2019届高考数学专题五解析几何名师创新预测1.5.3圆锥曲线中的定点定值最值与范围问题文.docx

1.5.3 圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题名校名师创新预测1.已知抛物线G:y2=2px(p0),过焦点F的动直线l与抛物线交于A,B两点,线段AB的中点为M.(1)当直线l的倾斜角为时,|AB|=16.求抛物线G的方程.(2)对于(1)问中的抛物线G,是否存在x轴上一定点N,使得|AB|-2|MN|为定值?若存在,求出点N的坐标及定值;若不存在,说明理由.【解析】(1)由题意知F,设直线l的方程为x=ty+(tR),A, B,由得:y2-2pty-p2=0,=4p2t2+4p20,y1+y2=2pt,y1y2=-p2,|AB|=2p(t2+1),当直线l倾斜角为时,t=1,|AB|=4p=16,得p=4,所以抛物线G的方程为y2=8x.(2)假设在x轴上存在点N(a,0)使得|AB|-2|MN|为定值.由(1)知|AB|=8(t2+1),xM=(y1+y2)+2=4t2+2,yM=4t,即M(4t2+2,4t),若满足题意,则2|MN|=2=2(4t2+k),即解得a=3,k=1,此时|AB|-2|MN|=6.综上,在x轴上存在点N(3,0)使得|AB|-2|MN|为定值6.2.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆+=1(ab0)的右顶点和上顶点分别为A,B,M为线段AB的中点,且=-b2.(1)求椭圆的离心率.(2)已知a=2,四边形ABCD内接于椭圆,ABDC.记直线AD,BC的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值.【解析】(1)A(a,0),B(0,b),由M为线段AB的中点得M.所以=,=(-a,b).因为=-b2,所以(-a,b)=-+=-b2,整理得a2=4b2,即a=2b.因为a2=b2+c2,所以3a2=4c2,即a=2c.所以椭圆的离心率e=ca=.(2)方法一:由a=2得b=1,故椭圆方程为+y2=1.从而A(2,0),B(0,1),直线AB的斜率为-.因为ABDC,故可设DC的方程为y=-x+m.设D(x1,y1),C(x2,y2).由 消去y,得x2-2mx+2m2-2=0,所以x1+x2=2m,从而x1=2m-x2.直线AD的斜率k1=,直线BC的斜率k2=,所以k1k2=,即k1k2为定值.方法二:由a=2得b=1,故椭圆方程为+y2=1.从而A(2,0),B(0,1),直线AB的斜率为-.设C(x0,y0),则+=1.因为ABCD,故CD的方程为y=-(x-x0)+y0.由 消去y,得x2-(x0+2y0)x+2x0y0=0,解得x=x0(舍去)或x=2y0.所以点D的坐标为.所以k1k2=,即k1k2为定值.【提分备选】1.已知中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆,离心率e=,且椭圆过点.(1)求椭圆的方程.(2)设椭圆左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,则F1AB的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由题意可设椭圆方程为+=1.则解得:a2=4,b2=3,所以椭圆方程为+=1.(2)设A,B,不妨设y10,y2b0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切,过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A,B两点.(1)求椭圆C的方程.(2)求的取值范围.【解析】(1)由题意知e=ca=,所以e2=,即a2=b2,又b=,所以a2=4,b2=3,故椭圆的方程为+=1.(2)由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-4),由得:(4k2+3)x2-32k2x+64k2-12=0,由=(-32k2)2-4(4k2+3)(64k2-12)0,得:k2,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,所以y1y2=k(x1-4)k(x2-4)=k2x1x2-4k2(x1+x2)+16k2,所以=x1x2+y1y2=(1+k2)-4k2+16k2=25-,因为0k20,解得-2m2,所以实数m的取值组成的集合M是.(2)假设存在定点P(x0,y0)使得任意的mM,都有直线PA,PB的倾斜角互补,设A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)知x1,x2是4x2+2mx+m2-4=0的两个根,所以x1+x2=-,x1x2=,由题意:kPA+kPB=0,所以+=0,整理得:(y1x2+x1y2)-(y1+y2)x0-(x1+x2)y0+2x0y0=0,又y1=x1+m,y2=x2+m,代入化简得: