反函数的单调性和奇偶性及其相互关系.doc

蚇袄芀蒄薃袃莂芆羁袃膂薂袇袂芄莅螃袁莆薀虿袀肆莃薅衿膈蕿袄羈芀莁螀羇莃薇蚆羇肂莀蚂羆芅蚅薈羅莇蒈袇羄肇蚃螃羃腿蒆虿羂芁蚂薅肁莄蒄袃肁肃芇蝿肀膆蒃螅聿莈芆蚁肈肈薁薇肇膀莄袆肆节蕿螂肆莄莂蚈膅肄薈薄膄膆莀袂膃艿薆袈膂蒁荿螄膁膁蚄蚀螈芃蒇薆螇莅蚃袅螆肅蒅螁袅膇蚁蚇袄芀蒄薃袃莂芆羁袃膂薂袇袂芄莅螃袁莆薀虿袀肆莃薅衿膈蕿袄羈芀莁螀羇莃薇蚆羇肂莀蚂羆芅蚅薈羅莇蒈袇羄肇蚃螃羃腿蒆虿羂芁蚂薅肁莄蒄袃肁肃芇蝿肀膆蒃螅聿莈芆蚁肈肈薁薇肇膀莄袆肆节蕿螂肆莄莂蚈膅肄薈薄膄膆莀袂膃艿薆袈膂蒁荿螄膁膁蚄蚀螈芃蒇薆螇莅蚃袅螆肅蒅螁袅膇蚁蚇袄芀蒄薃袃莂芆羁袃膂薂袇袂芄莅螃袁莆薀虿袀肆莃薅衿膈蕿袄羈芀莁螀羇莃薇蚆羇肂莀蚂羆芅蚅薈羅莇蒈袇羄肇蚃螃羃腿蒆虿羂芁蚂薅肁莄蒄袃肁肃芇蝿肀膆蒃螅聿莈芆蚁肈肈薁薇肇膀莄袆肆节蕿螂肆莄莂蚈膅肄薈薄膄膆莀袂膃艿薆袈膂蒁荿螄膁膁蚄蚀螈芃蒇薆螇莅蚃袅螆肅蒅螁袅膇蚁蚇袄芀蒄薃袃莂芆羁袃膂薂袇袂芄莅螃袁莆薀虿袀肆莃薅衿膈蕿袄羈芀莁螀羇莃 原、反函数的单调性和奇偶性及其相互关系北京十二中特级教师刘文武 “函数是高中数学的重要内容之一，函数的基础知识在数学和其他许多学科中有着广泛的应用；函数与代数式、方程、不等式、三角函数、数列内容联系非常密切；函数是进一步学习数学的重要基础知识；函数的概念是运动变化和对立统一等观点在数学中的具体体现；函数概念及其反映出的数学思想方法已广泛渗透到数学的各个领域。”以上这段话是笔者摘自人教社高中数学第一册（上）第二章“函数“的章头的话（见P45），它指出了函数在中学数学中的地位和作用。正因为如此，它也成了高考数学中的重中之重。深刻理解和掌握函数（原函数、反函数）概念及其性质（单调性、奇偶性、周期性）是学好函数的关键。本文旨在从教材出发，探讨总结原、反函数的单调性和奇偶性及其相互关系，重在“相互关系”上。然而要把握它们之间的相互关系，首先就要求对教材中的基本概念有全面、深入、正确的理解。一、 知识整理1、 映射定义：设A，B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f），叫做集合A到集合B的映射，记作：f：AB（P47）一一映射定义：设A，B是两个集合，f：AB是集合A到集合B的映射，如果在这个映射下，对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A到B上的一一映射。（P48）2、 函数定义：如果，都是非空的数集，那么到的映射f：AB就叫做到的函数，记作y=f (x )，其中xA，yB，原象的集合叫做函数y=f (x)的定义域，象的集合（）叫做函数y=f (x)的值域。（P51）反函数定义：函数y=f (x) (xA)中，设它的值域为C，我们根据这个函数中x，y的关系，把y用x表示出，得到x=?（y）。如果对于y在C中的任何一个值，通过x=?（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么x=?（y）就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=?（y）（yC）叫做函数y=f (x)（xA）的反函数，记作：x=f-1 (y)在函数x=f-1(y)中，y是自变量，x表示函数，但在习惯上，我们一般用x表示自变量，用y表示函数，为此我们常常对调函数x=f-1(y)中的字母x，y，把它改写成y= f-1(x)。（P66）3、 函数单调性定义：增（减）函数定义：设函数f (x)的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f (x2)，那么就说f (x)在这个区间上是增函数；如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时，都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数。（P58）4、 函数的奇偶性的定义：偶函数定义：如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f (x)就叫做偶函数。奇函数定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f (x)就叫做奇函数。(P61)二、 发现联系概念是思维的细胞，笔者之所以不厌其详地照抄课本上的这些概念并把他们放在一起，一是许多同学不会读书，不重视概念，不会在比较中寻求概念之间的联系；二是想通过对这些概念的比较既加深理解又期望发现他们之间的一些联系： 反函数与原来函数的关系 函数的反函数，本身也是一个函数，由反函数的定义，原来函数也是其反函数的反函数，故函数的原来函数与反函数互称为反函数。反函数的定义域与值域分别是原来函数的值域与定义域。只有确定函数的映射是一一映射的函数才存在反函数，由此得出下面点：偶函数必无反函数。单调函数必有反函数。奇函数如果有反函数，其反函数也是奇函数。原函数与其反函数在他们各自的定义域上单调性相同。互为反函数的图象间的关系。函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线yx对称，关于这一关系的理解要注意以下三点：i）函数y=f (x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称，这个结论是在坐标系中横坐标轴为x轴，纵坐标轴为y轴，而且横坐标轴与纵坐标轴的单位长度一致的前提下得出的；ii）（a,b）在y=f (x)的图象上（b,a）在y=f-1(x)的图象上；iii）若yf (x)存在反函数y=f-1(x)，则函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称的充分必要条件为f (x)f-1(x)，即原、反函数的解析式相同。 函数的单调性与奇偶性之间的关系：P62例已知函数y=f(x)在上是奇函数，而且在（，）上是增函数，证明y=f(x)在（，）上也是增函数，从此题中可总结出：奇函数在定义域内关于原点对称的区间上单调性相同。P63练习，已知函数y=f(x)是偶函数，而且在（，）上是增函数，判断y=f(x)在（，）上是增函数还是减函数？P65习题2、3第8题：已知函数f(x)是偶函数，而且在（0，+）上是减函数，判断f(x)在(-,0)上是增函数还是减函数，并证明你的判断。由于偶函数的图象关于y轴对称，不难从这两题得出共同的结论：偶函数在定义域内关于原点对称的区间上单调性相反。3单调函数的一些性质：单调函数在其开单调区间上既无最大值也无最小值；单调函数在其闭单调区间上既存在最大值又存在最小值；在公共定义域上，若干个单调增（减）函数的和函数仍是单调增（减）函数；在公共定义域上，两个单调性相反的函数的差函数的单调性与被减函数单调性相同。y=af(x)+b(a0,bR)与y=f(x)的单调性相同；y=af(x)+b(a0); y=kx+b(k0);y=x,y=x3,y=x2k+1(kN);y=ex,y=lnx,y=ax(a1),y=logax(a1)等；在定义域上单调减的函数：y=kx(k0); y=kx+b(k0,a1) y=loga(x+（x2+1）),y=loga（1-x）/（1+x）等；偶函数：y=x2,y=x2n,y=（ax+a-x）/2(a0,a1),y=cosx,y=x等。互为反函数的函数y=x2n+1与y=2n+1n;y=ax与y=logax(a0,a1);y=（ax-a-x）/2与y=loga(x+（x2+1）) (a0且a1)；y=（1-ax）/（1+ax）与y=loga（1-x）/（1+x）等。有了以上准备，我们来解以下诸题：例1.F(x)=(1+2/（2x-1）)f(x)(x0)是偶函数，且f(x)不恒等于零。则f(x)（A）是奇函数 （B）是偶函数 （C)能是奇函数也可能是偶函数 （D）不是奇函数也不是偶函数分析本题是93年高考试题第8题，主要考查函数的奇偶性，以及基本的运算能力。判断奇偶性，既可以用定义，也可以利用运算性质，由此得出不同的判断思路。还(1+2/（2x-1）)以本来面目：1+2/（2x-1）=（2x-1+2）/（2x-1）=（2x+1）/（2x-1）,它就是课本P106第15题第（1）题给出的函数y=（2x+1）/（2x-1）。解法1：F(x)=(1+2/（2x-1）)f(x)=（2x+1）/（2x-1）f(x),(x0)又F(x)是偶函数，即F(-x)=F(x)（2-x+1）/（2-x-1）f(-x)=（2x+1）/（2x-1）f(x)（2-x+1）/（2-x-1）=（1+2x）/（1-2x）=-（2x+1）/（2x-1）f(-x)=-f(x)(x0)又f(x)不恒等于零，所以f(x)是奇函数解法2，由题设得：F(x)=(1+2/(2x-1)f(x)=(2x+1)/(2x-1)f(x)(x0)f(x)=(2x-1)/(2x+1)F(x)注意到F(x)是偶函数，g(x)=(2x-1)/(2x+1)=(2x/2-2-x/2)/(2x/2+2-x/2)是奇函数，且f(x)0由P106第12题结论，立得f(x)是奇函数，选（A）评注：本题的关键是判断函数(1+2/(2x-1)的奇偶性，而它是函数(2x+1)/(2x-1)隐藏了原来面目后得到的。注意到恒等变形(2x+1)/(2x-1)=(2x/2+2-x/2)/(2x/2-2-x/2),它与(ax+a-x)/(ax-a-x)有一样的结构，因而f(x)=(ax+a-x)/(ax-a-x)(a0,a1)必是奇函数，再变形有f(x)=(a2x+1)/(a2x-1)，它也是奇函数，无独有偶，一九八四年全国高中数学联赛试题第5题如下：5若a0,a1,F(x)是一奇函数，则G(x)=F(x)(1/(ax-1)+1/2)是：（A）奇函数 （B）偶函数 （C）不是奇函数也不是偶函数 （D）奇偶性与a的具体数值有关请读者自行研究该题的解法并与例1相对照，能否从例1中看到该题的影子？进而体会到高考命题专家命题的“一招”？例2函数y=(ex-e-x)/2的反函数（A） 是奇函数，它在(0,+)上是减函数（B） 是偶函数，它在(0,+)上是减函数（C） 是奇函数，它在(0,+)上是增函数（D） 是偶函数，它在(0,+)上是增函数分析：这是1992年高考数学试题选择题第（16）题，函数y=(ex-e-x)/2源于课本复习参考题，如果求出函数y=(ex-e-x)/2的反函数再进一步判定其奇偶性及在区间(0,+)上的单调性，则无异于一道综合大题，参看下面思路3，如果对上面原、反函数的奇偶性、单调性及其相互关系了然于胸，则解答本题无异于一种精神享受：眉头一皱，解（计）上心来。解法1：由偶函数不存在反函数，排除(B)、(D）；由e2.718281,ex是增函数，e-x=(1/e)x是减函数，从而ex-e-x是增函数，进而1/2(ex-e-x)是增函数，排除（A），选（D）。解法2：同样是由偶函数没有反函数排除(B)、(D)；由原反函数在各自定义域上单调性相同，y=（ex-e-x）/2的单调性就决定了其反函数的单调性，取(0,+)内两个特殊值x1=ln2,x2=ln4试一试，立得（eln2-e-ln2）/2=1/2(2-1/2)=3/4,（eln4-e-ln4）/2=1/2(4-1/4)=15/8,由3/40，且2y=t-1/t,即：t2-2yt-1=0解得：t=y（1+y2）因为t0,所以t=y+（1+y2）,由ex=t得x=lnt,即x=ln(y+（1+y2）),故y=（ex-e-x）/2的反函数为y=f(x)，其中f(x)=ln(x+（1+x2）),f(-x)=ln(-x+（1+(-x)2）)=ln（(1+x2)-x2）/（x+（1+x2）=-ln(x+（1+x2）)=-f(x)即：f(x)是奇函数。任取x1,x2满足0x1x2,则f(x2)-f(x1)=ln（x2+（1+x22）/（x1+（1+x12）,(x2+（1+x22）)-(x1+（1+x12）)=(x2-x1)+(（1+x22）-（1+x12）)=(x2-x1)+(1+x2)2-(1+x12)/(1+x22)+(1+x12)=(x2-x1)1+(x2+x1)/(1+x22)+(1+x12)0,x2+(1+x22)x1+(1+x12),又x1+(1+x12)0,(x2+(1+x22)/(x1+(1+x12)1，从而得ln(x2+(1+x22)/(x1+(1+x12)0,f(x2)-f(x1)0,即f(x)在(0,+)上是增函数。综合可得答案（C）。评注：该题对数学知识和数学能力的考查，既综合又深刻，它取材于互为反函数的两个函数在奇偶性与单调性上的相互关系，考查的知识点多，思辨性强，灵活与呆板之间，解法耗时极其悬殊。例3已知f(x)=asinx+b3x+4(a,b为实数)且f(lglog310)=5,则f(lglg3)的值是：（A）-5; (B)-3; (C)3; (D)随a,b取不同值而取不同值这是1993年全国高中数学联赛第一试第2题，如果一下子难以看透题目的结构的话，让我们先来看一个稍微容易一些的题目：已知f(x)=x3+ax3+bx-8，且f(-2)=10，则f(2)等于（ ）（A）-26; (B)-18; (C)-10; (D)10分析：注意到f(x)解析式中的x5+ax3-bx，若以g(x)记之，即g(x)=x5+ax+bx,则立刻可以看出g(x)是奇函数，g(-x)=-g(x),g(-x)+g(x)=0,故f(x)=g(x)-8，f(-x)=g(-x)-8,+得f(x)+f(-x)=g(x)-8+g(-x)-8=g(x)+g(-x)-16=0-16=-16,所以f(x)=-16-f(-x)，以x=2代入式，立得f(2)=-16-f(-2)=-16-10=-26，选（A）解：选（A）评述：这里用到了整体化的思想，视x5+ax3+bx为一个整体g(x)，g(x)+g(-x)=0是解题的关键。这时回过头来再看例3，视asinx+b3x=g(x),由于log310=1/lg3,tglog310=lg1/tg3=-lglg3,你是否看到了希望的曝光？以下数例均选自高考试题，请读者自行解答，并从中体会单调性与奇偶性相互关系的解题妙用。例4(2001年全国高考)设f(x)、g(x)都是单调函数，有如下四个命题： 若f(x)单调递增，g(x)单调递增，f(x)-g(x)单调递增； 若f(x)单调递增，g(x)单调递减，f(x)-g(x)单调递增； 若f(x)单调递减，g(x)单调递增，f(x)-g(x)单调递减； 若f(x)单调递减，g(x)单调递减，f(x)-g(x)单调递减；其中真命题的序号是：（ ）（A） （B） （C） （D）例5（1991全国高考）如果奇函数f(x)在区间3，7上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间-7，-3上是（ ）（A）增函数且最小值为-5 （B）增函数且最大值为-5（C）减函数且最小值为-5 （D）减函数且最大值为-5例6（1997年全国高考）定义在区间（-，+）上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间0，+）上的图象与f(x)图象重合，设ab0，给出下列不等式：f(b)-f(-a)g(a)-