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练习二一 、判断下列命题是否正确，如正确，只需在题号前的括号内打；如果错误，则在题号前的括号内打，并只对有下划线的部分作适当修改，得出相应的正确命题（）1.若n阶方阵A的秩满足，则 （）2.若方阵A满秩,则,其中为初等矩阵.（）3.设有向量组 若存在一组不全为零的数，满足，则向量组线性无关. 将“存在一组不全为零的数” 改为“对任意一组不全为零的数” （）4. 若矩阵A与B合同,且A为对称矩阵,则B也是对称矩阵.（）5.如果对任意,代入二次型后,都使,则正定. 将“”改为“不全为零的” 二、填空题2.若三阶方阵A的行列式,则_3.已知，所有与A可交换的矩阵为_4.四元齐次线性方程组的一个基础解系为 ， 5.向量,的内积为2,则 6. 二次型的矩阵是 ，秩是_3_7. 二次型正定时,应满足的条件是 8. 设，则 三、计算题1.设，求. ， 2.设，矩阵满足，求及 设， 3. 给定向量组求此向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用这个极大无关组线性表示. 为极大无关组， 4.设，求正交矩阵及对角矩阵,使 特征值：， ， ，单位化，令， 5.将二次型化为规范型,并写出可逆的线性替换.令，即二次型化为 6. 为何值时,下面线性方程组有解？当有无穷多个解时，用基础解系表示其全部解. 当或时，无解；当且时，有无穷多解，此时，为一个特解，导出组：为导出组的基础解系，所求通解为五、证明题1. 已知为三阶可逆矩阵，、是三维列向量，且向量组线性无关，证明向量组 也线性无关.设，即 为三阶可逆矩阵，所以，向量组线性无关，从而故向量组 也线性无关.2. 设阶方阵可逆，证明也可逆，并求.3. 如果阶矩阵可以对角化,证明也可以对角化矩阵可以对角化,即存在可逆矩阵，使得，其中为对角矩阵. ,即 从而也可以对角化.4. 设A为阶实对称矩阵，Q为n阶正交阵，证明为对称阵.5. 设方阵满
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