2019届高考数学专题一不等式与线性规划、计数原理与二项式定理教案理.docx

第3讲不等式与线性规划、计数原理与二项式定理1.(2018全国卷,理5)x2+5的展开式中x4的系数为(C)(A)10(B)20(C)40(D)80解析:x2+5的展开式的通项公式为Tr+1=(x2)5-rr=2rx10-3r,令10-3r=4,得r=2.故展开式中x4的系数为22=40.故选C.2.(2017全国卷,理4)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为(C)(A)-80(B)-40(C)40(D)80解析:展开式中含x3y3的项为x(2x)2(-y)3+y(2x)3(-y)2.故系数为-22+8=40.选C.3.(2017全国卷,理6)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有(D)(A)12种(B)18种(C)24种(D)36种解析:先将4项工作分为3组,再排列,共有=36种不同的方法.故选D.4.(2017全国卷,理6)1+(1+x)6展开式中x2的系数为(C)(A)15(B)20(C)30(D)35解析:因为(1+x)6展开式的通项为Tr+1=xr,所以1+(1+x)6的x2的系数为+=30.故选C.5.(2018全国卷,理15)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案)解析:法一按参加的女生人数可分两类:只有1位女生参加有种,有2位女生参加有种,故共有+=26+4=16(种).法二从2位女生,4位男生中选3人,共有种情况,没有女生参加的情况有种,故共有-=20-4=16(种).答案:166.(2018全国卷,理13)若x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为.解析:作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示.由z=3x+2y得y=-x+.作直线l0:y=-x.平移直线l0,当直线y=-x+过点(2,0)时,z取最大值,zmax=32+20=6.答案:67.(2018全国卷,理14)若x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为.解析:由不等式组画出可行域,如图(阴影部分).x+y取得最大值斜率为-1的直线x+y=z(z看作常数)在y轴上的截距最大,由图可得直线x+y=z过点C时z取得最大值.由得点C(5,4),所以zmax=5+4=9.答案:98.(2016全国卷,理16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.解析:设生产A产品x件,B产品y件,产品A,B的利润之和为z.则z=2 100x+900y,画出可行域.由解得所以zmax=2 10060+900100=216 000,所以生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216 000元.答案:216 0001.考查角度(1)不等式:与集合综合不等式的解法,在解答题中以工具性知识为主考查不等式解法、基本不等式的应用.(2)线性规划:二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划问题.(3)计数原理:考查简单的排列组合应用题.(4)二项式定理:考查二项式的通项公式、二项展开式的系数等简单问题.2.题型及难易度(1)题型:选择题、填空题.(2)难易度:中等难度.(对应学生用书第68页) 不等式考向1不等式的性质与解法【例1】 (1)(2018陕西西工大附中八模)如果ab1,ccb,ln(a+c)ln(b+c),(a-c)caeb中,所有正确命题的序号是()(A)(B)(C)(D)(2)(2018全国名校第三次大联考)不等式x2-2ax-3a20)的解集为.解析:(1)因为ab1,cln(b+c)不成立,所以错误,排除A,C,D,故选B.(2)因为x2-2ax-3a20(x-3a)(x+a)0,-a3a,所以不等式的解集为x|-ax3a.答案:(1)B(2)x|-axb0,且ab=1,那么取最小值时,b=.解析:(1)由圆的方程可得C1(-2a,0),r1=2,C2(0,b),r2=1,由两圆只有一条公切线可知两圆内切,所以|C1C2|=r1-r2,即=1,所以4a2+b2=1,所以+=+=4+1+5+2=9.当且仅当=时,等号成立,所以+的最小值为9,故选D.(2)因为ab=1,ab0,所以=(a-b)+,2=2,当且仅当a-b=,即a-b=时,等号成立,即取最小值,由得-b=.所以b=或b=(舍去).答案:(1)D(2)基本不等式的主要用途是求多元函数的最值,在使用基本不等式时注意如下几点:(1)注意不等式的使用条件,特别是其中等号能否成立.(2)合理变换求解目标,如常数代换法、换元法等,创造使用基本不等式的条件.热点训练1:(1)(2018广东深圳月考)已知函数f(x)=若f(2-a2)f(a),则实数a的取值范围是()(A)(-,-2)(1,+)(B)(-1,1)(C)(-2,1)(D)(-1,2)(2)(2018安徽亳州高三上期末)设x,y为正实数,且满足+=1,下列说法正确的是()(A)x+y的最大值为(B)xy的最小值为2(C)x+y的最小值为4(D)xy的最大值为(3)(2018浙江温州市一模)已知2a+4b=2(a,bR),则a+2b的最大值为.解析:(1)因为f(x)=所以函数f(x)是奇函数,且在R上单调递增,所以f(2-a2)f(a)等价于2-a2a,即a2+a-20,解得-2a1,所以实数a的取值范围是(-2,1),故选C.(2)x+y=(x+y)+=+yx+,1=+2,得xy2,故选B.(3)因为2a+4b=2a+22b=22,所以2a+2b1=20,a+2b0,当a=2b时等号成立,所以a+2b的最大值为0.答案:(1)C(2)B(3)0线性规划考向1线性规划问题【例3】 (1)(2018浙江省温州市一模)若实数x,y满足约束条件则z=2x+y的取值范围是()(A)3,4(B)3,12(C)3,9(D)4,9(2)(2018四川雅安三诊)已知实数x,y满足条件若目标函数z=mx-y(m0)取得最大值时的最优解有无穷多个,则实数m的值为()(A)1(B)(C)-(D)-1(3)(2018江西省红色七校联考)设x,y满足约束条件若z=mx+y的最小值为-3,则m的值为.解析:(1)画出表示的可行域,由得A(1,1),由得B(3,3),由得C(2,0),由目标函数几何意义分析可知,其最值点应在可行域的端点处取得,将三点的坐标分别代入z=2x+y得3,9,4,因此z的最小值为3,最大值为9,故z=2x+y的取值范围是3,9,故选C.(2)由约束条件作出可行域如图,化目标函数z=mx-y为y=mx-z,因为目标函数z=mx-y(m0)取得最大值时的最优解有无穷多个,所以m=kAB=1.故选A.(3)画出不等式组表示的可行域,如图所示.联立解得A(3,-1),化目标函数z=mx+y为y=-mx+z,目标函数的最小值就是函数在y轴上截距的最小值,为-3,由图可知,mb0,则2a+的最小值为;(2)(2018衡水金卷四省第三次联考)如图,在ABC中,已知=,P为AD上一点,且满足=m+,若ABC的面积为,ACB=,则的最小值为.解析:(1)因为ab0,2a+=a+b+a-b+,所以a+b+2,当且仅当a+b=时取等号;a-b+2,当且仅当a-b=时取等号.所以联立解得a+b+a-b+2+2,当且仅当时,取“=”,即2a+取得最小值为2+2.(2)设=,则=+=+(-)=(1-)+.由平面向量基本定理可得解得m=,所以=+,令|=x,|=y,则SABC=|sinACB=xy=,所以xy=4,且x0,y0,所以|2=x2+y2+xy=x2+y2+2+=,当且仅当x2=y2,即3x=4y,即3|=4|时等号成立.即|min=.答案:(1)2+2(2)【例2】 (1)(2018安徽江南十校二模)已知x,y满足z=xy的最小值、最大值分别为a,b,且x2-kx+10对xa,b恒成立,则k的取值范围为()(A)-2,2(B)(-,2(C)-2,+)(D)-,(2)(2018山西孝义一模)已知不等式组表示的平面区域为D,若函数y=|x-1|+m的图象上存在区域D上的点,则实数m的取值范围是()(A)0,(B)-2,(C)-2,1(D)-1,(3)(2018河南省新乡市三模)设x,y满足约束条件若的最大值为2,则a的值为()(A)(B)(C)(D)(4)(2018百校联盟高三摸底)若函数y=log2x的图象上存在点(x,y),满足约束条件则实数m的最大值为.解析:(1)作出表示的平面区域(如图所示),显然z=xy的最小值为0,易求的交点A(1,1),当点(x,y)在线段x+2y=3(0x1)上时,z=xy=x-=-x2+x1;当点(x,y)在线段2x+y=3(0x1)上时,z=xy=x(3-2x)=-2x2+3x;即a=0,b=;当x=0时,不等式x2-kx+1=10恒成立,若x2-kx+10对x0,恒成立,则kx+在0,上恒成立,又x+在(0,1上单调递减,在1,上单调递增,即x+min=2,即k2.故选B.(2)作出不等式组表示的平面区域D(如图阴影),函数y=|x-1|的图象为直线y=x-1保留x轴上方的并把x轴下方的上翻得到,其图象为关于直线x=1对称的折线,沿x=1上下平移y=|x-1|的图象,当经过点B时m取最小值,过点A时m取最大值,由可解得即B(2,-1),此时有-1=|2-1|+m,解得m=-2;由可解得即A(1,1),此时有1=|1-1|+m,解得m=1.故实数m的取值范围为-2,1.故选C.(3)设m=x-y,n=x+y,得x=,y=,代入不等式组,得即关于n,m的不等式组的可行域如图所示,=mn=,也就是mn表示可行域内点与原点连线的斜率,由条件知斜率最大值为2,此时mn=2,由得即点,在直线m+n-2a=0上,所以+-2a=0,所以a=.故选C.(4)作出不等式组表示的平面区域,得到如图的三角形,再作出对数函数y=log2x的图象,可得该图象与直线x+y-3=0交于点M(2,1),当该点在区域内时,图象上存在点(x,y)满足不等式组,即m1符合题意,即m的最大值为1.答案:(1)B(2)C(3)D(4)1【例3】 (1)(2018浙江宁波5月模拟)若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格,要求有公共顶点的两个格子颜色不同,则不同的涂色方案有()(A)48种(B)72种(C)96种(D)216种(2)(2018安徽合肥二模)如图,给7条线段的5个端点涂色,要求同一条线段的两个端点不能同色,现有4种不同的颜色可供选择,则不同的涂色方法有()(A)24种(B)48种(C)96种(D)120种解析:(1