浅谈怎样培养学生树立以退为进的策略意识.doc

芈薅螇蚈羇莈蚃蚈肀薃蕿蚇膂莆蒅螆芄腿螄螅羄莄蚀螄膆膇蚆螃艿蒃薂螂羈芅蒈螂肁蒁螆螁膃芄蚂螀芅葿薈衿羅节蒄袈肇蒈莀袇艿芀蝿袆罿薆蚅袆肁荿薁袅膄薄蒇袄芆莇螆袃羆膀蚂羂肈莅薈羁膀膈蒄羁袀莄蒀羀肂芆螈罿膅蒂蚄羈芇芅薀羇羇蒀蒆肆聿芃螅肅膁蒈蚁肅芃芁薇肄肃蒇薃蚀膅荿葿虿芈薅螇蚈羇莈蚃蚈肀薃蕿蚇膂莆蒅螆芄腿螄螅羄莄蚀螄膆膇蚆螃艿蒃薂螂羈芅蒈螂肁蒁螆螁膃芄蚂螀芅葿薈衿羅节蒄袈肇蒈莀袇艿芀蝿袆罿薆蚅袆肁荿薁袅膄薄蒇袄芆莇螆袃羆膀蚂羂肈莅薈羁膀膈蒄羁袀莄蒀羀肂芆螈罿膅蒂蚄羈芇芅薀羇羇蒀蒆肆聿芃螅肅膁蒈蚁肅芃芁薇肄肃蒇薃蚀膅荿葿虿芈薅螇蚈羇莈蚃蚈肀薃蕿蚇膂莆蒅螆芄腿螄螅羄莄蚀螄膆膇蚆螃艿蒃薂螂羈芅蒈螂肁蒁螆螁膃芄蚂螀芅葿薈衿羅节蒄袈肇蒈莀袇艿芀蝿袆罿薆蚅袆肁荿薁袅膄薄蒇袄芆莇螆袃羆膀蚂羂肈莅薈羁膀膈蒄羁袀莄蒀羀肂芆螈罿膅蒂蚄羈芇芅薀羇羇蒀蒆肆聿芃螅肅膁蒈蚁肅芃芁薇肄肃蒇薃蚀膅荿葿虿芈薅螇蚈羇莈蚃蚈肀薃蕿蚇膂莆蒅螆芄腿螄螅羄莄蚀螄膆膇蚆螃艿蒃薂螂羈芅蒈 浅谈怎样培养学生树立“以退为进”的策略意识台山市华侨中学 李春苑数学教学的目的，不仅仅是向学生传授知识，更重要的是培养他们的能力，这是数学教学的核心问题。长期以来，人们渴望找到一种魔力无边的方法，它能解决所有问题，然而这仅仅是一厢情愿的幻想，事实上“包治百病的万应灵丹”是不存在的。但这也决非无章可循，无法可依。在数学学习中，我们反复强调狠抓基础知识的掌握和基本技能的训练，这无疑是正确的。但是解决问题并不是基础知识的简单堆砌，也不是基本技能技巧的随意组合，而是沟通条件和结论的成功的严密逻辑推理过程。在教学中，教师不厌其烦地向学生讲授数学基础知识，介绍各种解题方法，课堂上学生似乎也弄懂了，可是一拿到题目，学生往往束手无策，所学的知识总是派不上用场。究其原因是多方面的，而其中重要的原因之一就是缺乏科学的策略意识。“以退为进”就是必须掌握的一种重要策略。著名数学家华罗庚教授说过：“善于退，足够地退，退到最原始而又不失重要性的地方是学好数学的一个诀窍。”在解数学题中，一时难以入手或感到困惑时，我们不妨先“退”下来，退到容易看清问题的本质，容易发现求解的规律和方法的地方，钻透了，然后再“上”来求解原问题，此即“以退为进”的解题策略。下面以高中数学的几个实例谈谈如何培养学生树立“以退为进”的策略意识。一、由一般退到特殊例1 如图，三棱柱的体积为V，P、Q分别是侧棱、上的点，且，求四棱锥的体积。分析：此题条件甚少，分别求四棱锥的高、底面积很难，但题目暗示我们：只要满足，就是一个定值，因此将P、Q“退”到特殊位置,使，此时四棱锥变为三棱锥即三棱锥，因三棱锥与三棱柱等底等高，故。再回到一般情形，目标明朗了，为此只需证得S梯形ACQP=（证略），便可求得VB-ACQP=。二、由抽象退到具体例2 若对于不为零的常数m和任意实数x，满足f(x+m)=，试判断f(x)是否为周期函数。分析：本题函数抽象，一时难以入手，但容易联想到题中等式与结构类似，故可试将题中函数由抽象“退”到具体，“退”为函数f(x)=tgx，因这函数是周期函数，且周期恰为的4倍，由此猜测原函数也是周期函数，且周期为4m。证明：=是周期为的函数。注：本题若不由抽象“退”到具体，从而猜出的周期，则很难判定它的周期性。三、由综合退到单一例3计算：分析：初看此题，可谓“山穷水尽疑无路”。先取单一的n值看一看：当n=1时，；当n=2时，；当n=3时，；至此“柳暗花明又一村”。可以推测原式。事实上，原式四、由整体退到局部例4以四面体各面的重心为顶点得到一个新四面体，求两个四面体的全面积之比。分析：本题从整体上考虑，则难以入手，可从整体“退”到部分加以考虑，即从一面的关系着手研究，可得下列解法。解：如图，设A1、B1、C1、D1分别是BCD、ACD、ABD、ABC的重心，分别在棱AB、AC、AD上截取AG=AB、AE=AC、AF=AD，则由平几知识知B1、C1、D1分别为EF、FG、GE的中点，由B1C1D1GEF，GEFBCD，故， ，两式相乘得：，同理可证其它各对应面面积之比也为，故新四面体与原四面体的全面积之比为。五、由高锥退到低锥例5证明正n面体内任一点到各个面的距离之和是一定值。（1）分析：刚接触此题，不知从何入手，将它降维到平面来探求证明途径：是否有“正n边形内任一点到各边的距离之和是一定值。”（2）再“退”一步，先取最简单的正n边形正三角形来研究：如图，设正ABC的边长为a，面积为s，OD、OE、OF的长是点O到各边的距离，则,故OD+OE+OF=（定值）。依样画葫芦可证（2），至此“坚冰已经打破，航道已经指明”。再来解决命题（1）就易如反掌了：将正n面体内的点O与各顶点连结得到n个棱锥，设点O到各面的距离分别为h1、h2hn，正n面体各面的面积均为s，体积为V，则V=(h1+h2+hn)，故h1+h2+hn=（定值）。六、由复杂退到简单例6作球的外切正三棱柱，再作出正三棱柱的外接球，求这两个球的表面积的比。分析：此题应求出大、小两球的半径比，易知这必须通过它们与三棱柱的关系（如底面边长）去解决。因此题涉及多个几何体，若把它们都画在一个图上，图形复杂，不仅不易画出，而且纵然画出了也会因线条重叠干扰我们看清它们的关系。为此可将此复杂的几何体分解为两个较简单的图形，如图（1）、（2）。为弄清小球半径与三棱柱底面边长的关系，可进一步将图（2）简单化，即过球心作出三棱柱的直截面，如图（3）。图（1） 图（2） 图（3）解：设大、小两球的半径、三棱柱的底面边长分别为R、r、a，球心为O，正ABC的中心为O1，由图（3）知,，由图（1）知O1B= ,OB2=O1O2+O1B2,R2=r2+，从而S小球S大球=r2R2=15。 螅羄莄蚀螄肆膇蚆螃艿蒃薂螂羈芅蒈螂肁蒁莄螁膃芄蚂螀袃葿薈衿羅节蒄袈肇蒈莀袇腿芀蝿袆罿肃蚅袆肁荿薁袅膄膁蒇袄袃莇莃袃羆膀蚂羂肈莅薈羁膀膈蒄羁袀莃蒀羀肂膆螈罿膅蒂蚄羈芇芅薀羇羇蒀蒆薄聿芃莂蚃膁蒈蚁蚂袁芁薇蚁羃蒇薃蚀膅荿葿虿芈膂螇蚈羇莈蚃蚈肀膁蕿蚇膂莆蒅螆袂腿莁螅羄莄蚀螄肆膇蚆螃艿蒃薂螂羈芅蒈螂肁蒁莄螁膃芄蚂螀袃葿薈衿羅节蒄袈肇蒈莀袇腿芀蝿袆罿肃蚅袆肁荿薁袅膄膁蒇袄袃莇莃袃羆膀蚂羂肈莅薈羁膀膈蒄羁袀莃蒀羀肂膆螈罿膅蒂蚄羈芇芅薀羇羇蒀蒆薄聿芃莂蚃膁蒈蚁蚂袁芁薇蚁羃蒇薃蚀膅荿葿虿芈膂螇蚈羇莈蚃蚈肀膁蕿蚇膂莆蒅螆袂腿莁螅羄莄蚀螄肆膇蚆螃艿蒃薂螂羈芅蒈螂肁蒁莄螁膃芄蚂