探索一因式与倍式.doc

袇芇膀蚇罿肀蕿蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羃羁芇蚄蚃膇膃蚃螅罿蒁螂袈膅莇螁羀羈芃螀蚀膃腿蝿袂羆薈蝿羄节蒄螈肇肄莀螇螆芀芆莃衿肃膂莂羁芈蒀蒂蚁肁莆蒁螃芆节蒀羅聿芈葿肇羂薇蒈螇膈蒃蒇衿羀荿蒆羂膆芅蒆蚁罿膁薅螄膄蒀薄袆羇莆薃肈膂莂薂螈肅芈薁袀芁膄薁羃肃蒂薀蚂艿莈虿螅肂芄蚈袇芇膀蚇罿肀蕿蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羃羁芇蚄蚃膇膃蚃螅罿蒁螂袈膅莇螁羀羈芃螀蚀膃腿蝿袂羆薈蝿羄节蒄螈肇肄莀螇螆芀芆莃衿肃膂莂羁芈蒀蒂蚁肁莆蒁螃芆节蒀羅聿芈葿肇羂薇蒈螇膈蒃蒇衿羀荿蒆羂膆芅蒆蚁罿膁薅螄膄蒀薄袆羇莆薃肈膂莂薂螈肅芈薁袀芁膄薁羃肃蒂薀蚂艿莈虿螅肂芄蚈袇芇膀蚇罿肀蕿蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羃羁芇蚄蚃膇膃蚃螅罿蒁螂袈膅莇螁羀羈芃螀蚀膃腿蝿袂羆薈蝿羄节蒄螈肇肄莀螇螆芀芆莃衿肃膂莂羁芈蒀蒂蚁肁莆蒁螃芆节蒀羅聿芈葿肇羂薇蒈螇膈蒃蒇衿羀荿蒆羂膆芅蒆蚁罿膁薅螄膄蒀薄袆羇莆薃肈膂莂薂螈肅芈薁袀芁膄薁羃肃蒂薀蚂艿莈虿螅肂芄蚈袇芇膀蚇罿肀蕿蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羃羁芇蚄蚃膇膃蚃螅罿蒁螂袈膅莇螁羀羈芃 探索一：因式與倍式 因數與倍數：555-111 提公因式與分組分解PART 1：主題探索窗5正整數 a 除以正整數 b，若餘數為 0 時，則 a 是 b 的倍數，b 是 a 的 因數。因式與倍式：多項式 A 除以多項式 B，若餘式為 0 時，則A 是B 的倍式，B是 A的 因式。範例 1(1) 判別 x+3 是否為 x2+10x+6 的因式？ (2) 判別 x-2 是否為 2x2-7x+6 的因式？解：(1)x+3x 7x2 +10x + 6x2 + 3x7x + 67x + 21-15因為餘式不等於 0，所以 x+3 不是 x2+10x+6 的因式；相反的，x2+10x+6 不是 x+3 的倍式。(2)x22x-32x2 - 7x + 62x24x-3x+ 6-3x+ 60因為餘式等於 0，所以 x-2 是 2x2-7x+6 的因式；相反的，2x2-7x+6是 x-2 的倍式。事實上，將 2x2-7x+6 除以 2x-3 的餘式為 0。因此 2x-3 也是2x2-7x+6 的因式；2x2-7x+6 是 2x-3 的倍式。Ans：(1)否 (2)是練習 1-1 判別 x+1 是否為 x2+4x+3 的因式？ 練習 1-2 判別 2x-1 是否為 2x2-5x+6 的因式？探索二：因式分解的意義將多項式 A 除以多項式 B，得到商式為多項式 C 且餘式為 0；稱多項 式B 可以整除多項式 A；利用被除式=除式 商式+餘式(餘式=0)，寫成 A=B C；稱為多項式 A 的因式分解。例如： 2x 2 7 x + 6 = (2 3)(x 2) 稱為 2x 2 7 x + 6 的因式分解。範例 2判別 4x2+12x+9 是不是 2x+3 的倍式。並且將 4x2+12x+9 因式分解。 解：2x+32x 34x2 +12x + 94x2+6x6x +96x +90因為餘數為 0，所以 4x2+12x+9是 2x+3 的倍式；由被除式等於除式乘以商式，再加餘式， 可得 4x2+12x+9(2x+3)( 2x+3)。Ans：是練習 2判別 2x2+5x+3 是不是 2x+3 的倍式。並且將 2x2+5x+3 因式分解。探索三：提公因式我們學過分配律：a(bc)a相反的，bac 或(bc)abacaabaca(bc)或baca(bc)a在上面的式子中，我們發現：ab 與 ac 都有共同的 a，把共同的 a提 出來，就得到右邊的式子。我們也可以利用拼圖來檢驗：bcbcaab+aac=aabacab+ac=a(b+c)a 是 ab 的因式，a 也是 ac 的因式，因此 a 就是 ab 與 ac 的公因式；例如：6x 與 x2 的公因式為 x，7(x+2)與(x+2)(2x+5)的公因式為(x+2)，(2x-5)(x+3)與(3x+4)(2x-5)的公因式為(2x-5)。 所以，將 ab+ac 寫成 a(b+c)，我們稱為因式分解，把共同的公因式提出來，這樣的方法稱為提公因式。 範例 3因式分解下列各式：(1)2ax+x2(2)7y2-y(3)(x-5)(2x+7)+(x-5)(x+3) 解：(1)多項式 2ax+x2 中有 2ax、x2 兩項，公因式為 x2ax+x2=x2a+xx=x(2a+x)(2)多項式 7y2-y 中有 7y2、-y 兩項，公因式為 y。7y2-y=y7y-y1=y(7y-1)(3)多項式(x-5)(2x+7)+(x-5)(x+3)中有(x-5)(2x+7)、(x-5)(x+3) 兩項，公因式為(x-5)。(x-5)(2x+7)+(x-5)(x+3)=(x-5)(2x+7)+(x+3)=(x-5)(3x+10)Ans：(1) x(2a+x) (2) y(7y-1) (3) (x-5)(3x+10)因式分解下列各式： 練習 3-1 5bx+7by練習 3-2 (x+2)(x+3)+(x+2)(x-4)探索四四四：分分分組提公因式多項式 ab+ac+xb+xc 各項沒有共同的公因式，但是 ab 與 ac 有公 因式 a，提出公因式 a 後，分解成 a(b+c)；xb 與 xc 有公因式 x；提 出公因式 x 後，分解成 x(b+c)。即可得ab+ac+xb+xca(b+c)+ x(b+c)因為 a(b+c)與 x(b+c)也有公因式(b+c)，再提出公因式(b+c)即可得a(b+c)+ x(b+c)(b+c)(a+x)因此多項式 ab+ac+xb+xc 可以使用下面的方法因式分解：ab+ac+xb+xca(b+c)+ x(b+c)(b+c)(a+x)我們把上述的方法稱為分組提公因式。我們也可以使用另外一種分組的方式來做本題的因式分解：ab+ac+xb+xc(ab+xb)+(ac+xc)b(a+x) +c(a+x)(a+x)(b+c) 從上面的過程可以發現：分組的方式並不唯一。只要第一次分組後所產生的因式可以再提出公因式，都是可以的。 範例 4因式分解 2xy+3+2y+3x解：2xy+3+2y+3x(2xy+2y)+( 3 +3x)2y(x+1)+3(1+x)(x+1)(2y+3) Ans：(x+1)(2y+3)練習 4因式分解 by3+by2-2by-2b範例 5因式分解 ax+bx+cx+ay+by+cy解：ax+bx+cx+ay+by+cy(ax+bx+cx)+(ay+by+cy)x(a+b+c)+y(a+b+c)(a+b+c)(x+y) Ans：(a+b+c)(x+y)練習 5因式分解 ab+ac+ad-(xb+xc+xd)探索五五五：符號法則1.3-8=-(8-3)，相同的，a-b-(b-a)2.-a+b=-(a-b)，-a+b+c=-(a-b-c)3.(a-b)2(a-b)(a-b)-(b-a)-(b-a)=(b-a)(b-a)(b-a)24.(a-b)3(a-b)(a-b)(a-b)-(b-a)-(b-a)-(b-a)-(b-a)35. (a-b)4(a-b)2(a-b)2(b-a)2(b-a)2(b-a)4範例 6因式分解 x2-cx-2x+2c解：x2-cx-2x+2c(x2-cx)(2x-2c)x(x-c)2(x-c)(x-c)(x-2) Ans：(x-c)(x-2)練習 6因式分解 3x-ax-ab+3b範例 7因式分解(a-b)2-4b(b-a) 解：(a-b)24b(b-a)(a-b)24b-(a-b)(a-b)24b(a-b)(a-b)(a-b+4b)(a-b)(a+3b) Ans：(a-b)(a+3b)練習 7因式分解 m(a-b)(x-y)-(b-a)(y-x)18範例 8:因式分解(a-3)x(x2-3a) 解：(a-3)x-(x2-3a)ax3xx23a(ax3a)(3xx2)a(x+3)x(3+x)(x+3)(ax) Ans：(x+3)(ax)練習 8:因式分解 2a+(a2-4)x-2ax2一、選擇題PART 2：學習檢測站()1.若(x - 2)(x + 5) =x2+3x-10， 則下 列何 者不是 x2+3x-10 的因式？(A) x - 2 (B) x + 5 (C) x - 10 (D) 2 - x。()2.下列何者不是(x +6)(x - 5) - (x - 5)的因式？(A) x2 - 25 (B) x + 6 (C) x - 5 (D) x + 5。 ()3.下列何者不是(x -2)的倍式？(A) x(x + 7) - 2(x + 7) (B) (x - 3)(x + 4) + x(x - 3) (C) (x - 3)2 - (3 - x)(D) (x - 8)(x + 4) + (x+ 4)2。()4.因式分解(x + 7)(2x - 5) - (2x - 5) = (2x - 5) ， 則(A) x + 7 (B) x - 5 (C) x +6(D) x + 5。()5.因式分解(x2-3x)+(x-3)，得其結果為下列那一選項？ (A) (x+1)(3-x)(B) (x+1)(x-3)(C) (x-1)(x+3)(D) (x-1)(x-3)。()6.已知 3x2-x-10( 3x+5 ) ( x-2 )，請問下列哪一個敘述是正 確？(A) 3x2x10 為 x2 的倍式(B) x2 為 3x2x10 的倍式 (C) 3x5 為 3x2x10 的倍式 (D) 3x2x10 為 3x5 的因式二、填充題1.因式分解下列各式：(1) 3x2+x= (2) x(x+3)+(x+3)(x+5)= (3) (x+2)(x+3)+(x+2)(x-4)= (4) (3x+4)(5x+2)-(3x+4)(4x-3)= (5) (x+6)(x-6)-(x-6)= (6) (2x+3)2-8(2x+3)= (7) 2x2+bx-6x-3b= (8) ax-bx+by-ay= (9) 3xy-5x+9y-15= (10) 3(x+4)(x-5)-(x-5)= (11)(2x+3)2-4x-6= (12)(x2-5x)+( 5- x)= 2.若 A、B、C 三個多項式；已知 A（2x3）（x-4），B（2x+3）（x-2）， C（xb），若 C 是A 的因式，但不是 B 的因式，則b 三、計算題1.判別 x-1 是不是 x2-7x+6 的因式。並且將 x2-7x+6 因式分解。2.已知 3x-2 是 6x2mx-6 的因式，則 m？3.計算 579789+426789-4789 的值？4.計算(-187)343+227187-187(-16)的值？PART 3:高手競技場1.多項式 A=（ x 1）（x3），多項式 B=（3x）（4x），下列何者4是A 與 B 的公因式？(1) x3 (2) x3 (3) 4x1 (4) x4。 Ans: (4)2.已知 1 x22x6 1 （x2）（x6），則下列哪些是 1 x22x6222的因式？ (A) 1 x1 (B) 1 x+4 (C) 1 x2 (D) x22x6222() 1 x3 () x24x12。2Ans: (A)、(E)、(F)3.因式分解（a-b）（a+b-c）（a+b）（-a-b+c） Ans：-2b(a+b-c)4.設 x3kx25x-6 是 x1 的倍式，則 k Ans：25.請因式分解下列各題： () 3ax8by6bx4ay Ans：(a-2b)(3x-4y)() 2ax8x3by2xb3ay12yAns：(2x+3y)(a+b-4)6.因 式 分 解 (x+y)(a-b +c) + (x - y)(b - a - c) Ans：2y(a-b-c)()7.求 536 0.52364 0.48364 0.52536 0.48 之值為何？(A) 0 (B) 20 (C) 36 (D) 40Ans：(C)8.(1) 因式分解 ab + a + b + 1(2) 因式分解 ab a b + 1(3) 因式分解 (4) 因式分解解：a 2 b 2 +aa 2 b 2 a2 + b 2 + 12 b2 + 1(1)(2)ab + a + b + 1= (ab + a) + (b + 1)= a(b + 1) + (b + 1)= (a + 1)(b + 1)ab a b + 1= (ab a) (b 1)= a(b 1) (b 1)= (a 1)(b 1)Key：只有一個負號或三個負號時無法分解(3)a 2 b 2 +a2 + b2 + 1= (a 2 b 2 +a2 ) + (b2 + 1)= a 2 (a2 + 1) + (b2 + 1)= (a 2 + 1)(b2 + 1)(4)a 2 b 2 a2 b 2 + 1= (a 2 b 2 a2 ) (b2 1)= a 2 (a2 1) (b2 1)還可再分解= (a2 1)(b2 1)= (b + 1)(b 1)(a + 1)(a 1)Ans：(1)(a + 1)(b + 1)(2)(a 1)(b 1)(3)(b 2 + 1)(a 2 + 1)(4)(b + 1)(b 1)(a + 1)(a 1)9.將矩形分成 6 塊小矩形，每塊小矩形的面積如圖示，且邊長均為整係數。 求(1)原矩形周長= (2)承(1)，若 x = 6 ，求周長= 解：以提公因式法，將邊長全標出 周長 = 2 (4x + 2 + 2x + 3)= 12x + 10x = 6 代入12x + 10= 12 6 + 10= 82Ans：(1)12x + 10(2)82222xxyx222xyxyy22210.將右邊矩形面積分解成長與寬均為整係數，則原矩形面積=長 寬= 其周長= 解：( x + y) (2 x + y)x y周長 = 2 ( x + y + 2 x + y)x222xyx222xyxyy2x= 6x + 4 yxyAns：(1)(2)( x + y) (2 x + y)6x + 4 y11.因式分解 ( x 1)( x + 3) 2 (x 1) 2 (x+ 3)解： ( x 1)( x + 3) 2 (x 1) 2 (x+ 3)= ( x 1)( x + 3)( x + 3) ( x 1)= ( x 1)( x + 3) x + 3 x + 1= 4( x 1)( x + 3)Ans： 4( x 1)( x + 3)12.因式分解 x 4 x 3 + 3 x 2 2x + 2x解： x 4 x 3 + 3 x 2 2 x + 2= x 4 x 3 + x 2 + 2 x 2 2 x + 2= ( x 4 x 3 + x 2 ) + (2x= x 2 ( x 2 x + 1) +2(x2 2x2 x+ 2)+ 1)= ( x 2 xAns： ( x 2 x+ 1)(x+ 1)(x2 + 2)2 + 2)13.設 A = 401x 4 2007 x 3 ，當 x = 5 時， A 之值= 解： A = 401x 4 2007 x 3= 3 (401 2007)= x 3 (401 5 2007)= 53 (2005 2007)= 125 (2)= 250Ans：-25014.若 x, y 均為整數，且x 2 +2 + 4+ 4 = 0求 2007 x 5 y = 解： x 2 +2 + 4+ 4 = 0x 2 + ( y + 2) 2 = 0 x = 0且 y + 2 = 0 x = 0, y = 2故 2007 x 5 y = 2007 0 5 (2)= 10Ans：101. x + 1 = 5,yxy +PART IV：資源補給庫1 = 28xy求 y + 1 = x解：利用 ( x + 1 )( y + 1 ) = xy12+yxxy代入5( y + 1 )282Ans：6+=x y + 1 = 6x2.若 2 x 3 是 4x 3 + ax + 6 的因式，求 a = 解：注意：缺二次項要補 0 a + 9 = 4Ans：-13a = 133.承上題：因式分解 4x 3 + ax + 6解：4x 3 + ax + 6= 4x 3 13x + 6= (2x 3)(22 + 3 2)還可再分解= (2x 3)( x + 2)(2x 1)Ans： (2x 3)( x + 2)(2x 1)4.數學老師真厲害某節數學課，老師給了每位 同學一張 6 6 的數字表，規定每 位同學從每行，每列各找一個數 字，但每行每列不可重覆取兩個 數字以上(如表一為例)。待同學 取完後，請同學將自取的 6 數相 加，並告訴老師總和是多少？當 全班異口同聲回答：100時，888555141316121512212222023199996661514171323202928333312755522211111101327201726252822224(表一)老師也在同一時間把答案寫在黑板上了；老師你怎麼知道？其實 原理很簡單的！分析：33300099988811777555888555141316121215122120231966699966615141713202320292831272225552221110132717201726252824老師在最上一列寫出 3，0，9，8，11，7 已有少數同學發現其規律。待老師在最左 一行寫上 5，12，6，20，2，17 後，大多數 同學已發現其中原理。再問為什麼大家加起 來都是100呢？終於有同學說：因為每 行、每列均取一數，故 3，0，9，8，11，7 與 5，12，6，20，2，17 同樣都只取一次， 不會重複取，但這 12 個數總和固定等於100，所以無論你怎麼取，總和還是 100。 現在你也可以自行設計一張 6 6 (或 m n )之總和定數表，大原則是將最上一列，最左一行先決定，總和多少隨你定，再將表中各 數填入，最後將最上一列，最左一行的數擦掉便完成了！ PS：你是否可自行設計乘積定數表，試試看。解答篇：PART 1 ：主題探索窗練習 1-1 是練習 1-2 不是 練習 2 是，2x2+5x+3(2x+3)(x+1)練習