意义不同。（二）随机误差的估算及评定方法在系统误差和过失误差（粗大误差）已经消除，只剩下随机误差时，用作为测量结果。那么用代替真值N真可靠性如何，需对它进行估算和评定，对的评定有两种方法。1算术平均偏差（略）2则量列的实验标准偏差和平均值的标准偏差在多次测量时，用算术平均值表示测量结果，可以减小随机误差的影响，而测量值的分散程度直接体现随机误差的大小，定量地对随机误差作出估算有多种方法。为了表示随机误差的分布特征，科学实验中，常用贝塞尔公式计算标准偏差对测量误差加以估算。越大，就表示测量值比较分散，随机误差大。越小，就表示测量值比较密集，随机误差小。现在很多函数计算器有计算标准偏差的统计功能，常用或键表示，只要将k个测量值按规定的操作步骤输入计算器，即可计算出和。（三）测量不确定度的定义测量不确定度是指测量结果变化的不肯定，是表征被测量的真值在某个量值范围的一个估计，是测量结果含有的一个参数，用以表示被测量值的分散性，所以一个完整的测量结果包含有被测量的估计和分散性参数两部分，例如被测量N的测量结果为nu，其中n是被测量的估计，它具有的测量不确定度为u。在测量不确定度定义下，被测量的测量结果所表示的并非为一个确定的值，而是分散的无限个可能所处于的一个区间，是指测量值（近真值约定真值）附近的一个区域范围，测量值（近真值）与真值之差即误差可能位于其中。由于误差分为随机误差和系统误差，而系统误差又有可定系统误差和未定系统误差，在测量结果中对可定（已定）系统误差分量进行修正以后，其余各种未定系统误差因素和随机误差因素共同影响着测量结果的不确定度，所以不确定度的分量计算原则上分为两类，A类不确定度（统计不确定度）和B类不确定度（非统计不确定度仪器误差和估读误差）。1A类不确定度分量的估算A类不确定度是指可以用统计方法计算的不确定度，它服从正态分布规律，可用实验标准偏差和平均值的标准偏差计算uA=uA=2B类不确定度，uB=仪（仪器误差限值）是非统计方法估计的误差分量。3测量结果不确定度表示方法不确定度用方和根合成不确定度uu=相对不确定度测量结果用不确定度u表示为N真=（u）（单位）（四）测量不确定度与误差测量不确定度和误差是误差理论中的两个重要概念。它们具有相同点，都是评定测量结果质量高低的重要指标，都可作为测量结果精度的评定参数。但它们又有明显的区别，必须正确认识和区分，以防混淆和误用。从定义上讲，误差是测量结果与真值之差，它以真值和约定真值为中心，而测量不确定度是以被测量的估计值为中心。因此误差是一个理想的概念，一般不能准确知道，难以定量；而测量不确定度是反映人们对被测量认识不足的程度，是可以定量评定的。在分类上，误差按自身特征和性质分为系统误差，随机误差和粗大误差，并可采取不同措施来减小或消除各类误差对测量的影响，但由于各类误差之间并不存在绝对的界限，故在分类判别和误差计算时不易准确掌握。测量不确定度不按性质分类，而是按评定方法分为A类评定和B类评定，两类评定方法不分优劣，按实际情况的可能性加以选用。（五）直接测量量的不确定度估算与测量结果表示1真值的最佳估计值若对某物理量进行足够多的n次等精度测量，得测量列x1，x2，xn，则该测量列的算术平均值为其真值的最佳估计值。若对某物理量只进行单次测量，则只能将此测量量值作为其真值的最佳估计值。2不确定度的估算（1）不确定度A类分量uA。对某物理量进行多次重复测量，只要测量次数n5，当置信概率取为0.683时，其A类不确定度分量uA即为测量列算术平均值的标准偏差。如果对物理量只是行了单次测量，则无法计算其不确定度A类分量。（2）不确定度B类分量uB。实验中常会有很多非统计的误差因素存在，但一般只考虑仪器误差这一主要因素，此时uB=uj=m/,其中m为仪器的允差。（3）合成不确定度u。一般地，A类分量和B类分量相互“独立”，故应按“方和根”方法合成。u=3测量结果表示（单位） p=0.683Ex=100%三、间接测量的不确定度及结果表示实验中进行的测量大都是间接测量，即最后测量量（间接测量量）是诸直接测量量的函数。直接测量量的误差必定会给间接测量带来误差，这被称为误差传递。设间接测量量N与各直接测量量的函数关系为N=f(x,y,x,) (3.1)（一）间接测量量的平均值间接测量结果是由一个或n个直接测量值经过公式计算得出。，代表各直接测量量的最佳值，于是间接测量量的最佳值应该是=f(,) （3.2）（二）间接测量结果的不确定度设ux，uy分别为x, y等相互独立的直接测量量的不确定度，则间接测量量的总不确定度为uN= (3.3)该式中偏导数，称为传递系数，其大小直接代表了各直接测量结果不确定度对间接测量结果不确定度的贡献。对N=f（x,y,z）两边取自然对数，则有=f(x,y,z) (3.4)dlnN= （3.5）由式（3.3）和式（3.5）可知，当函数为和差形式时，用式（3.3），先求间接测量量不确定度uN，再由En=，求相对不确定度较方便；当函数为积、商形式时，用式（3.5），先求间接测量量的相对不确定度EN。再由uN=EN，求出uN较为方便。（三）间接测量量结果的表达式为N=(uN)单位 （p=0.683）EN=100%应特别注意，其不确定度uN，EN及最佳估计值的有效数字计算。例，根据测量某部分空心圆柱体密度公式=则间接测量密度的相对不确定度为:由于体积V是由d1，h1，d2，h2，d3，h3等6个直接测量量的函数，需先求出各个独立变量d1, d2, d3, h1, h2 ,h3的平均值及它们的不确定度ud1，ud2，ud3，uh1，uh2，uh3，可得密度的相对不确定度为：E=四、有效数字与数据运算在测量结果和数据运算中，确定用几位数字来表示测量或数据运算的结果，是有其重要科学的内含的。测量结果既然包含有误差，说明它是一个近似数，其精度有一定限度，在记录测量结果的数据位数，或进行数据运算时的取值多少时，皆应以测量所能达到的精度为依据：常有几种对精度的错误的理解：小数点后的位数愈多，数值愈精确，精度高。数据运算中，保留的位数愈多，精度愈高都是误解。这是因为：1小数点的位置决定不了精度，这是与所采用的单位有关，例如35.62和0.03565m的精度完全相同，而小数点位置则不同。2测量结果的精度与所用的测量方法及仪器有关。在记录或数据运算时，所取的数据位数，其精度不能超过测量所能达到的精度；反之，若低于测量精度，也是不正确的，因为它将损失精度。3在解方程组时，若系数为近似值，其取值多少对方程组的解有很大影响，例如，下面的方程组（a）和（b）及共对应解为： 对应解为 对应解为（一）有效数字的概念在实验中得到的测量值是含有误差的数值，它们的尾数不能随意取舍，应当反映出测量值的精确度及误差，在记录和处理数据，分析测量结果时，究竟写出几位数字，要根据测量误差或实验结果的不确定度严格要求，不能随意乱写。例如：用米尺测量一个物体的长度，测量结果在51和52之间，记录数据可为51.4、51.5、51.6，换不同的测量者进行测量，前两位数不会发生变化，称为准确数字，但最后一位会因为各人不同的估计而不同，称为可疑数字（欠准确字），虽然最后一位欠准确，但客观上反映了该物体是比51长又比52短的事实，不能舍去。准确数字和可疑数字的全体称为有效数字，有效数字位数的多少，直接反映了实验测量结果和精确度，有效数字位数越多，测量结果的精确度越高。根据有效数字的定义可知52.0和52是不同的，52.0中：个位上的2是精确的，十分位上的“0”是可疑的。52中：“2”是可疑的。注意：在读取数据时，如测量值恰好为整数，则必须在整数后补“0”，一直补到可疑位；显然在小数点的末位随意增加0（尽管不改变其数值大小）也是错误的。有效数字的位数与小数点的位数无关，当单位改变时，有效数字的位数不变，例如52.0可与为0.520m，均为三位有效数字。非0数值前的“0”不是有效数字，而后面的“0”是有效数字。故为方便起见常用科学记数法，即在小数点前只写一位有效数字，用10的N次幂来表示其数量级，例为5.5105m，3.28610-6S分别表示2位和4位有效数字。如果将5.5105m写为550000m显然是错误的，它人为的将有效数字增加了4位。（二）有效数字的读取1对于直接测量值，可疑数字与仪器的允差同一位，读数应读到最小分度值下一位的十分之一，有时也可根据情况（如分度较窄，指针较宽），就读到最小分度值的1/5，1/2，最小分度值所在位是准确位，其后一位为可疑位。2有时，读数的估读位就在最小分度位。如仪器的最小分度值为0.5，则应读到最小分度值的1/5，会出现0.2、0.6之类的值，估读位还是在最小分度位上。3游标类量具，只读到游标分度值，一般不读游标分度值下一位。4数字式仪表或步进读数仪器（如电阻箱）不需要估读，其显示值的末位就是可疑的。（三）有效数字的运算总原则：准确数字与准确数字进行运算时，共结果仍是准确数字；可疑数字与准确数字或可疑数字进行运算时