毕业论文—概率在中学教育中的应用.doc

概率在中学教育中的应用课题：概率在中学教育中的应用数学 石烁华摘 要：概率的应用范围很广泛，它也是数学最实用的学术方向之一. 因此，概率论也引入到了中学的教学内容之中，这将提高学生分析和解决实际问题的能力. 本文给出了概率在实际中的八个有趣应用. 前四偏向于趣味性，后四个偏向于应用性. 包括下赌注问题、决策问题、生日问题、小概率事件应用、等车问题、平安保险问题、责任追究问题，以及不需要码头空出的概率问题；这些都极具代表性，都代表一类问题的解决方法.关键词：趣味性，下赌注问题，小概率事件，平安保险，责任追究Abstract：The application of probability is very broad，and it is also one of the most practical mathematics academic directions. Therefore, the probability of introducing science content to the secondary school, and that this will enhance the students ability for analyze and solve practical problems. In this article the author cites eight interesting applications in the actual probability. The first four bias in favor of interest, and others bias in favor of the application. Consist of the bet issue, the decision making problem, the probability problem involved birthday of someone, the application of small probability events, the probability problem involved in waiting for the terminal (or bus), the probability of candidate taking, life insurance, as well as the problem of determining responsibilities. These are highly representative, on behalf of a class of the solution to the problem. Keyword：Interesting probability, bet issue, small probability events, life insurance, determining responsibility.0 引言概率理论在现实生活中得到广泛的应用，这是因为生活实际问题中都普遍存在着随机现象. 例如，我们在汽车站等候汽车大概要花费的时间，检查流水生产线上的一件产品是合格还是不合格；而且有些有趣的问题可能会与我们意识上认知不同，例如，同班同学至少有两个学生是同一天生日的可能性有多大；还有一些极小概率事件发生的可能性到底该引起我们什么样的认识；甚至包括一些疾病的确诊率的预测和决策问题等等. 所以本课题的研究内容就是通过概率知识去解决贴近生活的实际问题，意识得到概率在中学教育的中的地位是不可取代的. 1概率的趣味性应用随机现象存在于我们日常生活的方方面面和科学技术的各个领域，概率论是指导人们从事物表象看到其本质的一门科学。本文由现实生活中的部分现象探讨了概率的一些有趣性应用。1.1 下赌注问题最初人们认为概率论起源于赌博，我们来看这样一个故事背景，即概率的第一个有趣应用. 情景：17世纪末，法国的Chevalies DeMere 注意到在赌博中一对骰子抛25次，把赌注押到“至少出现一次双六”比把赌注“完全不出现双六”有利，但是他本人找不出原因，那么就我们所学的概率论知识如何解决呢？分析：首先弄清楚把赌注押到“至少出现一次双六”比把赌注“完全不出现双六”有利这句话是什么意思用数学语言怎样表达出来?我们记事件B：“至少出现一次双六”，即两颗骰子在一次抛投的过程中至少出现一次（6,6)，那“完全不出现双六”这个事件就是B的对立事件记作,B事件比有利的意思即为P(B)P()，又因为P(B)+ P()=1，故只要证明P(B)即可. 证明：我们知道两个骰子在抛投的时候一共可以出现以下36种情况，见表1.表1 1234561（1,1）（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）2（2,1）（2,2）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）3（3,1）（3,2）（3,3）（3,4）（3,5）（3,6）4（4,1）（4,2）（4,3）（4,4）（4,5）（4,6）5（5,1）（5,2）（5,3）（5,4）（5,5）（5,6）6（6,1）（6,2）（6,3）（6,4）（6,5）（6,6）我们看到出现一对双六即（6,6）的只有一种，因此一对骰子抛一次出现双六的概率为. 这其实在概率论中就称作是古典概型，基本事件总数A=66=36种，而有利事件总数只有一种，所以P(B)= ，P()=；设P(A)= ，P()=，i=1,2,，25.一对骰子抛25次可视为25次独立的随机试验；于是对所提的问题我们可视为25重的贝努里概型，因此要证明的不等式转为 P()而P()=1- P() =1-()=1-0.4945 =0.5055所以，在25次的抛投中把赌注押到“至少出现一次双六”比把赌注“完全不出现双六”有利，不过，我们反过来思考一下为什么是正好抛25次呢？抛的次数多了或少了会怎样呢？这只要在上面的不等式中把25换成n，看会出现什么结果. 即决定n使 P()而 P()=1- P() =1-()所以有 ()2,解得n=24.67故抛25次是起码的要求，少于25次不行. 当然抛的次数越多越有利，因为1-()=1即当次数趋于无穷多的时候，则必然会至少出现一次双六，这也是符合实际情况的. 1.2决策问题生活中我们会要根据一些所得的数据去改善我们的决策，但是决策必须是正确，符合科学的，如在医学上如何去判断药效的问题并做出相应的决策. 情景：在医学上知道某种疾病患者自然痊愈的概率为0.25，为了试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，若事先规定一个决策规则：如果这10个病人中至少有4个人治疗好了，则认为这种药是有效的，提高了痊愈率；反之，则认为这种药无效. 求：（1）虽然新药有效，并把痊愈率提高到0.35，但通过实验却被否定的概率； （2）新药完全无效，但通过试验却被判断为有效的概率. 分析：这是一个很有趣并有实用价值的问题. 对（1）而言，问题是说实际上新药有效，并把痊愈率提高到了0.35（这当然包括自然痊愈率在内）. 但试验中痊愈的人数不多于3个. 因此按照决策规则，认为此药无效，这显然是错误判断，在次我们可以将该试验看成一个10重贝努里试验：所以此人痊愈（“成功”）大概率为P=0.35，所以按照题意： P（否定新药）= =0 65+10*0.35*0.65+45*0.35*0.65+120*0.35*0.65 =0.5136对于（2），我们仍可以作为贝努里试验来处理，道理跟前面一样，但是我们可以这样一来计算吗？分析：因为“判断新药有效”这一事件等价于“10人中至少有4个治疗好”这一事件，而这一事件是“否定新药”这一事件的对立事件，所以我们得到 P（判断新药有效）=1- P（否定新药） =1-0.5136=0.4864因此很简单的就得到了结果！但是，我们说上面的这种做法是错误的. 上面算出的0.4864这个结果是判断“新药有效且痊愈率已提高到0.35”这一事件的概率. 而（2）所说的是要求“药完全无效却判断它有效”这一事件的概率，所以下面的这种做法才对，因为新药实际上是无效的，因而痊愈率是自然痊愈率0.25，而不是0.35，这样就知道（2）中的“判断新药有效”当然不是（1）中“否定新药”的对立事件. 此时有 P（判断新药有效）= =1- =1-0.224我们很容易看到（1）中的结果大到0.5136，而（2）中的结果只有0.224，为什么呢？这其实是由决策规则决定的. 若我们把决策规则中的4人改为3人，哪个决策更好呢？因此这里有： P（否定新药）=0.2615 P（判断新药有效）0.474我们将第一问中犯的错误叫做弃真错误，第二问中所犯的错误叫取伪错误，那这就是说，如果把决策改为“10人中有3人会痊愈，则认为有效，反之，则认为无效”. 那么犯弃真错误的概率减少到0.2615，犯取伪错误的概率增加到0.474. 我门知道，药品是否有效关系到人生安全问题，因此，我们说如果新药有效而被否定，犯弃真错误，会给我们造成直接经济损失，但不会危及人身安全；而如果新药无效却被肯定，犯取伪错误，则可能危及人身安全，所以从这个角度看，我们可认为修改后的决策规则比修改前的要为劣些！1.3生日问题及启示假设某班级有n个人（n），问至少有两个人的生日在同一天的概率为多大？分析：假定一年按365天计算，那么问题就可以这样去理解，因为每个人都是等可能的选择哪一天出生，所以每个人都有365种选择，如果“n个人的生日完全不同”就相当于恰好有n天，其中的每一天也恰好只有一个人. 解: 令A=n个人中至少有2个人的生日相同则=n个人的生日完全不相同所以P（）=又P（）+ P（A）=1于是 有 P（A）=1 （N=365）这个问题历史上有名的“生日问题”，对于不同的n值，计算得到相应的P（A）值如下表:n102023304050P（A）0.120.410.510.710.890.97分析表格：从上表所列答案是足以引起令我们惊奇，因为“一个班级中至少有两个人的生日相同”这件事情发生的概率，并不如我们大多数人直觉中想象的那样小，而是相当大，由中可以看出，当班级中的人数为23时，就会有半数以上的班级会发生这件事情，而当班级人数达到50时，竟有97%的班级会发生上述事件. 值得注意的是，这里的“半数以上”、“97%”都是就概率而言的，所以前提条件是实验的次数足够大，即这里要求的是班级的数目足够的多. 这个例题也启示我们，“直觉”并不很可靠，这也有力的说明了研究随机现象统计，规律的重要性. 1.4小概率事件的应用在我们的实际生活中，往往小概率事件被认为是不可能发生事件，所以在很多事情的处理上都是凭直觉去做判断，事实上，其实我们只要令这个实验的次数足够多的时候，就可以证明在我们直觉中的不可能事件也变成必然事件，下面是对它的证明. 源例题：设随即实验中，某一事件A出现的概率为0. 证明不论如何小时，只要不断地独立重复做此实验，则A迟早会出现的概率是1.证明： A迟早会出现的意思即是只要试验次数无限的增多，A总会出现的. 设A 表示“A于第k次试验中出现”，则P(A)=, P()=1-. 在前n次试验中A都不会出现的概率为P()=P()P（）P()=(1-)于是，前n次试验中A至少出现一次的概率为P=1-(1-)如果我们把试验一次接一次地做下去，即让n，由于01则当n时，P1.这说明小概率事件A迟早会出现的概率为1.意义：这告诉我们，在我们实际工作中，不能忽视小概率事件. 一件看来可能性很小的事，在大量重复之下，可能性就会很大，例如，在山里乱丢烟头，就一次而言，引起火灾的机会并不大，但是如果很多人都这么做，则“迟早会引起火灾”这个事件发生的可能性就很大，这应该是中学生要形成的常识，这也是概率在中学教育中的有重要地位. 例题发散：对某厂的产品进行质量检查，现从一批产品中重复抽样，共取200件样品，结果发现其中有4件废品，问我们能否相信此工厂产出废品的概率不超过0.005？ 解：假设此工厂出废品的概率为0.005，一件产品要么是废品，要么不是废品，因此取200件产品来观察废品数相当于200次独立重复试验，所以200件产品中出现4件废品的概率为 现在小概率事件“检查200件产品出现4件废品”竟然发生了，因而有理由怀疑“废品率为0.005”这个假定的合理性，认为工厂的废品率不超过0.005的说法是不可信的. 所以从概率论的角度去思考对于厂家给出的该产品还有待商议. 2概率的实用性应用2.1等车问题为了激发学生的兴趣，作者从学生每天上学必须坐车事实上出发，研究我们每天等车的时间大概是多少，比如，据观察我们湖南文理学院西院校门口的32路汽车，已知他是从早上六点四十发车，发车时间表如下：6：40、6：45、6：55、7：10、7：25、7：40之后是每隔15分钟一趟，我们假设其他人不知道发车的规律时间. 情境：与2009年10月，我们数学与计算科学学院，其中有一批同学是到常德市四中实习的，实习期间，我们必须在早上7点30分之前赶到办公地点，而且，据观察，由于早上是上班高峰期，交通缓慢，所以一般情况下，车程大概是30分钟，而假设其他人不知道发车的规律时间，则汽车发车可以是在6点40至7点10分任意时间发车，求我们这一组实习生等候时间的数学期望值是多少（精确到秒）分析：由于“实习生可能是在6点40至7点10分任一时刻到达车站”，于是我们可以认为实习生到达车站的时刻为（0，30中的均匀分布. 解：根据题意得，我们实习生到达车站的时刻，且为（0，30中的均匀分布. 即p（t）=，当t；当t为其它值时，p(t)=0.根据发车时刻和实习生到站时刻，我们便可以求出实习生等候时间，它显然是到达时刻的函数，由于是随机变量，于是随机变量. 的函数可以用下式表达： 5- 05 (6：406：45)=g（）= 15- 515 (6：45 6：55) 30- 1530 (6：55 7：10)由数学期望的格式得： E=E(g（）)= =+ + =（25-0.525）+ (225-0.5225)-(75-0.525) +(900-0.5900)-(450-0.5225) =5分25秒所以实习生早上若要准时赶到四中实习的话则需要等候时间的期望值是5分25秒. 总之，只要我们用心就会很容易的发现生活中的很多随机现象都有如上的问题，都应用到了连续函数的数学期望，这在中学教育中是符合学生的能力要求的. 2.2人寿保险问题有2500个同一年龄段同一社会阶层的人参加某保险公司的人寿保险. 根据以前的统计资料，在1年里每个人死亡的概率为0.0001. 每个参加保险的人1年付给保险120元保险费，而在死亡时其家属从保险公司领取20000元，求：（1）（不计利息）下列事件的概率：“保险公司亏本”，“保险公司一年获利不少于十万元”.（2）对2500个参保对象（每个死亡率为0.0001）每人每年至少收多少保险费才能使公司以不小于10万元？（赔偿费不变）（3）在死亡率与赔偿率不变的情况下，每人每年交给保险公司20元保险费，保险公司至少需要吸引多少个参保者才能以不小于0.99的概率不亏本？解：（1） 设这2500人中有个人死亡.则保险公司亏本当且仅当，即.又由二项概率公式知，1年中有个人死亡的概率为所以，保险公司亏本的概率为由此可见保险公司亏本几乎是不可能的.又因保险公司1年获利不少于十万元等价于即 所以保险公司1年获利不少于十万的概率为由此可见保险公司1年获利十万元是必然的.（2）由上面知，当设为每人每年所交保险费时，由，得，此是一个不定方程. 又因为即当2500个人中死亡人数不超过2人时公司获利十万元的概率不小于（实际上是大于）0.99，故（元），即2500个人每人每年交给公司56元保险费保险公司将以不小于0.99的概率获利不少于10万元.（3）设为参保人数，仍为参保者的死亡数，类似的有，即，（此仍是一个不定方程）.当时，又因，从而所以保险公司只需吸引1000个人参保就能以不小于0.99的概率不亏本.对于上述问题的提出是很有必要的，也是合理，因为对保险公司来说，保险费收太少了，获利将减少，保险费收太多了，参保人数将减少，获利也将减少.因此当死亡率不变与参保对象已知的情况下，为了保证公司的利益，收多少保险费就是很重要的问题. 从而提出以上的第（2）问题以公司为主要对象，即考虑到在保证公司一定利润的前提下，该向消费这收多少的保费；但是，由于保险公司之间竞争激烈，为了吸引参保者，挤垮对手，保险费还可以降低，所以提出了以上第（3）个问题以消费者为主要对象，即在保险费一定的情况下，至少吸引多少个参保者才能保证公司不亏本. 总之，以上几个问题的提出都是能从我们日常生活中能体会得到的，比如，我们中学生都是有参保的，且费用一般也在20元左右，此类问题也是适合中学生的能力要求的. 2.3责任追究问题例7 某工厂有四条流水线生产同一种产品，该流水线的产量分别占总产量的15%，20%，30%，35%，又这四条流水线的不合格频率依次为0.05，0.04，0.03及0.02.现在从出厂产品中任取一件，问（1）恰好抽到不合格品的概率为多少？（2）若规定，出了不合格品要追究有关流水线的责任，先问该怎样追究责任才算公平合理呢？分析：该问题设计的是条件概率问题，所以在此先引入两个公式全概公式P(A)= ；贝叶斯公式P(B|A)=（i=1,2,3,4）都是互不相容事件解: 由于不知该产品是哪个车间生产的，因此每个车间都要负责任.各车间所负责任的大小应该正比于该产品是各个车间生产的概率. (1)令 A=任取一件，恰好抽到不合格品 B=任取一件，恰好抽到第i条流水线的产品于是，由全概公式可得 P(A)= =0.150.05+ 0.20 0.40 +0.30 0.03 +0.35 0.02 =0.0315=3.15% (2)从概率论的角度考虑可以按P（B|A）的大小来追究第i条流水线的责任比较合理，例如对于第四条流水线，由条件概率的定义知 P(B|A)=所以，由贝叶斯公式 P(B|A)=又因 P(B)=0.15, P(B)=0.2, P(B)=0.3, P(B)=0.35 P (A|B)=0.05 ， P (A| B)=0.04 ， P (A| B)=0.03， P (A| B)=0.02 由上问可知， P(A)=0.0315所以 P(B|A)=0.238P(B|A)= =0.254P(B|A)= =0.286P(B|A)=0.222即第1、2、3、4流水线所负责任比重为0.238、0.254、0.286、0.222. 所以，以后再我们的日常生活中，如若涉及到一产品的质量问题时，并牵涉到多个车间或多条流水线时，可根据上述方法去进行合理科学的判断. 2.4不需要码头空出的概率问题因为生活中一些实际问题的实验结果往往是无限的，突破其局限性，让概率更一步地影响这我们的生活，所以为了说清楚这个问题，我们巧妙的把面积跟概率联系在一起，先介绍有关该类型公式的概念. (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下：P(A)=下面这个典型问题可以很好的看出其应用性非常强甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头. 它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的. 如果甲船的停泊时间是一小时，乙停泊的时间是两小时，求它们中的任何一艘都不需要等待码头空