微分方程解的存在唯一性毕业论文.docVIP

本科毕业论文论文题目： 微分方程解的存在唯一性 学生姓名： 学号： 专业： 数学与应用数学 指导教师： 学 院： 数学科学学院 1 年 月 日 目 录一、 引言 2二、 关于创新的思考 （一）秩序问题的创新 三、社会哲学的主题 参考文献 微分方程解的存在唯一性摘要：微分方程解的存在唯一性定理是方程求解和数值计算的基础。本文将介绍一阶常微分方程初值问题求解的基本定理：解的存在性、唯一性，解对初值的依赖性。微分方程解的存在唯一性定理是微分方程基本定理中最重要的内容之一。关键词：微分方程 解的存在唯一性 初值。引言 ： 我们知道，微分方程机的问题在于求解和研究解的各种属性。早在微分方程发展的古典时期，由于力学、物理学、几何学等的需要，数学家曾把注意力主要集中在求微分方程的通解上，并取得了一系列重大的发展，但后来发现，绝大多数的微分方程都求不出通解，特别在1841年Liouvill(柳维尔)证明了这样一个事实，即Riccati（里卡蒂）方程 除了某些特殊情形外，对一般的函数P、Q、R而言，其通解不可能用初等函数或初等函数的积分予以表示。当然，对一般的非线性方程将更是如此。另一方面，在物理和力学上提出的微分方程问题，又大都是要求满足某种附加条件的特解，即所谓定解问题的解。这样，就是人们改变了原来的想法，不去求通解，而开始从事定解问题的研究。 到了十九世纪初叶，数学分析中所产，生的划时代的飞跃，即极限、连续等严格概念和方法的建立，推动了微分方程基本理论的发展。Cauchy（柯西）首先严格证明了，在相当一般的情况下解的存在唯一性定理，为微分方程的研究奠定了坚实的基础。后来有许多数学家又做了大量的工作，逐步形成了常微分方程的一般理论。这一理论无论对于求解或对于研究解的各种属性都是最基本的。 我们在一般常微分的课程里，曾经学过常微分方程的一般理论的初等部分，本文将通从深度和广度两个方面，对这一理论作进一步的探讨。 在以下的讨论中，我们着重研究的是一阶标准型方程组 其中f是关于t，x，x，x的已知函数。如令：x=（x,，x，f（t，x）=（，=，则方程组（E）可改写成如下的向量形式 =f（t，x） ，其中tR，x，fR（n维是欧式空间）。至于一般的高阶方程组或方程，在一定条件下均可化成形如（E）的等价方程。1.1解的存在唯一性定理 对于方程： （1）这里f（t，x）区域 R=（t，x）t-a，y-b上连续，且关于x满足李普希茨（Lipschitz）条件,即存在常数L0（称作李普希茨常数），使得不等式 f（t，x）-f（t，）Lx-.对所有的（t，x），（t，）R则初始问题： （2） 在区间:t-h上满足存在唯一的连续解y=（t），其中h=a，M=.1.2解的延拓定理 定理 如果方程（1）右端的函数f（t，x）在有界区域G中连续，且在G内关于y满足局部李普希茨条件（即对于G内每一点，有以其为中心的完全含于G内的闭矩形R存在，且在R上f（t，x）关于y满足Lipschitz条件），那么方程（1）通过G内任何一点边界的解y=（t）可以延拓，直到点（t，（t）任意接近区域G。可以向t增大的一方延拓来说，如果y=（t）只能延拓到区间x0除去原点），x=0，故f不连续. 因此，根据根据定理1.1在整个平面上有解并唯一.但在t轴上不一定有唯一解.实际上，的解为此解在整个平面内都是唯一的。 进一步，对不满足李氏条件的方程，其解不唯一.举例如下：例2 证明：通过点（C，0）的微分方程的解不唯一.证明 在f(x,y)=的情况下，在xOy平面内都连续，因此解是存在的.但包含点（C,0）的区域R内，取=0，=y,而李氏条件却给出了条件 L, (3)可以证明这个条件对任意(x,y)都不满足.假如有这样一个L(对一切y都适合)存在,则可以取y=,此时(3)式变成 或L,这是不合理的.因此L(适用于R中一切y)不存在,李氏条件不合适,亦即=的解在通过点(C,0)的定解条件下不唯一.例3 证明代数方程x=1+ (4)有唯一解.证明 由于无法求出方程(4)的解的具体表达式,因此可以使用构造性方法来证明它有唯一解.取实数=1,令 (5)可得到一个迭代序列(x).如果存在,它就是方程(4)的解,我们也可以用Cauchy收敛准则来证明数列的收敛性. 事实上,对和正整数n,p,因为 故取N=,对一切nN有 由Cauchy收敛准则得 .对(5)式两边取极限就得到x是方程(4)的解. 若 x和y都是(3)的解,它们必须满足方程(4),故 .上面的不等式仅当时成立,这就得到了方程(4)解的存在唯一性. 在证明方程(4)的解的存在唯一性时,我们并没有求出这个解是什么,而是通过构造迭代序列的方法经过理论分析来实现的.对微分方程的初值问题(2)的解的存在唯一性的讨论,完全可以用同样的思路进行.接下来看一个具体的例子.例4 证明初值问题 ,y(0)=1 (6)的解存在且唯一.证明 若y=y（x）是初值问题（6）的解，则对其中的方程两边积分，的y（x）满足的积分方程： y（x）=1+ (7)反之,若一个连续函数y=y(x)满足方程(7)，则它必是（6）的解，及初值问题（6）与积分方程（7）的解的存在唯一性是等价的.令 则由数学分析知识,函数列收敛且.直接代入初值问题(6)可验证此极限函数 是初值问题(6)的解,这就证明了解的存在性.为了证明解的唯一性,设初值问题有两个解:和,令 ,则g(x)是可微函数,且满足,.由此得 ,即 ,故为常数.又因为g(0)=0,故 ,这表明.即 ,所以初值问题(6)的解释存在唯一的.例5证明初值问题: (8)的解在存在,且当时,.证明 取,b=1,在矩形区域上, 连续,且它关于y有连续的偏导数.计算 M=故由解的存在唯一性定理知,初值问题(8)的解在内存在且唯一,当然也在区间内存在且唯一.对,由与初值问题(8)等价的积分方程得 ,且 例6 讨论方程 (9)在怎样的区域满足解的存在性和唯一性定理条件，并求过点（0，0）的一切解. 解 显然y=0是方程的解.当时,满足解的存在唯一性定理条件,其解为 由题意y0,.由,y0知x0,即x-C0,xC0.所以 y和y=0是初值问题的解.例7 在区域G:内,关于初值问题: (10) (1) 确定在逐次逼近法中所得解的最大存在区间(不经延拓);(2) 求出这个解,确定此解本身的最大定义区间.解 (1)在区域G内连续,并且在区域内有界,因此在区域内满足Lipschtz条件.由解的存在唯一性定理知,初值问题解在存在.而,即 , 因而在逐次逼近法中所得的解的最大存在区间为.(不经延拓)(2) 由方程得 故 artanty=x+C,即 y=tant(x+C),把初值条件代入得0=tantC,即C=0.所以 y=tantx，其最大定义区间为.例8研究方程的积分曲线.解 在无界区域内连续,且,所以关于y满足Lipschitz条件.因此它满足解的存在唯一性定理和解的延拓定理条件.所以方程的通解为 ,过内任一点的解为 .在内有定义,且当时,该积分曲线无限接近G的边界x=0,但不趋于其上任一点. 在区域可类似的讨论.例9 求方程过点的解,并由此讨论解对初值的连续性.解 初值问题:的解为 ,由于解是的连续函数,故解对初值连续. 参考文献：1丁同仁 李承志编 常微分方程（第二版）2杰弗里亚历山大.社会学二十讲：二战以来的理论发展M.贾春增，董天民，等译.北京：华夏出版社，2000.3万俊人.信用伦理及其现代解释J.孔子研究，2002，(5).4葛晨虹.诚信是一种社会资源J.江海学刊，2003，(3).指导教师意见（包括选题的意义，资料收集或实验方法、数据处理等方面的能力，论证或实验是否合理，主要观点或结果是否正确，有何独到的见解或新的方法，基础理论、专业知识的掌握程度及写作水平等，并就该论文是否达到本科毕业论文水平做出评价）成绩： 指导教师（签名）： 年 月 日注：成绩按优、良、中、合格、不合格五级分制计。评阅人意见（包括选题的意义，资料收集或实验方法、数据处理等方面的能力，论证或实验是否合理，主要观点或结果是否正确，有何独到的见解或新的方法，基础理论、专业知识的掌握程度及写作水平等，并就该论文是否达到本科毕业论文水平做出评价） 成绩： 评阅人（签名）： 年 月 日注：成绩按优、良、中、合格、不合格五级分制计。答辩委员会意见（应根据论文内容和答辩情况，并参考指导教师意见、评阅人意见对论文的综合水平做出具体评价）成绩： 答辩委员会主任（签名）： 年 月 日学院学位