论文：格子点上多边形周长的探讨.doc

啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊探讨在方格子点上的多边形,若周长为(S为整数,且)时,整数S是否有规律性.探讨在方格子点上的多边形,若周长为S+时,整数S为奇数或偶数 .啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊格子点上多边形周长的探讨啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊格子點上多邊形周長的探討談特殊化到一般化的思考過程(1) 探討在方格子點中的多邊形，若周長為(S為正整數，且)時，整數S是否有規律性。特殊化：S2345678910(O或X)形出多邊能否畫OXOXOXOXO猜想：多邊形的周長為(S為正整數，且)時，S必為偶數。舉例檢驗：實際去畫，確實可畫出多邊形，如圖(三)。經舉例檢驗後，我們的猜想似乎合理，所以我們對猜想加以證明。 證明：，S可分水平方向及垂直方向 圖(三)令S=a+b+c+d 其中水平方向：a：1單位長往右的個數，即“”的個數b：1單位長往左的個數，即“”的個數垂直方向：c：1單位長往上的個數，即“”的個數d：1單位長往下的個數，即“”的個數水平方向：由A經C、D至B點中，a、b相互抵消後，ab=1(如同AK 1單位)ab=1為奇數a+b必為奇數垂直方向：同理cd=1(如同KB 1單位)cd=1為奇數c+d必為奇數由知S=(a+b)+(c+d)=奇+奇=偶 (如同AKB，1+1=2為偶數)以上證明可知，我們的猜想是正確的，所以：一般化：在方格子點上的多邊形若周長為時，S必為偶數。(2) 探討在方格子點上的多邊形，若周長為(S為整數，且)時，整數S是否有規律性。特殊化：S45678910(O或X)形出多邊 能否畫XOXOXOX猜想：多邊形的周長為(S為整數，且)時，S必為奇數。舉例檢驗：實際去畫，確實可畫出多邊形，如圖(四)。經舉例檢驗後，我們的猜想也似乎合理，所以我們對猜想也再加以證明。證明：，S可分水平方向及垂直方向 圖(四)令S=a+b+c+d其中水平方向：a：1單位長往右的個數，即“”的個數b：1單位長往左的個數，即“”的個數垂直方向：c：1單位長往上的個數，即“”的個數d：1單位長往下的個數，即“”的個數水平方向：由A經C、D至B點中，a、b相互抵消後，ab=1(如同AK 1單位)ab=1為奇數a+b必為奇數垂直方向：同理cd=2(如同KB 2單位)cd=2為偶數c+d必為偶數由知S=(a+b)+(c+d)=奇+偶=奇 (如同AKB，1+2=3為奇數)以上證明可知，我們的猜想是正確的，所以一般化：在方格子點上的多邊形若周長為時，S必為奇數。(3) 由(2)，(3)的證明我們得知：不論周長為或時，整數S由A經C、D至B點中的路徑均可化簡為AKB的路徑，甚至時亦然，所以S的奇偶性，事實上就為AKB路徑的奇偶性。判別法一因此，在方格子點上的周長若為時，整數S的奇偶性就能以下面的方式判斷： S為偶數 ； S為奇數 S為偶數 ； S為奇數表(二)是我們列出一部份的結果。表(二)S的奇偶偶奇偶奇奇偶偶奇偶奇(4) 由表(二)中，我們發現了S的一些規律性：猜想： t為偶數S為偶數 t為奇數S為奇數，S、t為正整數。舉例檢驗：t=394 S為偶數 t=221 S為奇數同樣，經舉例檢驗後也符合猜想，可以進一步加以證明猜想。證明： ()由1(2)知 令 當t為偶數時 ，均為偶數(或均為奇數) m(水平方向)，n(垂直方向)亦均為偶數(或均為奇數)， S的奇偶=(m + n)的奇偶=偶數 ()當S為偶數m + n為偶數 m(水平)，n(垂直)均為偶數(或均為奇數) ，均為偶數(或均為奇數) 必為偶數 ()同， 當t為奇數時，為一奇一偶 m，n亦為一奇一偶 S的奇偶=(m+n)的奇偶=奇數 ()當S為奇數m+n為奇數 m，n必為一奇一偶 ，必為一奇一偶 必為奇數由以上證明知我們的猜想是正確無誤的。也就是說，在方格子點上的多邊形，若周長是時，(S，t為整數)一般化：則t為偶數S為偶數 t為奇數S為奇數 即S + t為偶數所以，對於整數S的奇偶，我們又發現另一套更簡便的判別法。判別法二 2為偶數 S為偶數 5為奇數 S為奇數 10為偶數 S為偶數 13為奇數 S為奇數(5) 探討在方格子點中的多邊形，若周長為時，整數S為奇數或偶數利用(2)、(3)我們可以直接導出：分別在BED與AFC中任意取一方格子點，經由方格子點連到，其長度設為d令S=+2d 其中：由A經，至B的長度 ：由C經，至D的長度 =+2d+ =(+)+(+)2d由(5)結果可知為偶數，為奇數S=+2d =偶+奇偶 =奇所以在方格子點上的多邊形，若周長為時，則S必為奇數。(6) 探討在方格子點上的多邊形，若周長為S+時，整數S為奇數或偶數？我們同(6)的方式擴展。令S=+2(+) S+ =+2(+)+ =(+)+(+)+(+)2(+)隨著，的奇偶性，也就決定了，的奇偶性，且2(+)為偶數。所以當，中若有奇數個奇數則S為奇數，否則S為偶數。同理我們也可以擴展周長為S+時S的奇偶性：令S=+2(+) S+ =+2(+)+ 個 個+ 個 =(+)+(+)+(+) +(+)+(+) + +(+)+ (+)2(+)其中，中的奇偶性由，的(+)個數之奇偶性來決定，同樣若有奇數個奇數，則S為奇數，否則為偶數。6啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊格子点上多边形周长的探讨啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊探讨在方格子点上的多边形,若周长为(S为整数,且)时,整数S是否有规律性.探讨在方格子点上的多边形,若周长为S+时,整数S为奇数或偶数 .啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊