多项式和线形方程组的求解.doc

膆蚆蝿羃蒄螅袁膈莀螄羃羁芆螃蚃膆节螂袅聿薁螂羇芅蒇螁肀肇莃螀蝿芃艿莆袂肆膅蒆羄芁蒄蒅蚄肄莀蒄螆芀莆蒃羈膂节蒂肁羅薀蒁螀膁蒆蒀袃羃莂蒀羅腿芈蕿蚄羂膄薈螇膇蒃薇罿羀葿薆肁芅莅薅螁肈芁薄袃芄膇薄羆肇蒅薃蚅节莁蚂螈肅芇蚁袀芀膃蚀肂肃薂虿螂羆蒈蚈袄膁莄蚈羇羄芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒄螅袁膈莀螄羃羁芆螃蚃膆节螂袅聿薁螂羇芅蒇螁肀肇莃螀蝿芃艿莆袂肆膅蒆羄芁蒄蒅蚄肄莀蒄螆芀莆蒃羈膂节蒂肁羅薀蒁螀膁蒆蒀袃羃莂蒀羅腿芈蕿蚄羂膄薈螇膇蒃薇罿羀葿薆肁芅莅薅螁肈芁薄袃芄膇薄羆肇蒅薃蚅节莁蚂螈肅芇蚁袀芀膃蚀肂肃薂虿螂羆蒈蚈袄膁莄蚈羇羄芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒄螅袁膈莀螄羃羁芆螃蚃膆节螂袅聿薁螂羇芅蒇螁肀肇莃螀蝿芃艿莆袂肆膅蒆羄芁蒄蒅蚄肄莀蒄螆芀莆蒃羈膂节蒂肁羅薀蒁螀膁蒆蒀袃羃莂蒀羅腿芈蕿蚄羂膄薈螇膇蒃薇罿羀葿薆肁芅莅薅螁肈芁薄袃芄膇薄羆肇蒅薃蚅节莁蚂螈肅芇蚁袀芀膃蚀肂肃薂虿螂羆蒈蚈袄膁莄蚈羇羄芀蚇蚆膀膆蚆蝿羃蒄螅袁膈莀螄羃羁芆螃蚃膆节螂袅聿薁螂羇芅蒇螁肀肇莃螀蝿芃艿莆袂 实验2 多项式和线形方程组的求解一、实验目的学会用MATLAB软件求解多项式和线形方程组.二、实验内容与要求1. 多项式的表达式（1） 用降幂排列的多项式的系数向量表示【例1.6】对多项式p=+ -5x+6和s= +2x+3，用多项式的系数表示为 p=1,2,0,-5,6; s=1,2,3;（2） 从矩阵求其特征多项式获得【例1.7】 A=1,2,3;2,3,4;3,4,5; p=poly(A)p = 1.0000 -9.0000 -6.0000 -0.0000（3） 由根创建多项式【例1.8】 r=1,4,8; %已知多项式的根为（1，4，8） p=poly(r) p = 1 -13 44 -32 poly2sym(p) %将多项式的向量表示转变为符号形式ans = x3-13*x2+44*x-32注意：如果多项式系数有小的虚部，可用p=来消除.2. 多项式的加减乘除【例1.9】求例1。6中多项式p，s的和、差、积、商. p=1,2,0,-5,6; s=0,0,1,2,3; %多项式加法，向量ps必须同维，s扩维成s=0,0,1,2,3 p+sans = 1 2 1 -3 9 p-s %多项式减法，向量p，s必须同维ans =1 2 -1 -7 3 conv(p,s) %求多项式的乘积，也是向量p，s的卷积ans = 0 0 1 4 7 1 -4 -3 18问题1.8：向量的除法，除数不能为零，这里s的第一个元素为零，怎么办？解决方法有两种，当s=0,0,1,2,3时，输入q,r=deconv(p,s（35）)，或把s仍输为 s=1,2,3，则q,r=deconv(p,s). p=1,2,0,-5,6;s=1,2,3; q,r=deconv(p,s) %求多项式p除以s的商q和余项r，也是向量卷积运算q = 1 0 -3r = 0 0 0 1 15即两多项式相除商为，余项为x+15.3. 求多项式的根格式：r=roots(p) %求多项式p的根，即p(x)=0方程的解pc=compan(p) %求多项式p的伴随矩阵r=eig(pc) %多项式p的伴随矩阵的特征值等于多项式p的根【例1.10】求多项式p=+2x+6的根解一： p=1,2,6; r=roots(p)结果为：r = -1.0000 + 2.2361i -1.0000 - 2.2361i解二： pc=compan(p); r1=eig(pc)r1 = -1.0000 + 2.2361i -1.0000 - 2.2361i即多项式p=的根为一队共轭虚数.4. 多项式的微分和赋值运算格式： d=polyder(p) %求多项式p的一阶微分.d=polyder(p,s) %求多项式p，s乘积的一阶微分.q,dpolyder(p,s) %求多项式p，s商的一阶微分，q为分子，d为分母.y=polycal(p,a) %计算x=a时多项式p的值.7. 利用矩阵LU，QR和Cholesky分解求方程组的解（1）LU分解LU分解又称Gauss消去分解，可把任意方阵A分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积，即A =LU. 命令L,U=lu(A)可求得L与U .则方程AX=b变成LUX=b.所以，X=U(Lb).所以，X=U(Lb).（2）Cholesky分解若A为对称正定矩阵，则Cholesky分解可将矩阵A分解成上三角矩阵和其转置的乘积，即A=RR，其中，R为上三角阵，命令R=chol(A)可求得R.则方程AX=b变成RRX=b.所以，X=R(Rb).（3）QR分解对于任何矩阵A，都可以进行QR分解，其中Q为正交阵，R为上三角矩阵的初等变换形式，即A=QR，命令Q,R=qr(A)可求得Q，R.则方程AX=b变形成QRX=b.所以，X=R(Qb).说明：这3种分解，在求解大型方程组时很有用，其优点是运算速度快、可以节省磁盘空间、节省内存.【例1.14】 用上述（1），（3）两种方法求解俐1.12中的线形方程组.解一： L,U=lu(A)L = 0.3333 0.3810 1.0000 0.5000 1.0000 0 1.0000 0 0U = 6.0000 5.0000 4.0000 0 3.5000 6.0000 0 0 1.3810 X=U(Lb)X = 0.2759 12.3793 -5.1379解二： Q,R=qr(A)Q = -0.2857 -0.2458 -0.9263 -0.4286 -0.8317 0.3529 -0.8571 0.4978 0.1323R =Aw -7.0000 -7.7143 -8.2857 0 -3.2388 -5.8916 0 0 -1.2791 X=R(Qb) X = 0.2759 12.3793 -5.1379三、练习和思考 输入任意两个多项式，并进行加减乘除运算，注意它们的结果。 求上面的两个多项式的根，并进行逆运算。 求上面的两个多项式的一阶导数，并求 x=0:0.2:2 对应的多项式的值。 求解下列线性方程组。 X1+X2+3X3-X4=-2 X1-4X2+2X3=0 X2-X3+X4=1 2X2-X3=0 X1+X2+2X3+2X4=4 -X1+2X2-X3=0 X1-X2+X3-X4=0 表1.4 数据格式命令说明命 令数据显示（以sqrt(2)为例说 明format short1.4142短格式，显示5位format long1.41421356237310长格式，显示15位format short e1.4142e+000最优化短格式，5位加指数format long e1.41421356237310e+000最优化长格式，15位加指数format hex3ff6a09e667f3bed十六进制format bank1.41货币银行格式，小数点后2位format rat1395/985有理格式format +紧密格式，显示数据+，-，0 蒈薈袈莇蚄袆袇肆蒇袂袇艿螂螈袆莁薅蚄袅蒃莈羃袄膃薃衿袃芅莆螅羂莈薂蚁羁肇莄薇羁腿薀羅羀莂莃袁罿蒄蚈螇羈膄蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈肅肈蚅螄肅膀蒈蚀肄芃蚃薆肃蒅蒆羅肂膅荿袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈腿膁莅袇膈芃薁螃膇莆莄虿膆膅蕿蚅膅芈蒂羄膄莀蚇袀膃蒂蒀螆膃膂蚆蚂衿芄蒈薈袈莇蚄袆袇肆蒇袂袇艿螂螈袆莁薅蚄袅蒃莈羃袄膃薃衿袃芅莆螅羂莈薂蚁羁肇莄薇羁腿薀羅羀莂莃袁罿蒄蚈螇羈膄蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈肅肈蚅螄肅膀蒈蚀肄芃蚃薆肃蒅蒆羅肂膅荿袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈腿膁莅袇膈芃薁螃膇莆莄虿膆膅蕿蚅膅芈蒂羄膄莀蚇袀膃蒂蒀螆膃膂蚆蚂衿