二项式定理及其应用概括与归纳.doc

主动学习网理念：激发兴趣，挖掘潜力，培优教育网址： 电话62923545羀莄薃薁羆莃莃袆袂莂蒅虿膁莁薇袄肇莁蚀蚇羃莀荿袃衿肆蒂蚆螅肅薄袁肃肅芃蚄聿肄蒆罿羅肃薈螂袁肂蚀薅膀肁莀螀肆肀蒂薃羂腿薅蝿袈腿芄薂螄膈莇螇膃膇蕿薀聿膆蚁袅羅膅莁蚈袁膄蒃袄螆膃薆蚆肅芃芅袂羁节莈蚅袇芁蒀袀螃芀蚂蚃膂艿莂薆肈芈蒄螁羄芇薆薄袀芇芆螀螆莆莈薂肄莅蒁螈羀莄薃薁羆莃莃袆袂莂蒅虿膁莁薇袄肇莁蚀蚇羃莀荿袃衿肆蒂蚆螅肅薄袁肃肅芃蚄聿肄蒆罿羅肃薈螂袁肂蚀薅膀肁莀螀肆肀蒂薃羂腿薅蝿袈腿芄薂螄膈莇螇膃膇蕿薀聿膆蚁袅羅膅莁蚈袁膄蒃袄螆膃薆蚆肅芃芅袂羁节莈蚅袇芁蒀袀螃芀蚂蚃膂艿莂薆肈芈蒄螁羄芇薆薄袀芇芆螀螆莆莈薂肄莅蒁螈羀莄薃薁羆莃莃袆袂莂蒅虿膁莁薇袄肇莁蚀蚇羃莀荿袃衿肆蒂蚆螅肅薄袁肃肅芃蚄聿肄蒆罿羅肃薈螂袁肂蚀薅膀肁莀螀肆肀蒂薃羂腿薅蝿袈腿芄薂螄膈莇螇膃膇蕿薀聿膆蚁袅羅膅莁蚈袁膄蒃袄螆膃薆蚆肅芃芅袂羁节莈蚅袇芁蒀袀螃芀蚂蚃膂艿莂薆肈芈蒄螁羄芇薆薄袀芇芆螀螆莆莈薂肄莅蒁螈羀莄薃薁羆莃莃袆袂莂蒅虿膁莁薇袄肇莁蚀蚇羃莀荿袃衿肆蒂蚆螅肅薄袁肃肅芃 二项式定理及其应用概括与归纳一、 学习目的和要求、理解并掌握二项式定理,并能熟练写出二项展开式的通项,并能运用这一通项解决求指定项和指定项的系数等问题,能正确区分二项式系数、二项展开式项的系数等概念。、理解并掌握二项式定理的推导数学思想，并利用去解决多项式的类似问题（如三项化归二项），熟悉二项式定理在求近似值、证明整除性、证明不等式等方面的应用。、高考要求与动态：在高考中一般是以选择或填空题型出现，多为通项的应用和二项式系数的性质及其应用；但现在有向大题渗透综合数列、函数命题的迹象。二、基本知识体系、公式：（a+b）n=+ (nN*)、 I)、通项公式：Tr+1=Can-rbr 是第r+1项，按a的降幂排列、按b 的升幂排列）、注意展开式的二项式系数和展开式中项的系数的差别 ）、常用特例：（1+x）n=1+； (1-x)n=1-+处理问题的主要方法：特定项问题，如常数项、x2 等 扣住通项；展开式中系数和的问题 赋值法二项式系数的主要性质: （1）、对称性 =（2）、增减性与最大值:注意二项式系数最大与展开式系数最大的区别;当n为奇数时,中间两项的二项式系数,相等,且同时取得最大值; 当n为偶数时,中间的一项的二项式系数取得最大值(二项式系数前增后减,在中间取得最大值)（3）、各二项式系数的和公式+=2n; （a+b）n的展开式中,奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和;其公式为+=+=2n-1（4）、多项式（x）的各项系数之和为（1）; 多项式（x）的奇数项的系数之和为,多项式（x）的偶数项的系数之和为;此实质上是赋值之后的结果而已.（5）、二项式的展开式中,求系数最大的项的方法比较法,即记系数分别为Pr,、Pr+1、Pr-1；则 Pr最大三、常见题型解析与规律、方法、技巧领悟（）利用通项公式求展开式中的特定项问题求二项式展开的某一项或者求满足某些条件、具备某些性质的项，其基本方法是利用二项式的通项公式分析讨论解之。【题1】（2006年全国文10题）在（x - ）10 的展开式中，x4 的系数为（ ）A -120 B 120 C -15 D 15 解、x4 的系数为C（-）3 =-15 【题2】在二项式（- )15的展开式中，常数项为_;有理项有几项_;整式项有几项_解、展开式的通项为；当r = 6时, =0,则常数项为T7 = 26C；当 = 5 - r为整数,则r可取0,6,12三个数,故共有3个有理项； 当5 - r为非负整数时,得r = 0或6,故有两个整式项.【题3】在(x-1) (x+1)8的展开式中,x5的系数为( ) A -14 B 14 C -28 D 28解、原式= x(x+1)8 (x+1)8,则x5的系数为-=70-56=14,从而选(B) 【题4】 在(x2+3x+2)5的展开式中含x 项的系数为多少解、(1)、解法一、化为(x+2)5 (x+1)5则为CC25+ CC24=240（2）、解法二、利用二项式定理推导的思想方法,则C3x24=240x,则所求为240注意:在三项展开的问题中,可将某两项看作一项,然后利用二项式定理处理;或用因式分解转化为二项展开的问题去处理.（）根据题中结构特征,逆用二项式定理的问题有些数学问题,形式上极其类似二项式定理的展开式形式,因而我们要能扣住它的展开式各项特征,适当加以变化,进而构造出定理的相应结构,达到解决问题之目的. 【题5】设nN*,则Cn1+6 Cn2+62Cn3+6n-2 Cnn-1+ 6n-1Cnn=_解、令S=Cn1+6 Cn2+62Cn3+6n-2 Cnn-1+ 6n-1Cnn则1+6S=1+6 Cn1+62Cn2+6n-2 Cnn-2+ 6n-1Cnn-1+ 6nCnn=(1+6)n=7n；S= (7n-1)化简(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1=_解、原式=C(x-1)4+C(x-1)31+C(x-1)212+C(x-1)13+C14 =(x-1)+14 = x4 （）项系数与二项式系数这里要注意分清是展开式中的二项式系数还是展开式中某一项的系数,第r+1项的展开式中的二项式系数是,而展开式中某一项的系数,则还要注意到a或b自身符号和系数的问题.【题6】已知(+2x)n ：若展开式中第5项、第6项、与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数的最大项；若展开式前三项的二项式系数和为79,求展开式中系数最大的项解、+=2则有n=7或n=14；当n=7时,展开式中二项式系数最大的项是T4=C()423=或T5=C()324=70；当n=14时, 展开式中二项式系数最大的项是T8= C()727=3432x7 由+ =79则有n=12；设 Tk+1为系数最大项,则有 9.4k10.4 则k=10展开式中系数最大的项为T11即T11= ()11C410x10= 16896 x10（）展开式中各项的系数和与展开式中各项的二项式系数和的问题展开式中各项的二项式系数的和问题,可直接应用公式去处理; 展开式中各项的系数和问题,则采用赋值法去求解 【题7】已知(2x 3)6=a0 + a1 (x-1) + a2 (x-1)2 + a6 (x-1)6 则a1 +a3 + a5=_解、设x-1=t,则（2 t-1）6= a0 + a1 t + a2 t2 + a6 t6;再赋t=1和t=-1，两者相减则得所求为-364【题8】已知(1-2x)7=a0+ a1x+ a2x2+ + a7x7求a1+ a2+ a7；a1+ a3+ a5+ a7；a0+ a2+ a4+ a6；|a0|+| a1|+| a2|+| a7|解、令x=1,则a0+ a1+ a2+ a7=-1 令x=-1,则a0- a1+ a2+- a7=37；由于a0=C=1则a1+ a2+ a7=-2两式相减再除以2得a1+ a3+ a5+ a7=-1094两式相加再除以2得a0+ a2+ a4+ a6=1093由于展开式中, a0、 a2、 a4、 a6均大于0,而a1、 a3、 a5、a7均小于0,则|a0|+| a1|+| a2|+| a7|= (a0+ a2+ a4+ a6)-( a1+ a3+ a5+ a7)=2187【题9】（2006年江西理8题）在（x-）2006的二项展开式中含x的奇次幂的项之和为S，当S=时，S等于（ ）A 23008 B -23008 C 23009 D -23009解、（x-）2006的二项展开式中含x的奇次幂的项之和为S= C X2005(-)1 +C X2003(-)3 +C X1(-)2005 当x=时，S= -C()2006+C ()2006+C()2006 = -21003（C + C + C ）= -21003 22006-1 =-23008（）近似计算与整除问题利用二项式定理进行近似计算,关键是确定展开式中的保留项,使其满足近似计算的精确度;而处理有关整除问题,关键是将所给多项式通过恒等变形变为二项式形式,使其展开后的各项均含有除式.【题10】、已知今天是星期一,连今天计算在内,再过233天后的第二天是( ) A星期一 B星期二 C 星期三 D 星期四 解、 233除以7的余数为1，故应为星期四（）与数列、函数的简单综合问题【题11】、已知数列an是公差为d的等差数列，求证:Cn0a1+ Cn1a2+ Cn2a3+ Cnn-1an+ Cnnan+1=(2a1+nd)2n-1求1+3C71+5C72+13C76+15C77的值解、设Sn= Cn0a1+ Cn1a2+ Cn2a3+ Cnn-1an+ Cnnan+1 则Sn= Cnnan+1+ Cnn-1an+ Cnn-2an-1+ Cn1a2+ Cn0a1相加有2 Sn= Cn0（a1+ an+1）+ Cn1（a2+ an）+ Cn2（a3+ an-1）+ Cnn-1（an+ a2）+ Cnn（an-1+ a1）2 Sn=(2a1+nd)( Cn0+ Cn1+ Cn2+ Cnn-1+ Cnn) =(2a1+nd)2nSn=(2a1+nd)2n-1 依照上述结论有1+3C71+5C72+13C76+15C77=（21+72）27-1=1024【题12】已知数列an是首项为a1,公比为q的等比数列;求和：（1） a1C- a2C+ a3C（2）a1C- a2C+ a3C a4C 由 的结果归纳概括出关于整数n的一个结论,并加以证明解、 （1）a1C- a2C+ a3C= a1-2 a1q+ a1q2= a1(1-q)2（2）a1C- a2C+ a3C a4C= a1-3 a1q+3 a1q2- a1q3= a1(1-q)3归纳概括的结论为:若数列an是首项为a1,公比为q的等比数列,则有a1- a2+ a3- a4+(-1)nan+1= a1(1-q)n,其中n 为正整数证明: a1- a2+ a3- a4+(-1)nan+1= a1- a1q+ a1q2- a1q 3+(-1)na1qn = a1- q+ q2- q 3+(-1)nqn= a1(1-q)n 注意：与数列综合的问题，要抓住各自通项公式去适当变形，从而转化到所证特征形式，典型的变形形式有：C = C , C = C 等。（）用二项式定理证明不等式【题13】求证:2(1+)n2 又()k=则(1+)n2+2+=2+(1-)+(-)+(-)=3-3综上有2(1+)n3注意：不等式的证明中,先利用二项式定理,构建二项式形式并展开,再利用放缩法和其他相关知识,完成不等式的证明.四、巩固与提高练习【题1】、（2006年重庆理5题）若（3-）n 的各项系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A -540 B -162 C 162 D 540【题2】（2006年山东文10题）已知（x2 - -）n的展开式中第三项与第五项的系数之比为3：14，则展开式的常数项为（ ）A -1 B 1 C -45 D 45【题3】、（2006年浙江理8题）若多项式X2+ X10= a0 + a1 (x+1) + + a9 (x+1)9 +a10 (x+1)10则a9=（ ）A 9 B 10 C -9 D -10【题4】、在（a+b+c）9中，a2b3c4的系数为（ ） A、 1260 B、126 C 1296 D 3024 【题5】已知(-)9的展开式中,x3的系数为,则常数a的值为_ 【题6】式子(|x|+-2)3的展开式中的常数项为_ (x+1)3+ (x+1)4 +(x+1)5+(x+1)6+(x+1)7展开式中x4的系数为_ 【题7】设（x）=(x2+x-1)9 (2x+1)4则（x）的展开式中所有项的系数之和为_;（x）的展开式中奇数项的系数之和为_ 【题8】若(1-2x)2004= a0+ a1x+ a2x2+ a2004x2004则(a0+ a1)+( a0+ a2)+ (a0+ a3)+( a0+ a2004)= _ (用数字作答)【题9】已知数列an的通项是二项式(1+x)n与(1+)2n的展开式中所有x的次数相同的各项的系数之和,求数列的通项及前n项之和Sn 参考答案：【题1】解、赋x= 1, 则得2n=64, n=6 则常数项为第四项，T4=C（3）3（）3= -540【题2】解、（x2-）n的展开式中第三项与第五项的系数为与则有=解之得n=10 又通项为Tr+1=C10r（x2）10-r(-1)r=C10r（-1)rx20-r由20-r=0，则r=8，则常数项为T9=C=45【题3】、解、本题左边变形为X2+ X10=（x+1）-12+（x+1）-110则a9=C(-1)1=-10【题4】 所求为CCC=1260，从而选（A）【题5】解、Tr= 则r-10+=3,从而r=9则 a=4【题6】解、可化为则常数项为-20解、C+C+C+C=C=56【题7】解、设（x）=a0+a1x+a2x2+ 分别令x=1,x=-1得a0+ a1+ a2+=（1）=81a0- a1+ a2- a3+=（-1）=-1 两式相减得a1+ a3+ a5+=41;故（x）的展开式中所有项的系数之和为81,而奇数项的系数之和为41【题8】解、令x=0则a0=1; 令x