2019年高考数学考点分析与突破性讲练专题14解三角形理.docx

专题14 解三角形一、考纲要求: 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 2. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题二、概念掌握及解题上的注意点： 1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的.2.(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用.(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用.(3)重视在余弦定理中用均值不等式，实现a2b2，ab，ab三者的互化. 3.判定三角形形状的两种常用途径(1)化角为边：利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断.(2)化边为角：通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.4.解决测量角度问题的注意事项(1)应明确方位角或方向角的含义.(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步.(3)将实际问题转化为解三角形的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用.三、高考考题题例分析：例1.(2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，c2，cos A，则b()A BC2 D3D解析：由余弦定理得5b42b2，解得b3或b(舍去)，故选D例2.(2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A，cos C，a1，则b_解析：在ABC中，cos A，cos C，sin A，sin C，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C.又，b.例3.(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos Bacos Cccos A，则B_.例4.(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(AC)8sin.(1)求cos B；(2)若ac6，ABC的面积为2，求b.解(1)由题设及ABC得sin B8sin，故sin B4(1cos B)上式两边平方，整理得17cosB32cos B150，解得cos B1(舍去)，或cos B.故cos B.(2)由cos B得sin B，故SABCacsin Bac.又SABC2，则ac.由余弦定理及ac6得bac2accos B(ac)2ac(1cos B)3624.所以b2.例5.（2018全国卷I）在平面四边形ABCD中，ADC=90，A=45，AB=2，BD=5（1）求cosADB；（2）若DC=2，求BC（2）ADC=90，cosBDC=sinADB=，DC=2，BC=5例6.（2018全国卷II）在ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A4BCD2解析：在ABC中，cos=，cosC=2=，BC=1，AC=5，则AB=4故选：A例7.（2018全国卷III）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若ABC的面积为，则C=（）ABCD例8.（2018北京卷）在ABC中，a=7，b=8，cosB=（）求A；（）求AC边上的高解析：（）ab，AB，即A是锐角，cosB=，sinB=，由正弦定理得=得sinA=，则A=例9.（2018天津卷）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知bsinA=acos（B）（）求角B的大小；（）设a=2，c=3，求b和sin（2AB）的值解析：（）在ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，又bsinA=acos（B）asinB=acos（B），即sinB=cos（B）=cosBcos+sinBsin=cosB+，tanB=，又B（0，），B=（）在ABC中，a=2，c=3，B=，由余弦定理得b=，由bsinA=acos（B），得sinA=，ac，cosA=，sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A1=，sin（2AB）=sin2AcosBcos2AsinB=例10.（2018江苏卷）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC=120，ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为解三角形练习一、 选择题： 1在ABC中，若，则B的值为()A30B45C60D90B解析：由正弦定理知：，sin Bcos B，B45.2在ABC中，已知b40，c20，C60，则此三角形的解的情况是()A有一解B有两解C无解D有解但解的个数不确定C解析：由正弦定理得，sin B1.角B不存在，即满足条件的三角形不存在3ABC中，c，b1，B，则ABC的形状为()A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰三角形或直角三角形D解析：根据余弦定理有1a233a，解得a1或a2，当a1时，三角形ABC为等腰三角形，当a2时，三角形ABC为直角三角形，故选D.4在ABC中，若AB，BC3，C120，则AC()A1B2C3D45在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2Asin A，bc2，则ABC的面积为() A BC1D2A解析：因为cos 2Asin A，所以12sin2Asin A，则sin A(舍负)，则ABC的面积为bcsin A2，故选A6如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10B北偏西10C南偏东80D南偏西80D解析：由条件及题图可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此灯塔A在灯塔B南偏西80.7如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为()Aa km Ba kmCa kmD2a kmB解析：在ABC中，ACBCa，ACB120，AB2a2a22a2cos 1203a2，ABA8如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30 m，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB等于()A5 mB15 mC5 mD15 m9如图，一条河的两岸平行，河的宽度d0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为 () A8 km/hB6 km/hC2 km/hD10 km/hB解析：设AB与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin ，从而cos ，所以由余弦定理得2212221，解得v6.10在ABC中，sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C，则A的取值范围是()A BC D11(2017山东高考)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC为锐角三角形，且满足sin B(12cos C)2sin Acos Ccos Asin C，则下列等式成立的是()Aa2bBb2aCA2BDB2AA解析：等式右边sin Acos C(sin Acos Ccos Asin C)sin Acos Csin (AC)sin Acos Csin B，等式左边sin B2sin Bcos C，sin B2sin Bcos Csin Acos Csin B.由cos C0，得sin A2sin B.根据正弦定理，得a2b.故选A12在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(BC)sin2Bsin2C，则角A的取值范围为()A BC DD解析：由题意得sin2Asin2Bsin2C，再由正弦定理得a2b2c2，即b2c2a20.则cos A0，0A，0A.又a为最大边，A.因此角A的取值范围是.二、 填空题： 13如图所示，在ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，sinBAC，AB3，AD3，则BD的长为_14(2017全国卷改编)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c，则C_. 解析：因为a2，c，所以由正弦定理可知，故sin Asin C又B(AC)，故sin Bsin A(sin Ccos C)sin(AC)sin Asin Csin Acos Csin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C(sin Acos A)sin C0.又C为ABC的内角，故sin C0，则sin Acos A0，即tan A1.又A(0，)，所以A.从而sin Csin A.由A知C为锐角，故C.15在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，sin A，sin B，sin C成等差数列，且a2c，则cos A_. 16如图3816，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60.已知山高BC100 m，则山高MN_m.150解析：根据题图，AC100 m.在MAC中，CMA180756045.由正弦定理得AM100 m.在AMN中，sin 60，MN100150(m)三、 解答题：17. 如图，在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acos Cc2b.(1)求角A的大小；(2)若c，角B的平分线BD，求A解(1)2acos Cc2b，由正弦定理得2sin Acos Csin C2sin B，2sin Acos Csin C2sin(AC)2sin Acos C2cos Asin C，sin C2cos Asin Csin C0，cos A.又A(0，)，A.18(2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求C；(2)若c，ABC的面积为，求ABC的周长解(1)由已知及正弦定理得2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，即2cos Csin(AB)sin C，故2sin Ccos Csin C可得cos C，所以C.(2)由已知得absin C.又C，所以ab6.由已知及余弦定理得a2b22abcos C7，故a2b213，从而(ab)225.所以ABC的周长为5.19如图，航空测量组驾驶飞机飞行的航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m，速度为50 m/s，某一时刻飞机看山顶的俯角为15，经过420 s后看山顶的俯角为45，求山顶的海拔高度(取1.4，1.7) 解如图，作CD垂直直线AB于点D，20如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上 (1)求渔船甲的速度；(2)求sin 的值21在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若tan Atan C(tan Atan C1)(1)求角B；(2)如果b2，求ABC面积的最大值解(1)tan Atan C(tan Atan C1)，即，tan(AC)，又ABC，tan B，B为三角形内角，B.(2)在ABC中，由余弦定理得cos B，a2c2ac4，a2c22ac，ac4，当且仅当ac2时，等号成立，ABC的面积Sacsin B4，ABC面积的最大值为.22“德是”号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条