2019年高考数学考点分析与突破性讲练专题18等差数列理.docx

专题18 等差数列一、 考纲要求：1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系二、概念掌握及解题上的注意点： 1.(解决等差数列运算问题的思想方法(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”.(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解.(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程. 2. 等差数列的四种判断方法(1)定义法：an1and(d是常数)an是等差数列.可用来判定与证明.(2)等差中项法：2an1anan2(nN*)an是等差数列.可用来判定与证明.(3)通项公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列.(4)前n项和公式：SnAn2Bn(A，B为常数)an是等差数列.三、高考考题题例分析： 例1.（2018课标卷I） 记Sn为等差数列an的前n项和若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A12B10C10D12【答案】B【解析】：Sn为等差数列an的前n项和，3S3=S2+S4，a1=2，=a1+a1+d+4a1+d，把a1=2，代入得d=3a5=2+4（3）=10故选：B例2.（2018课标卷II）记Sn为等差数列an的前n项和，已知a1=7，S3=15（1）求an的通项公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值【答案】（1）an=2n9；（2）16例3.（2018北京卷）设an是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则an的通项公式为【答案】an=6n3【解析】：an是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，解得a1=3，d=6，an=a1+（n1）d=3+（n1）6=6n3an的通项公式为an=6n3故答案为：an=6n3例4.（2018上海卷）记等差数列an的前n项和为Sn，若a3=0，a6+a7=14，则S7=【答案】14【解析】解：等差数列an的前n项和为Sn，a3=0，a6+a7=14，解得a1=4，d=2，S7=7a1+=28+42=14故答案为：14例5.(2017课标I)记为等差数列的前项和若，则的公差为A1B2C4D8【答案】C例6.(2017浙江)已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则“d0”是“S4 + S62S5”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】：由，可知当，则，即，反之，所以为充要条件，选C例7.(2016高考新课标1)已知等差数列前9项的和为27,则（）（A）100 （B）99 （C）98 （D）97【答案】C【解析】：由已知,所以故选C.例8.(2017天津)已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，,，.（）求和的通项公式；（）求数列的前n项和.【答案】 （1）.（2）.【解析】：根据等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程求出等差数列首项和公差及等比数列的公比，写出等差数列和等比孰劣的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求计算要准确.（II）解：设数列的前项和为，由，有，故，上述两式相减，得 得.所以，数列的前项和为.例9.(2016高考新课标II)为等差数列的前项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如（）求；（）求数列的前1 000项和【答案】（）， ；（）1893.试题解析：（）设的公差为，据已知有，解得所以的通项公式为（）因为所以数列的前项和为等差数列练习一、选择题1等差数列an的前n项和为Sn，且S36，a30，则公差d等于 ()A1B1C2D2【答案】D【解析】:依题意得S33a26，即a22，故da3a22，故选D2在等差数列an中，若a24，a42，则a6等于 ()A1B0C1D6【答案】B【解析】:由等差数列的性质，得a62a4a22240，选B3已知数列an是等差数列，a1a78，a22，则数列an的公差d等于 ()A1B2C3D4【答案】C4已知等差数列an中，a111，a51，则an的前n项和Sn的最大值是 ()A15B20C26D30【答案】C【解析】:设数列an的公差为d，则d(a5a1)3，所以an113(n1)143n，令an143n0，解得n，所以Sn的最大值为S4411(3)26，故选C5.设等差数列an的前n项和为Sn，S1122，a412，若am30，则m ()A9B10C11D15【答案】B【解析】:设等差数列an的公差为d，依题意解得ama1(m1)d7m4030，m10.6.张邱建算经卷上第22题为：今有女善织，日益功疾(注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布)，第1天织5尺布，现在一月(按30天计)，共织390尺布，则第2天织布的尺数为 ()ABCD【答案】A【解析】:由条件知该女子每天织布的尺数构成一个等差数列an，且a15，S30390，设公差为d，则305d390，解得d，则a2a1d，故选A7.在数列an中，若a11，a2，(nN*)，则该数列的通项为 ()AanBanCanDan【答案】A8.设Sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则S5 ()A5B7C9D11【答案】A【解析】:a1a3a53a33a31，S55a35.9.等差数列an中，a1a3a539，a5a7a927，则数列an的前9项的和S9等于()A66B99C144D297【答案】B 【解析】:根据等差数列的性质知a1a3a53a339，可得a313.由a5a7a93a727，可得a79，故S999，故选B10.设Sn是等差数列an的前n项和，若，则 ()A1B1C2D【答案】A【解析】:1. 11等差数列an中，a28，前6项的和S666，设bn，Tnb1b2bn，则Tn ()A1B1CD【答案】D12设数列an的前n项和为Sn，若为常数，则称数列an为“吉祥数列”已知等差数列bn的首项为1，公差不为0，若数列bn为“吉祥数列”，则数列bn的通项公式为()Abnn1Bbn2n1Cbnn1Dbn2n1【答案】B【解析】:设等差数列bn的公差为d(d0)，k，因为b11，则nn(n1)dk，即2(n1)d4k2k(2n1)d，整理得(4k1)dn(2k1)(2d)0.因为对任意的正整数n上式均成立，所以(4k1)d0，(2k1)(2d)0，解得d2，k，所以数列bn的通项公式为bn2n1.二、填空题13在等差数列an中，公差d，前100项的和S10045，则a1a3a5a99_.【答案】1014九章算术是我国第一部数学专著，下面有源自其中的一个问题：“今有金箠(chu)，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问金箠重几何？”意思是：“现有一根金箠，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问金箠重多少斤？”根据上面的已知条件，若金箠由粗到细的重量是均匀变化的，则答案是_【答案】15斤【解析】:由题意可知金箠由粗到细各尺的重量成等差数列，且a14，a52，则S515，故金箠重15斤15在等差数列an中，a17，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n8时Sn取得最大值，则d的取值范围为_. 【答案】【解析】:由题意，当且仅当n8时Sn有最大值，可得即解得1d.16设等差数列an的前n项和为Sn，Sm12，Sm0，Sm13，则正整数m的值为_【答案】5【解析】:因为等差数列an的前n项和为Sn，Sm12，Sm0，Sm13，所以amSmSm12，am1Sm1Sm3，数列的公差d1，amam1Sm1Sm15，即2a12m15，所以a13m.由Sm(3m)m10，解得正整数m的值为5.三、解答题17在等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前k项和Sk35，求k的值【答案】(1)an1(n1)(2)32n；(2) k7.18.已知数列an中，a1，an2(n2，nN*)，数列bn满足bn(nN*)求证：数列bn是等差数列求数列an中的通项公式an.【解析】证明：因为an2(n2，nN*)，bn.所以n2时，bnbn11.又b1，所以数列bn是以为首项，1为公差的等差数列由(1)知，bnn，则an11.19已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk110.(1)求a及k的值；(2)设数列bn的通项公式bn，证明：数列bn是等差数列，并求其前n项和Tn.【答案】(1) a2，k10. (2) Tn(2)证明：由(1)得Snn(n1)，则bnn1，故bn1bn(n2)(n1)1，即数列bn是首项为2，公差为1的等差数列，所以Tn.20已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常数. (1)证明：an2an；(2)是否存在，使得an为等差数列？并说明理由【解析】(1)证明：由题设知anan1Sn1，an1an2Sn11，两式相减得an1(an2an)an1，由于an10，所以an2an.(2)由题设知a11，a1a2S11，可得a21.由(1)知，a31.令2a2a1a3，解得4.故an2an4，由此可得a2n1是首项为1，公差为4的等差数列，a2n14n3；a2n是首项为3，公差为4的等差数列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2，因此存