数列知识回顾总结.doc

袁螂肁蒁螇袁膃芄蚃袀芆蒀蕿衿羅节蒅衿膇蒈袃袈芀莁蝿袇莂薆蚅袆肂荿薁袅膄薄蒇羄芆莇螆羃羆薃蚂羃肈莆薈羂芁薁薄羁莃蒄袃羀肃芇螈罿膅蒂蚄羈芇芅薀肇羇蒀蒆肇聿芃螅肆膁葿螁肅莄节蚇肄肃薇薃肃膆莀袂肂芈薅螈肁莀莈蚄膁肀薄薀螇膂莆蒆螆芅薂袄螅肄莅螀螅膇蚀蚆螄艿蒃薂螃莁芆袁螂肁蒁螇袁膃芄蚃袀芆蒀蕿衿羅节蒅衿膇蒈袃袈芀莁蝿袇莂薆蚅袆肂荿薁袅膄薄蒇羄芆莇螆羃羆薃蚂羃肈莆薈羂芁薁薄羁莃蒄袃羀肃芇螈罿膅蒂蚄羈芇芅薀肇羇蒀蒆肇聿芃螅肆膁葿螁肅莄节蚇肄肃薇薃肃膆莀袂肂芈薅螈肁莀莈蚄膁肀薄薀螇膂莆蒆螆芅薂袄螅肄莅螀螅膇蚀蚆螄艿蒃薂螃莁芆袁螂肁蒁螇袁膃芄蚃袀芆蒀蕿衿羅节蒅衿膇蒈袃袈芀莁蝿袇莂薆蚅袆肂荿薁袅膄薄蒇羄芆莇螆羃羆薃蚂羃肈莆薈羂芁薁薄羁莃蒄袃羀肃芇螈罿膅蒂蚄羈芇芅薀肇羇蒀蒆肇聿芃螅肆膁葿螁肅莄节蚇肄肃薇薃肃膆莀袂肂芈薅螈肁莀莈蚄膁肀薄薀螇膂莆蒆螆芅薂袄螅肄莅螀螅膇蚀蚆螄艿蒃薂螃莁芆袁螂肁蒁螇袁膃芄蚃袀芆蒀蕿衿羅节蒅衿膇蒈袃袈芀莁蝿袇莂薆蚅袆肂荿薁袅膄 数列知识回顾总结湖南祁东育贤中学 周友良 421600衡阳县一中 王爱民 马中平一、基础知识回顾所谓数列就是按一定次序排列的一列数.数列的一般形式是a1, a2, ,an, 通常简记为an.如果数列an的第n项an与n之间的函数关系可用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式.从函数的角度看，数列可以看做是一个函数，定义域是自然数集或自然数集的一个有限子集，函数表达式就是数列的通项公式.对于数列an，把Sn=a1+a2+an叫做数列an的前n项和，则有I等差数列与等比数列1等差数列（1）定义：（2）通项公式：an=a1+(n1)d .（3）前n项和公式：（4）等差中项：（5）任意两项：an=am+(nm)d.（6）性质：公差为非零的等差数列的充要条件是通项公式为n的一次函数；公差为非零的等差数列的充要条件是前n项和公式为n的不含常数项的二次函数；设an是等差数列，如果m、n、p、qN*，且m+n=p+q，那么am+an=ap+aq;设Sn是等差数列an的前n项和，则Sm, S2mSm, S3mS2m, , SpmS(p1)m(m1,p3，m、pN*)仍成等差数列；设Sn是等差数列an的前n项和，则是等差数列；设an是等差数列，则an+b(,b是常数)是等差数列；设an与bn是等差数列，则1an+2bn（1，2是常数）也是等差数列；设an与bn是等差数列，且bnN*，则abn也是等差数列（即等差数列中等距离分离出的子数列仍为等差数列）；设an是等差数列，则（c0, c1）是等比数列.2等比数列（1）定义：（2）通项公式：an=a1qn1.（3）前n项和公式：（4）等比中项：（5）任意两项：an=amqnm.（6）无穷递缩等比数列各项和公式： S=（7）性质： 设an是等比数列，如果m、n、p、qN*，且m+n=p+q，那么aman=apaq；设Sn是等比数列an的前n项和，则Sm, S2mSm, S3mS2m, ，SpmS(p1)m(m1, p3，m、nN*)仍为等比数列；设an是等比数列，则an（是常数）、（mZ*）仍成等比数列；设an与bn是等比数列，则anbn也是等比数列；设an是等比数列，bn是等差数列，bnZ*，则abn是等比数列（即等比数列中等距离分离出的子数列仍为等比数列）；设an是正项等比数列，则logcan(c0, c1)是等差数列.二、能力提高题分析例1 设数列an的前n项和Sn=2an1(n=1, 2,)，数列bn满足b1=3, bk+1=bk+ak(k=1,2，)，求数列bn的前n项之和.（1996年全国数学联赛二试题1）【思路分析】欲求数列bn前n项和，需先求bn. 由ak=bk+1bk, 知求ak即可，利用ak=SkSk1(k=2, 3, 4,)可求出ak.【略解】由Sn=2an1和a1=S1=2a11,得a1=1, 又an=SnSn1=2an2an1,即an=2an1,因此an是首项为1，公比为2的等比数列，则有an=2n1.由ak=bk+1bk，取k=1,2,n1得a1=b2b1, a2=b3b2, a3=b4b3, , an1=bnbn1,将上面n1个等式相加，得bnb1=a1+a2+an. 即bn=b1+a1+a2+an=3+(1+2+22+2n1)=2n1+2,所以数列bn的前n项和为Sn=（2+1）+（2+2）+（2+22）+（2+2n1）=2n+2n1.【评述】求数列的前n 项和，一般情况必须先研究通项，才可确定求和的方法.例2 求证：若三角形的三内角成等差数列，对应的三边成等比数列，则此三角形必是正三角形.【思路分析】由ABC的三个内角A、B、C成等差数列，知B=60，三个角可设为60d, 60, 60+d，其中d为常数；又由对应的三边a、b、c成等比数列，知b2=ac，或将三边记为a、aq、aq2，其中q为正常数，由此知要证此三角形为正三角形只须证明d=0或q=1或a=b=c.【证】设ABC的三个内角为A、B、C及其对边a、b、c，依题意b2=ac, B=60.【方法1】由余弦定理，得整理得(ac)2=0因此a=c.故ABC为正三角形.【方法2】设a、b、c三边依次为a、aq、aq2，由余弦定理有cosB=,整理得q42q2+1=0,解得q=1, q=1（舍去）所以a=b=c,故此ABC为正三角形.【方法3】因为b2=ac, 由正弦定理：(2RsinB)2=2RsinA2RsinC（其中R是ABC外接圆半径）即sin2B=sinAsinC，把B=60代入得sinAsinC=，整理得cos(AC)cos(A+C)=，即cos(AC)=1,所以A=C，且B=60，故此ABC为正三角形.【方法4】将60d, 60, 60+d代入sin2B=sinAsinC, 得sin(60d)sin(60+d)= ，即cos(2d)cos120= .得cos2d=1, d=0,所以A=B=C，故ABC为正三角形.【评述】方法1、2着眼于边，方法3、4着眼于角.例3 n2(n4)个正数排成n行n列a11 a12 a13 a14 a1na21 a22 a23 a24 a2na31 a32 a33 a34 a3na41 a42 a43 a44 a4n an1 an2 an3 an4 ann其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，已知a24=1,a42=，a43=,求a11+a22+a33+ann.（1990年全国高中数学联赛试题）【思路分析】求和需要研究a11和akk，又每列成等比数列且公比相等，只需要研究a1k和q,又每行成等差数列，需要求得an和第一行的公差d，因而本题利用已知建立an、d和q之间关系，使问题获解.【解】设第一行数列公差为d，各列数列公比为q.因为2a43=a42+a44,所以a44=2a43a42=2=.又因为a44=a24q2=q2,所以q=,于是有 解此方程组，得d=,a11=.对于任意的1kn,有【评述】数列求和应先研究通项，通项cn=anbn，其中an成等差为九列，bn为等比数列，数列cn的求和用错项相减去.例4 将正奇数集合1，3，5，从小到大按第n组有(2n1)奇数进行分组：1, 3,5,7 , 9, 11, 13, 15, 17, （第1组）（第2组）（第3组）问1991位于第几组中？（1991年全国高中数学联赛试题）【思路分析】思路需要写出第n组的第1个数和最后一个数，1991介于其中，而第n组中最后一个数是第（1+3+2n1）=n2个奇数为2n21.【解】因为1+3+5+(2n1)=n2所以前n组共含有奇数n2个，第n组最后一个数即第n2个奇数为2n21,第n组第一个数即第n1组最后一个数后面的奇数为2(n1)21+2=2(n1)2+1.由题意，有不等式2(n1)2+119912n21.解得(n1)2995且n2996，从而n32且n32，故n=32，即1991位于第32组中.【评述】应用待定的方法，假定位于第n组中然后确定n即可.电子邮箱,手机号电话07342518006 湖南祁东育贤中学 周友良 421600 薄蒇羄芆莇螆羃羆薃蚂羃肈莆薈羂芁薁薄羁莃蒄袃羀肃芇螈罿膅蒂蚄羈芇芅薀肇羇蒀蒆肇聿芃螅肆膁葿螁肅莄节蚇肄肃薇薃肃膆莀袂肂芈薅螈肁莀莈蚄膁肀薄薀螇膂膈芈薈肇莄薆薇螆膇蒂薇衿莂蒈薆肁芅莄薅膃肈蚃薄袃芃蕿薃羅肆蒅薂肈节莁蚁螇肄芇蚁衿芀薅蚀肂肃薁虿膄莈蒇蚈袄膁莃蚇羆莆艿蚆肈腿薈蚅螈莅蒄螅袀膈莀螄羃莃芆螃膅膆蚅螂袅罿薁螁羇芄蒇螀聿肇莂蝿蝿节芈蝿袁肅薇袈羄芁蒃袇肆肄荿袆螅艿莅袅羈膂蚄袄肀莇薀袃膂膀蒆袃袂莆莂葿羄膈芈薈肇莄薆薇螆膇蒂薇衿莂蒈薆肁芅莄薅膃肈蚃薄袃芃蕿薃羅