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第一章 集 合第一讲 集合及其子集【知识要点】 1集合的概念【析】 （1） 集合是一个不定义的原始概念，应注意集合概念中的“确切的对象”与“整体”两个词。（2） 集合中元素的性质：确定性；互异性；无序性。（3） 集合的分类：有限集、无限集和空集。（4） 常用数集：自然数集N，正整数集N*，整数集Z，有理数集Q，实数集R。2集合的表示方法：列举法、描述法。 【析】 （1）列举法：将集合中的元素一一列举出来。（2）描述法：将集合中元素所具有的共同性质描述出来，起形式为x | P，其中x为元素的一般形式，P为元素的公共属性。（3）有时集合集合也用图示法（数轴、韦恩图）来表示。3子集：若集合A中任何一个元素都属于集合B，则集合A叫做集合B的子集，记作AB或BA。 【析】 （1）空集是任何集合的子集，即A。（2）集合A是其自身的子集，即AA。（3）子集的传递性：若AB，BC，则AC。（4）若AB，则AB或A = B。4.相等的集合：对于两个集合A和B，若AB，且BA，则叫做集合A与集合B相等，记作A = B。【析】 相等的集合中的所含元素完全相同。5.真子集：对于集合A和B，若AB，且B中至少有一个元素不属于A，则集合叫做集合B的真子集，记作AB或BA。【析】 （1）空集是任何非空集合的真子集。（2）N*NZQR（3）连接元素与集合的符号有： 和。（4）连接集合与集合的符号有：，=等。【典型例题】1集合概念问题【例1】用符号和填空：（1） 若集合A = x | x2 + 2 = 0，则0_A；（2） 若集合B = x | x2 3x + 2 = 0，则1_B;（3） 若集合C = y | y = -x2 + 2，则0_C；（4） 若集合D = y | y = x2 + 1，xZ，则（0，1）_D；（5） 若集合E = （x,y）| |x| = 2且|y| = 1，则（-2,1）_E。【分析】理解集合的含义，注意集合表示的元素类型。【解答】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.【例2】已知集合A = 1,2,3,4,n。记A* = A的所有子集。下列说法哪些是正确的？AA*；AA*；A*；A*；A*；A*。【分析】注意集合A*的元素类型，并判断出A*的元素应该有哪些。【解答】A*中的元素是A的子集，所以A*是集合的集合，即A*中的元素是集合，而A中的元素是数字，所以是错误的；因为A是本身A的子集，所以A应该在集合A*里，所以是正确的；空集是任何集合的子集，所以是正确的；又因为空集是集合A的子集，所以是在A*里面，即也是正确的；表示集合的集合，这不是空集，里面有元素，而A*，显然是正确的，是错误的。【点评】注意和中的空集意义的不同，前者相当于一个没有装集合的空篮子，后者相当于一个没有装数字的空篮子。2集合的表示方法【例1】用列举法表示下列集合：（1） A = | ；（2） B = |；【分析】（1）集合A中的元素x是整数，且6能被3-x整除；（2）集合是点集，或者看成由方程x+y=6的所有自然数解组成的集合。【解答】（1）集合A用列举法表示为-3,0,1,2,4,5,6,9； （2）取x = 0,1,2,3,4,5,6，分别求出相应y的值为：6,5,4,3,2,1,0，所以集合B用列举法表示为（0,6）（1,5）（2,4）（3,3）（4,2）（5,1）（6,0）。【点评】注意数集与点集。【例2】用另一种方法表示下列集合：（1）A = |；（2）A = |，、均为非零实数。【分析】根据集合元素的互易性进行分类讨论。【解答】（1）易知方程的实数根为1和，当=1时，A = 1；当1时，A = 1，。 （2），当时，；当时，；当时，。综上，A = 。3集合之间的关系问题【例1】设集合A = ，B = ，且A = B，求实数的值。【分析】要使有限集合A与B相等，须使集合A与B中所有元素分别相等。【解答】若，则，这不满足集合互异性，舍去；若，则（舍去）或，【例2】已知集合B = ，且集合A、C满足ABC，请用列举法写出一个集合A，用描述法写出一个集合C。【分析】首先分析集合B是怎样的一个集合，由于题目只需要求出满足条件的一个集合A和C，所以答案是不唯一的。【解答】集合B的元素是一条直线上的点，要A是B的真子集，且要使用列举法来表示A，我们可以求出B中几个点，如令A = （1,1），（2,3），则A是B的真子集。同样的，要B是C的真子集，C集合的点一定要比B的多，可以用逻辑连接词“或”来解决这个问题，如令C = ，则B是C的真子集。当然，也可以令C = ，和上面的C是一样的（思考为什么）。【点评】答案不唯一的时候，使用最简单的答案，将犯错误的概率降到最小。【基础训练】1 下列说法中，正确的是（ ）A集合6,9和集合9.6是两个不同的集合B数轴上到原点为1的点的全体可构成一个集合C若，则最小值为2D集合与集合是不同的集合2 集合A中的元素是被3除余2的数，用描述法表示为_；3 设集合A = ，B = ，满足AB，则的取值范围_；4 若集合M = 1，a，N = 1，a2，且M = N，则实数a的值为_；5 集合A = ，则应满足的条件为_；6 已知集合A = ，B = ，C = ，且ABC，求实数的范围。7 已知集合M = ，请写出M的所有子集；8 对于所含元素为实数的集合A，若，则，请解答下列问题：（1）已知，求集合A；（2）试找出一个数，使得，并求出A；（3）根据已知已知条件和（1）（2），你能得出什么结论？（写出一个你认为正确的即可，不必证明）【能力提高】1. 若集合A = 0,2,3，集合B = ，则B的子集个数为（ ）A16 B14 C12 D102. 若集合A = ，集合B = ，则集合A与B的关系为（ ）ABA BAB CA = B DAB3. “若集合A = ，则一方面A，另一方面A。”像这样既是集合A的子集，又可以看成集合A的元素的集合还有很多，请你写出一组具有这种性质的非空集合A与B：_；4. 集合A = ，B = ，若AB = ，AB = ，求的值。5. 已知集合A = ，集合B = ，试探索集合A和B之间的关系，并证明你的结论。第二讲 集合及其子集【知识要点】 1交集：【析】 （1） 交集的性质：（2） 若2并集：【析】 （1）“交集”与“并集”的定义仅一字之差，但结果却完成不同，“交集”中的“且”有时可省略，而“并集”中的“或”不能省略 （2）并集的性质：（3）若（4）集合的运算满足分配率： 3补集：【析】 （1） 补集是相对于全集而言的，全集不同，相应的补集也不同 （2） 补集的性质： （3） 摩根定理：【学习目标】掌握交集和并集的概念会进行交集和并集的运算理解全集和补集的概念会借助于数轴或韦恩图进行集合的交运算，并运算和补运算【典型例题】1集合的基本运算问题【例1】若集合A = ，当全集U分别取下列集合时，写出。（1）U = R；（2）U = ；（3）U = 。【分析】由于所给的全集不同，所以同一个集合的补集也不同。【解答】（1）= ；（2）；（3）。【例2】若，当时，求实数。【分析】由条件可知，,再根据集合的互异性可求解。【解答】，若前者成立，此时，这与集合的互异性矛盾，所以只能是，解出，舍去，所以，此时集合满足条件。2集合与集合之间的混合运算【例1】【分析】由题意知方程没有正实数根。【解答】当时，即， 当时，即方程有两个或者一个负实根，再由韦达定理，所以，所以。 综上，。【点评】注意不要忽略的情况。【例2】已知，且，求参数。【分析】由，可以得到A和B的元素个数都是2个，即A = M，B = N，再由韦达定理可解。【解答】，而A为一个一元二次方程两根组成的集合，且，所以另一个根是5， ，所以，。3集合综合题【例1】高一某班的学生中,参加语文课外小组的有20人,参加数学课外小组的有22人,既参加语文又参加数学小组的有10人,既未参加语文又未参加数学小组的有15人,问该班共有学生多少人?【分析】本题利用容斥原理求解，即利用公式,其中，表示集合A的元素个数。【解答】设全集U=全班同学，A=参加语文课外小组的同学，B=参加数学课外小组的同学，由题意得：，其意义是：参加了课外小组的同学人数。所以。【例2】集合则下列各式正确的是： （ ）A. M=N B. MN=P C. N=MP D. N=MP【分析】首先分析各个集合表示的实际值，可借助数轴。【解答】集合M表示数轴上的整点，集合N表示数轴上整数点和两个整数点之间的中点，而集合P只表示两个整数点之间的中点。由此分析可知C答案正确。【基础训练】1 下列说法中，正确的是（ ）ABC若，则D若,则 2 若集合则=_；3 已知集合则P,Q,R的关系是_；4 设集合，则=_；5 已知，若，求的取值范围。6 已知集合，且集合C满足,写出集合C的所有子集。7 如果全集，且，求集合。8 ，=。【能力提高】1. 设集合，其中，若，则实数m的值的集合是_;2. 设全集，则_3. 已知集合，则m的取值范围是_4. （作业）集合，的两个不等实根为，5. 对任意两个集合X和Y，X-Y是指所有属于X但不属于Y的元素的集合，X和Y的对称差,设集合，求A和B的对称差。 第三讲 命题与充要条件【知识要点】1 命题与推出关系【析】 （1） 真假命题的判断方法：判断真命题需证明，判断假命题，只要举一个满足命题条件而不满足命题结论的例子（反例）即可。 （2） 推出关系：若事件成立，则事件成立，就说由可以推出，记为： （3） 推出关系的传递性：若，则（这是证明真命题的一种方式） （4）等价关系：若且，则称与等价，记为 （5）命题与定理区别：命题有真假之分，而定理都是真的； 命题一定有逆命题，而定理不一定有逆定理2 四种命题形式及其相互关 原命题若，则否命题若，则逆否命题若，则逆命题若，则互逆互逆否互否互逆互否【析】 （1） 词语的否定形式：“是”与“不是”；“都是”与“不都是”；“一定是”与“一定不是”；“且”与“或”；“正数”与“非正数”；“”与“”；“至少一个”与“一个也没有”；“至多一个”与“至少两个”，等等 （2）等价命题同真同假的两个命题，原命题与逆否命题是等价命题，逆命题与否命题是等价命题 （3）当判断或证明某一个命题有困难时，可间接证明与该命题等价的逆否命题是否成立 3充分条件与必要条件【析】 （1）如果，那么是的充分条件，是的必要条件，的充分条件是，的必要条件是 （2）既有，又有，即，那么是的充要条件，是的充要条件，的充要条件是，的充要条件是 （3）对于事件，“条件”又可具体分为以下四种情况：是的充分非必要条件：且；是的必要非充分条件：；是的充要条件：且；既不是的充分条件又不是的必要条件：且【学习目标】理解命题的概念与推出关系学会判断或证明命题的真假分清命题的四种形式及其相互关系理解充分条件、必要条件及充要条件的意义会熟练判断充分条件、必要条件及充要条件【典型例题】1有关命题真假的判断【例1】判断下列命题是真命题还是假命题，并说明理由。（1）若实系数方程满足，则该方程有实数根。（2）若实系数方程有实数根，则。（3）若，则或。【分析】判断一个命题为真命题，需要由学过的公式定理和已知正确的结论推导出来，而判断一个命题为假命题，只需要举出一个反例即可。【解答】（1）该命题为真命题。，所以该方程有两个实数根。（2）该命题为假命题。例如方程有实根，而。（3）该命题为真命题。考察其逆否命题，即若且，则，显然成立。【例2】命题p：；命题q：，若p和q中有且只有一个命题为真命题，求的范围。【分析】p和q中有且只有一个命题为真命题，可分情况讨论。【解答】若p为真q为假，则且或，取交集：。若q为真p为假，则或且，取交集：。综上，。2命题的四种形式之间的改写问题【例1】判断命题“若c0，则的图象与x轴有两个交点”的逆否命题的真假。【分析】注意逆否命题和原命题是等价的。【解答】当c0时，计算该二次函数的，所以原命题是真命题，所以其逆否命题也是真命题。【点评】你能写出该命题的逆命题与否命题，并判断其真假吗？【例2】写出原命题：“已知空间四点，如果其中任意三点都不在同一条直线上，那么这四个点不共面”的其他三个命题，并判断他们的真假。【分析】确定条件和结论，再按照三种命题的定义写出他们，再判断真假。【解答】逆命题：已知空间四点，如果这四个点不共面，则其中任意三点都不在同一条直线上。真命题。否命题：已知空间四点，如果其中存在三点在同一条直线上，那么这四个点共面。真命题。逆否命题：已知空间四点，如果这四个点共面，那么其中存在三点在同一条直线上。假命题。【点评】（1）注意“已知空间四点”这是大前提，不应该归为条件一类。（2）关于否命题的几个结论：任意存在，至少至多，恒成立不恒成立，恒不成立存在成立，都是不都是，都不是至少一个是。【例3】用反证法证明：若函数在区间上是增函数，那么方程在区间上至多只有一个实根。【分析】反证法八字要诀：否定结论，推出矛盾。【解答】利用反证法，若函数在区间上是增函数，那么方程在区间上至少有两个个实根。不妨设为方程两实根，且，所以有；又因为在区间上是增函数，由推出，这与前面矛盾，所以原命题成立。【点评】注意反证法只否定结论，这与否命题是不同的。3充分条件和必要条件【例1】（1）“”是“”的_条件；（2）“”是“或”的_条件；（3）“不是整数”是“是无理数”的_条件。【分析】根据充分条件和必要条件的定义直接推出答案。【解答】（1）当时，即是说同号，所以成立，而当时，也成立，所以“”是“”的必要非充分条件；（2）当或时，而当时，也成立，所以“”是“或”的必要非充分条件；（3）若是无理数，则一定不是整数，而不是整数，还可以是分数，不一定是无理数，所以“不是整数”是“是无理数”的必要非充分条件。【例2】记函数的定义域为A, 的定义域为B.(1) 求A；(2) 若A是B的必要条件, 求实数a的取值范围。【分析】A是B的必要条件即是BA。【解答】(1)20, 得0, 1或1 即A=(,1)1,+ )(2) 由, 得 。BA, 或a+11, 即或2, 而1,ba-b0;aba-b0【析】这是比较两个实数大小和运用比较法的根据2不等式的基本性质性质1：（对称性）；性质2：（传递性）；性质3：；性质4：，（可乘性）；性质5：（叠加性）；性质6：（叠乘性，特别注意符号的限制，需满足正号）；性质7：(可乘方性,特别注意符号的限制,需满足正号);性质8: (可倒性,注意要同号)3区间的概念及表示设都为实数，并且，我们规定：集合叫做闭区间，表示为；集合叫做开区间，表示为；集合或叫做半开半闭区间，分别表示为；把实数集表示为；把集合分别用区间表示。4一元二次不等式的解法将不等式化为用因式分解法求解（条件是），或者利用二次函数的图像求解。【析】具体各种情况如下表（其中的两实根，且）类型解集【学习目标】 掌握两个实数比较大小的一般方法。 理解和掌握不等式的基本性质，掌握不等式各个性质之间条件与结论的逻辑关系，并掌握它们的证明方法及熟练应用。 理解区间的概念，并能用区间表示不等式的解集。 理解一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关联；并能用来解决一些简单的实际问题。【典型例题】1不等式基本性质的概念问题【例1】比较与的大小，其中【分析】利用作差法解答。【解答】， 【点评】由例1可以看出实数比较大小的依据是：；【例2】设，比较与的大小【解答】作差，1）当时，即， ；2）当，即时，；3）当但，即或时，。【点评】如本题作差，变形，变形到最简形式时，由于式中含有字母，不能定号，必须对字母根据式子具体特点分类讨论才能定号此时要注意分类合理恰当【例3】设，且，比较：与的大小。【分析】比较大小一般方法是求差法或求商法，利用不等式的性质进行变形，然后确定大小。【解答】当时，当时，即，又，【点评】求商法的基本步骤是：求商，变形，与1比大小从而确定两个数的大小。【例4】已知；，求：的取值范围【分析】此题是给代数式的字母的范围，求另外代数式的范围分为两步来进行：(1)利用待定系数法将代数式用和表示(2)利用不等式性质及题目条件确定的范围【解答】设：由+2得：【点评】此题的一种典型错误做法，如下：，即：此解法的错误原因是因为与是两个相互联系，相互制约的量，而不是各自独立的，当取到最大值或最小值时，不一定能取到最值，所以用以上方法可能扩大变量的范围。避免出错的方法是通过待定系数法“整体代入”，见解题过程。2一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式(1)(x1)(3x)52x(2)x(x11)3(x1)2【分析】将不等式适当化简变为ax2bxc0(0)形式，然后根据“解公式”给出答案。【解答】(1)x|x2或x4【点评】不能使用解公式的时候要先变形成标准形式。【例2】解不等式【解答】先将原不等式转化为不等式进一步转化为同解不等式x22x30，即(x3)(x1)0，解之得3x1解集为x|3x13含参数的一元二次不等式【例1】设，解关于的不等式。【分析】进行分类讨论求解。【解答】当时，因一定成立，故原不等式的解集为当时，原不等式化为；当时，解得；当时，解得当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为。【点评】解不等式时，由于，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解因为当时，原不等式化为，此时不等式的解集为，所以解题时应分与两种情况来讨论。在解出的两根为，后，认为，这也是易出现的错误之处这时也应分情况来讨论：当时，；当时，。【例2】解关于的不等式。【分析】先按无理不等式的解法化为两个不等式组，然后分类讨论求解。【解答】原不等式或由，得：由判别式，故不等式的解是当时，不等式组(1)的解是，不等式组(2)的解是当时，不等式组(1)无解，(2)的解是综上可知，当时，原不等式的解集是；当时，原不等式的解集是。【点评】本题分类讨论标准“，”是依据“已知及(1)中，(2)中，”确定的解含有参数的不等式是不等式问题中的难点，也是近几年高考的热点一般地，分类讨论标准（解不等式）大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确定。本题易误把原不等式等价于不等式纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型的解法。【例3】已知不等式的解集是求不等式的解集。【分析】按照一元二次不等式的一般解法，先确定系数的正负，然后求出方程的两根即可解之。【解答】(解法1)由题可判断出，是方程的两根，又的解集是，说明而，即，即又，的解集为(解法2)由题意可判断出，是方程的两根，又的解集是，说明而，对方程两边同除以得令，该方程即为，它的两根为，方程的两根为，不等式的解集是。【点评】：(1)万变不离其宗，解不等式的核心即是确定首项系数的正负，求出相应的方程的根；(2)结合使用韦达定理，本题中只有，是已知量，故所求不等式解集也用，表示，不等式系数，的关系也用，表示出来；(3)注意解法2中用“变换”的方法求方程的根【基础训练】1 实数满足条件：；，则有（ ）A B C D2 如果，则下列不等式中成立的只有（ ）A. B. C. D.3已知集合M=，N=，则为 （ ）A或 B或C或 D或4.设和都是非零实数，不等式和同时成立的充要条件是_；5.有意义，则的取值范围是_；6. 不等式的解集为或则实数的取值范围 7.若的解集为，则_，_8.解关于x的不等式。9.已知函数满足：则的取值范围是多少？10.，比较与（）的大小。11. 不等式的解是，则不等式的解为。12.若关于的不等式的解为一切实数，求实数的取值范围【能力提高】1. 若，则一定成立的不等式是（）A B C D2. 函数的定义域为 （ ） A. B. C. D.3.若一元二次不等式的解集为，则的范围是_4.已知时，不等式恒成立，则的取值范围是_5.解关于的不等式。6.设，当时，都有成立，求实数的取值范围。 7. 已知(1)当时，若函数f (x)的图象与直线均无公共点，求证(2)对于给定的负数，有一个最大的正数M（a），使得，问a为何值时，M(a)最大，并求出这个最大值M(a)，证明你的结论.第二讲 其他不等式的解法【知识要点】 1分式不等式及其解法解分式不等式的基本思路是将其转化为整式不等式，在此过程中，变形的等价性尤为重要。【析】解分式不等式一般不先直接去分母，而是先移项、通分化成形如，或形式，再实施同解变形。有2含绝对值的不等式的解法设则【析】含有绝对值的不等式的同解原理源于实数的绝对值的定义（当时，；当时，）解含有绝对值不等式的总体思路是：将含有绝对值的不等式转化为不含有绝对值的不等式去解。由上述的原理可以得到同解；同解。解含有两个或连个以上绝对值符号，并且形式是和或差的不等式，可先求出使每一个绝对值符号内的数学式子等于零的未知数的值（称为零点），将这些值一次在数轴上标注出来。它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个符号内的式子在每一个区间上的符号，去掉绝对值符号，使之转化为不含绝对值的不等式去解，求解过程中不要丢掉对区间端点的讨论，以免漏解。3无理不等式的解法解无理不等式的原则是化无理不等式为有理不等式。【析】常见题型与方法如下： 4高次不等式的解法解一元高次不等式的原则是化高次为低次常用的方法有：换元法；转化为不等式组法；数轴标根法，俗称“标根法”【学习目标】 掌握简单分式不等式和简单绝对值不等式的解法 知道简单的无理不等式的基本解法 知道简单的高次不等式的基本解法 培养类比、划归、等价转化、数形结合等数学思想方法【典型例题】1分式不等式及其解法【例1】解下列分式不等式：（1）； （2）【分析】当分式不等式化为时，要注意它的等价变形。【解答】（1）原不等式等价于用“穿根法”原不等式解集为（2）法一：原不等式等价于 原不等式解集为法二：原不等式等价于用“穿根法”原不等式解集为【例2】解不等式【分析】不等式左右两边都是含有的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为0再解。【解答】移项整理，将原不等式化为由恒成立，知原不等式等价于解之，得原不等式的解集为【点评】此题易出现去分母得的错误解法避免误解的方法是移项使一边为再解另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理【例3】若不等式的解为，求、的值。【分析】不等式本身比较复杂，要先对不等式进行同解变形，再根据解集列出关于、式子。【解答】，原不等式化为依题意，【点评】解有关一元二次方程的不等式，要注意判断二次项系数的符号，结合韦达定理来解。2绝对值不等式及其解法【例1】解不等式。【分析】先去掉绝对值号，再找它的等价组并求各不等式的解，然后取它们的交集即可。【解答】去掉绝对值号得，原不等式等价于不等式组原不等式的解集为【点评】解含绝对值的不等式，关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等价转化为不等式组，变成求不等式组的解。【例2】解不等式。【分析】解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义二是根据绝对值的性质：或，因此本题有如下两种解法。【解答】法一：原不等式即或故原不等式的解集为。法二：原不等式等价于 即 故。3无理不等式及其解法【例1】解不等式。【分析】无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，可转化为或，而等价于：或。【解答】原不等式等价于下面两个不等式组：由得，由得，所以原不等式的解集为，即为。【点评】本题也可以转化为型的不等式求解，注意：，这里，设全集，则所求不等式的解集为的补集，由或。即，原不等式的解集是。【例2】解关于的不等式。【分析】先按无理不等式的解法化为两个不等式组，然后分类讨论求解。【解答】原不等式或由，得：由判别式，故不等式的解是当时，不等式组(1)的解是，不等式组(2)的解是当时，不等式组(1)无解，(2)的解是综上可知，当时，原不等式的解集是；当时，原不等式的解集是。【点评】本题分类讨论标准“，”是依据“已知及(1)中，(2)中，”确定的解含有参数的不等式是不等式问题中的难点，也是近几年高考的热点一般地，分类讨论标准（解不等式）大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确定。本题易误把原不等式等价于不等式纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型的解法。【基础训练】1.不等式的解集为()A.B.C.D.2.不等式的解集为()A.B.C.D.3.不等式的解集是()A.B.C.D.4.若，则的取值范围是_5. 在整数集中，不等式的解集为_6.已知，那么的取值范围是_7.的解集是_8.当为何值时，关于的方程的解为正数？解为负数？9.解下列关于的不等式：10.已知不等式的解集为，求实数的值。11.当为实数时，关于的方程的解为正数？负数？解在区间内？【能力提高】1.不等式的解集为()A.RB.C.D.2.不等式的解集是()A.B.C.D.3.在整数集中，不等式的解集为_4.已知方程有一个负根，而且没有正根，则_5.若不等式的解集为，则的值为_6. 当时，不等式对所有实数均成立，求的值7.当为何值时，对任意实数，不等式恒成立 第三讲 基本不等式及其应用【知识要点】 1两个基本不等式对任意实数和，有，当且仅当时等号成立对任意正数，有，当且仅当时等号成立这里，我们把、分别叫作正数的算术平均数和几何平均数。基本不等式2也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数【析】、成立的条件是不同的：前者只要求实数，而后者要求正数。例如：成立，而不成立 这两个公式都是带有等号的不等式，因此对其中的“当且仅当时等号成立”这句话要理解深刻。可从两个方面来理解：第一，“当时等号成立”，其含义就是或；第二，“仅当时等号成立”，其含义就是。综合起来，其含义就是：的充要条件。2用基本不等式来证明不等式【析】当用来证明不等式时，应该认识到：它们本身也是根据不等式的意义，性质或用比较法证出的。因此，凡是用它们可以获证的不等式，一般也可以直接根据不等式的意义，性质或用比较法证明。3应用基本不等式求最值【析】应用基本不等式（2）求最值时，注意以下几个条件： 两个变量必须是正变量 当它们的和为定值时，其积取得最大值；当它们的积为定值时，其和取得最小值 当且仅当两个数相等时取得最值 即必须满足“正数”、“定值”、“相等”三个条件，才能取得最值 在求某些函数的最值时，还要注意恰当的恒等变形，分析变量，合理配置系数4应用基本不等式来解决一些实际问题【析】先理解题意，合理设置变量，一般把要求的最大值或最小值的变量定为函数 建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题 在定义域内，求函数的最大值或最小值 正确写出答案5比较法证明不等式【析】用比较法证明不等式的一般步骤是：先作出要求证的不等式两边的差，通过对这个差的变形，确定其值是正的还是负的，从而证明不等式成立【学习目标】 掌握两个基本不等式 能运用基本不等式来证明不等式来证明不等式及求一些函数的最值 能运用基本不等式来解决一些简单的实际问题 通过对基本不等式 的结构分析和特征把握掌握两个基本不等式的联系 通过对基本不等式的证明和等号成立的条件的分析，培养学生严谨、科学的认识习惯，进一步渗透变量和常量的哲学观。【典型例题】1比较法证明不等式【例1】若，证明（ 且）。【分析】用作差法来证明需分为和两种情况，去掉绝对值符号，然后比较法证明。或者直接作差，然后用对数的性质来去绝对值符号。【解答】解法1 （1）当时，因为 ，所以 （2）当时，因为 所以 综合（1）（2）知.解法2 作差比较法因为 ，所以【点评】解法一用分类相当于增设了已知条件，便于在变形中脱去绝对值符号；解法二用对数性质（换底公式）也能达到同样的目的，且不必分而治之，其解法自然简捷、明快。【例2】设，求证：【分析】发现作差后变形、判断符号较为困难考虑到两边都是正数，可以作商，判断比值与1的大小关系，从而证明不等式。【解答】，. 又，【点评】本题考查不等式的证明方法比较法(作商比较法).作商比较法证明不等式的步骤是：判断符号、作商、变形、判断与1的大小。2利用基本不等式证明不等式 【例1】对于任意实数、，求证（当且仅当时取等号）。【分析】这个题若使用比较法来证明，将会很麻烦，因为，所要证明的不等式中有，展开后很复杂。若使用综合法，从重要不等式：出发，再恰当地利用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。【解答】 （当且仅当时取等号）两边同加，即： （1）又： （当且仅当时取等号）两边同加 （2）由（1）和（2）可得（当且仅当时取等号）【点评】此题参考用综合法证明不等式综合法证明不等式主要是应用均值不等式来证明，要注意均值不等式的变形应用，一般式子中出现有平方和乘积形式后可以考虑用综合法来解。【例2】已知、，求证.【分析】显然这个题用比较法是不易证出的。若把通分，则会把不等式变得较复杂而不易得到证明由于右边是一个常数，故可考虑把左边的式子变为具有“倒数”特征的形式，比如，再利用“均值定理”就有可能找到正确的证明途径，这也常称为“凑倒数”的技巧。【解答】 ，同理：，。 【点评】此题考查了变形应用综合法证明不等式题目中用到了“凑倒数”，这种技巧在很多不等式证明中都可应用，但有时要首先对代数式进行适当变形，以期达到可以“凑倒数”的目的。【例3】若，且，求证：.【分析】这个不等式从形式上不易看出其规律性，与我们掌握的定理和重要的结论也没有什么直接的联系，所以可以采用分析的方法来寻找证明途径但用“分析”法证不等式，要有严格的格式，即每一步推出的都是上一步的充分条件，直到推出的条件是明显成立的（已知条件或某些定理等）。【解答】为要证只需证，即证，也就是，即证，即证，故即有，又 由可得成立， 所求不等式成立【点评】此题考查了用分析法证明不等式在题目中分析法和综合法是综合运用的，要注意在书写时，分析法的书写过程应该是：“欲证需证”，综合法的书写过程是：“因为（）所以（）”，即使在一个题目中是边分析边说明也应该注意不要弄混。3应用基本不等式解决一些实际问题【例1】甲、乙两人两次在同一粮店购买粮食（设两次单价不相同），甲每次购买粮食100kg，乙每次购买100元的粮食。若规定，谁两次购粮的平均单价低，谁购粮方式就合算。请你判断甲乙两人购粮方式哪一个合算些，为什么？【分析】在理解“平均单价”，“购买合算”等语言的含义上建立两个购买方式的代数式，再借助不等式来比较大小。【解答】设两次购粮单价一次为a元，b元（），则甲每千克购粮价格为元；乙每千克购粮价格为元由基本不等式可知：以及，可得。因此乙的购粮方式合算【点评】本题主要考查利用基本不等式，通过比较大小来确定最佳决策方案。4求代数式的取值范围和最值【例1】若，求证。【分析】本题结论的反面比原结论更具体、更简，宜用反证法。【解答】证法一：假设，则：，而，故从而，这与假设矛盾，故证法二：假设，则，故，即，即，这不可能从而证法三：假设，则由，得，故又，即这不可能，故【点评】本题三种方法均采用反证法，有的推至与已知矛盾，有的推至与已知事实矛盾。一般说来，结论中出现“至少”“至多”“唯一”等字句，或结论以否定语句出现，或结论肯定“过头”时，都可以考虑用反证法。【例2】设，求的最大值。【分析】本题利用基本不等式串：，适当利用换元法可使得问题更加明朗。【解答】设，原式等号当且仅当时，即时取得最大值。【点评】对于利用基本不等式求最值的问题，最好把取等条件加上，一来免得无故失分，而来可以检查原式是否成立。【例3】设，求的最大值。【分析】求解本题很容易想到利用基本不等式，但是却不是容易，原因在于“一正二定三相等”中的“二定”。【解答】设（其中t为待定系数）则而（不妨设）我们令，整理得：或（舍去）原式等号当且仅当，即时成立。【点评】当我们利用基本不等式得不到定的最值时，可以利用待定系数法，凑出定值，从而得到正确的答案，如题目中令，就是为了和分母约分而故意这样设的。【基础训练】1.下列命题中正确的是()A.的最小值是2B的最小值是2C.的最小值是2D的最小值是22. 设，则以下不等式中不恒成立的是（）ABCD3.若，则（ ）A B. C. D. 4.如果实数满足，那么的最大值是（ ）A. B. C. D. 5.已知，且，则的最小值为_6.不等式的充要条件是_7.若，则的取值范围是_8.的最小值是_9.的最小值是_10. 求的最小值11.当时，的最大值为，求的值及此时的值12. 已知为不全相等的正数，求