微分中值定理的应用：函数的单调性、凸凹性、极值.doc

莃蒁羆膀艿蒀肈莆薈葿螈膈蒄薈袀莄莀薇羃膇芆薇膅羀蚅薆袅芅薁薅羇肈蒆薄聿芃莂薃蝿肆芈薂袁节薇蚁羃肄蒃蚁肆芀荿蚀袅肃莅虿羈莈芁蚈肀膁薀蚇螀莆蒆蚆袂腿莂螅羄莅芈螅肇膈薆螄螆羀蒂螃罿膆蒈螂肁聿莄螁螁芄芀螀袃肇蕿蝿羅节蒅衿肈肅莁袈螇芁芇袇衿肄薅袆肂艿薁袅膄膂蒇袄袄莇莃蒁羆膀艿蒀肈莆薈葿螈膈蒄薈袀莄莀薇羃膇芆薇膅羀蚅薆袅芅薁薅羇肈蒆薄聿芃莂薃蝿肆芈薂袁节薇蚁羃肄蒃蚁肆芀荿蚀袅肃莅虿羈莈芁蚈肀膁薀蚇螀莆蒆蚆袂腿莂螅羄莅芈螅肇膈薆螄螆羀蒂螃罿膆蒈螂肁聿莄螁螁芄芀螀袃肇蕿蝿羅节蒅衿肈肅莁袈螇芁芇袇衿肄薅袆肂艿薁袅膄膂蒇袄袄莇莃蒁羆膀艿蒀肈莆薈葿螈膈蒄薈袀莄莀薇羃膇芆薇膅羀蚅薆袅芅薁薅羇肈蒆薄聿芃莂薃蝿肆芈薂袁节薇蚁羃肄蒃蚁肆芀荿蚀袅肃莅虿羈莈芁蚈肀膁薀蚇螀莆蒆蚆袂腿莂螅羄莅芈螅肇膈薆螄螆羀蒂螃罿膆蒈螂肁聿莄螁螁芄芀螀袃肇蕿蝿羅节蒅衿肈肅莁袈螇芁芇袇衿肄薅袆肂艿薁袅膄膂蒇袄袄莇莃蒁羆膀艿蒀肈莆薈葿螈膈蒄薈袀莄莀薇羃膇芆薇膅羀蚅薆袅芅薁薅羇肈蒆薄聿芃莂薃蝿肆芈薂袁节薇蚁羃肄蒃蚁肆芀荿蚀袅肃莅虿羈莈芁蚈肀膁薀 微分中值定理的应用：函数的单调性、凸凹性、极值这一节之所以称为微分中值定理的应用的应用是因为这一节的定理（费马定理除外）都可以用微分中值定理来完成证明，请完成定理的证明。一 函数的单调性（一）定理 设在连续，在内可导则（1）当时，严格单调增加（2）当时，严格单调减少注（1）定理区间可以其它形式的区间例：，条件为在区间上连续，在除端点外导数符号不变。（2）当时，单调增加当时，单调减少(二)应用举例1确定单调区间：在定义域内找出驻点（导数为零的点）和不可导点来把定义域分割成小区间，在每个小区间讨论导数的符号来确定单调性。例1 求函数的单调区间（1）提示：，则驻点为，不可导点为，（2）（若驻点两边符号相同则单调区间可以合并）（3）（注能否说函数在单调降）练习 求函数的单调区间（1）（2）例2 求函数的单调区间提示法一，令，则，故在是减的，又，故在函数法二；讨论函数例3 设在上，则，的大小顺序2 证明不等式（1） （若不等式两边能变得一样形式，根据这一形式构造函数，通常不等式含两个参数）例1 （1）证明时（2）时（2）（若不等式两边不能变得一样形式，通常不等式仅含一个参数而为，这时可构造函数，证明且即可）例1 时练习（1）当时（2）（3）时例2（求两次导）练习（1）时（2）例3提示：令，得，又（3）（若则是单减（增）的例：设函数在时二阶可微，且，证明对任意的正数提示；由得在是单减的。在用中值定理：在用中值定理：，则得3 证明方程有唯一实根（先用连续函数零点存在定理证明根的存在性，证明函数单调性来证明根的唯一性）例 1 证明在只有唯一实根。练习 证明 方程有唯一实根提示令，练习 在上连续可导，。证明在只有一个实根。例2 证明只有一个正根提示，是驻点练习 证明方程在有唯一实根例3 方程仅有两个实根提示则例3讨论方程的实根的个数提示令二 函数的凸凹性（一）理论1：定义1：设在区间上连续，若对任上任意两点，恒有那么称在区间的图形是凸的。若对任上任意两点，恒有那么称在区间的图形是凹的。注（1）在区间的图形是凸的几何意义为：在这段弧任取两点，则连接这两点间的弦总位于这两点间的弧段的下方；在区间的图形是凹的几何意义为：在这段弧任取两点，则连接这两点间的弦总位于这两点间的弧段的上方；（2）在区间的图形是凸的等价于在区间的图形是凹的等价于（请证明）定义2：若一点两边的凸凹性不一致，称该点为拐点。2 凸凹性的判定定理定理：设在区间可微的且在区间单减的（单增的），则在区间的图形是凸的（凹的）推论：若在区间有在区间则在区间的图形是凸的若在区间有在区间则在区间的图形是凹的（我们更多的应用该定理）故若一点它两边的二阶导数的符号改变则它是拐点。（二）举例1找出凸凹区间及拐点例1 判断下列曲线的凸凹性（找出定义域，求出二阶导数，找出二阶导数的符号区间）（1） （2）提示（1）对定义域为，（2）对定义域为，例2 求曲线的凹凸区间及拐点例3 证明有三个拐点位于同一直线上。例4求使为函数的驻点，且使曲线过，并有拐点例5设有二阶连续导数，且，则（A）是的极大值，（B）是的极大值（C）是的拐点（D）不是的极值，也不是的拐点2证明不等式例（1） 证明 当，有 （2）证明 当有 三 函数的极值与最值（一）函数的极值与最值定义1：设函数在的某个邻域满足对任意的有（），则称为函数的极小值点（极大值点），统称极值点是极小值（极大值），统称极值注：极值是局部的最值但不一定是最值。2函数的极值与最值判定方法（1）函数的极值的判定定理1：（必要条件）（费马定理）设函数在可微，且为极值点，则注（1）不一定是极值点。例在处不是极值点但（2）称导数为零的点为驻点，由定理可知极值点只会在驻点和不可导产生。定理2：若函数满足（1）时，时，则是极小值点（2）时，时，则是极大值点注：也适合不可导点定理3：若函数，且。（1）若，则是极小值点（2）若，则是极大值点推广若函数在有阶导，且，则（1）为偶数时是极值点。且时，则是极小值点；且时，则是极大值点；（2）为奇数时不是极值点（利用泰勒公式可证明）当然极值点的定义也是一种方法（2）函数的最值判定（1）闭区间上的连续函数一定有最大最小值，最大最小值点在驻点不可导点和端点产生。故只需计算这些点的函数值，然后比较其大小可得最大最小值（2）对函数在一般的区间连续，但不一定是闭区间，则函数不一定有最大最小值。但若函数有唯一的极大值（极小值），则函数有最大值（最大），唯一的极大值（极小值）就是最大值（最小值）（3）在实际问题中最大值（最小值）一定存在情况下，若能在区间内部取得唯一驻点，则该驻点一定是最大值（最小值）（二）举例1极值问题举例（定义；不可导点和驻点）例1：（利用定义）已知在的一邻域中连续，证明处取极小值。例2 （1）（2）（3）练习（1）（2）例3函数由确定，求函数的极值点。例4 为何值时为函数的极值点。2最值问题举例（1） 求最值例1求下列函数的最值（1），（2）（3）例2 求的值域（2） 证明不等式 例（1）当时（2）时（3）判断方程解的个数例（1）当时讨论方程的实根个数（3） 讨论曲线与交点的个数四 函数图形的描绘（一）曲线的渐近线1水平渐近线，若或，或称是水平渐进线例：，是的水平渐进线，是的水平渐进线，是水平渐进线2：垂直渐近线，若称是垂直渐进线例：，是的垂直渐进线，是的垂直渐进线3：斜渐近线若直线满足，则称直线为斜渐进线。由定义可知，例求渐进线（1），所以垂直渐进线（2），所以斜渐进线（二）函数图形的描绘1步骤（1）确定函数的定义域、间断点。（2）讨论函数的周期性、奇偶性、渐进线。（3）求，用一阶、二阶不可导导点及、，分割定义域为小区间。（4）在每个小区间讨论符号以确定函数的单调性和凹凸性，极值点和拐点。用表格表示出来。（5）补充适当的点，进行图形描绘。例：1作函数的图形（1） 函数的定义域为（2） 函数为奇函数（故需画即可），故是垂直渐进线，所以斜渐进线（3） ，得；，得 羈羁薈蚇羈膃莁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袇羅肈节螃羄膀蒇虿肃节芀薅肂羂蒅蒁肂肄芈螀肁芆蒄螆肀荿莆蚂聿肈薂薈肈膁莅袇肇芃薀螃膆莅莃虿膆肅蕿薅螂膇莁蒁螁莀薇衿螀聿蒀螅蝿膂蚅蚁蝿芄蒈薇螈莆芁袆螇肆蒆螂袆膈艿蚈袅芀蒅薄袄肀芇薀袃膂薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀袁肇莄薆羀腿蕿蒂罿芁莂螁羈羁薈蚇羈膃莁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袇羅肈节螃羄膀蒇虿肃节芀薅肂羂蒅蒁肂肄芈螀肁芆蒄螆肀荿莆蚂聿肈薂薈肈膁莅袇肇芃薀螃膆莅莃虿膆肅蕿薅螂膇莁蒁螁莀薇衿螀聿蒀螅蝿膂蚅蚁蝿芄蒈薇螈莆芁袆螇肆蒆螂袆膈艿蚈袅芀蒅薄袄肀芇薀袃膂薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀袁肇莄薆羀腿蕿蒂罿芁莂螁羈羁薈蚇羈膃莁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袇羅肈节螃羄膀蒇虿肃