高考数学三角函数与解三角形考查角度2三角恒等变换与解三角形的综合应用突破训练文.docx

考查角度2三角恒等变换与解三角形的综合应用分类透析一三角恒等变换及应用例1 在ABC中,AC=6,cos B=45,C=4.(1)求AB的长;(2)求cosA-6的值.分析 (1)先利用同角三角函数关系式求出sin B,再用正弦定理求AB的长.(2)先利用A+B+C=和两角和公式求出cos A,再求出sin A,最后用两角差公式求解.解析 (1)因为cos B=45,0B,所以sin B=1-cos2B=1-452=35.由正弦定理知ACsinB=ABsinC,所以AB=ACsinCsinB=62235=52.(2)在ABC中,A+B+C=,所以A=-(B+C).所以cos A=-cos(B+C)=-cosB+4=-cos Bcos4+sin Bsin4.又cos B=45,sin B=35,所以cos A=-4522+3522=-210.因为0AAD,所以AD=3.(2)在ABD中,由正弦定理可知BDsinBAD=ABsinADB.又由cosBAD=223,可知sinBAD=13,所以sinADB=ABsinBADBD=63.因为ADB=DAC+C=2+C,所以cos C=63.方法技巧 解三角形的关键是分清所解三角形中的已知元素和未知元素,由已知条件合理选用正弦定理、余弦定理,注意角的范围与三角函数符号之间的联系.分类透析三三角恒等变换与解三角形的综合应用例3 在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足3c-acosA=bcosB,D是AC边上的一点.(1)求cos B的值;(2)若AB=2,AD=2DC,BD=433,求ABC的面积.分析 (1)先化简已知等式,再根据角的范围求出cos B.(2)设AD=2DC=2x,利用CDB=-ADB和余弦定理建立方程组求出a,再由cos B求出sin B,代入S=12acsin B中,进而求出ABC的面积.解析 (1)由3c-acosA=bcosB,得3ccos B-acosB=bcosA,3ccos B=acosB+bcosA.由正弦定理得3sin CcosB=sin AcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sin C.因为sin C0,所以cos B=13.(2)设BC=a,AD=2DC=2x,则在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC,即9x2=4+a2-4a3.在ABD中,由余弦定理得cosADB=(2x)2+4332-2222x433;在BDC中,由余弦定理得cosCDB=x2+4332-a22x433.因为cosCDB=-cosADB,所以3x2-a2=-6.由,解得a=3.又因为sinABC=1-19=223,所以ABC的面积为12ABBCsinABC=22.方法技巧 (1)一般地,如果条件为含有角的余弦或边的代数式,要灵活运用正弦、余弦定理实现边角转化;(2)三角形的面积公式涉及边、角,常和正弦、余弦定理结合起来运用.1.(2018年江苏卷,16改编)已知cos6+cos3-=-14,3,2.(1)求sin 2的值;(2)求tan -1tan的值.解析 (1)cos6+cos3-=cos6+sin6+=12sin2+3=-14,sin2+3=-12.3,2,2+3,43,2+3=76,解得2=56.sin 2=sin 56=12.(2)由(1)知sin 2=12,cos 2=-32.tan -1tan=sincos-cossin=sin2-cos2sincos=-2cos2sin2=-2-3212=23.2.(2018年全国卷,理17改编)如图所示,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=7.(1)求cosCAD的值;(2)若cosBAD=-714,sinCBA=216,求BC的长.解析 (1)在ADC中,由余弦定理,得cosCAD=AC2+AD2-CD22ACAD=7+1-427=277.(2)设BAC=,则=BAD-CAD.cosCAD=277,sinCAD=1-cos2CAD=217.又cosBAD=-714,sinBAD=1-cos2BAD=32114.sin =sin(BAD-CAD)=sinBADcosCAD-cosBADsinCAD=32114277-714217=32.在ABC中,由正弦定理,得BCsin=ACsinCBA,故BC=ACsinsinCBA=732216=3.3.(2017年全国卷,理17改编)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bcosA=(2c-a)cos B.(1)求角B的大小;(2)若ABC的面积为33,b=13,求ABC的周长.解析 (1)bcosA=(2c-a)cos B,由正弦定理,得sin BcosA=(2sin C-sin A)cos B.sin AcosB+cosAsinB=2sin CcosB,sin(A+B)=2sin CcosB.又A+B+C=,sin(A+B)=sin C.sin C0,cos B=12.又B(0,),B=3.(2)由(1)知B=3,又b=13,b2=a2+c2-2accos B,即13=a2+c2-ac.又SABC=12acsin B=33,ac=12.联立解得a+c=7.ABC的周长为7+13.1.(2018年长郡中学)已知在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asinB-bcosA=0.(1)求角A的大小.(2)若a=25,b=2,求ABC的面积.解析 (1)在ABC中,由正弦定理得sin AsinB-sin BcosA=0,即sin B(sin A-cos A)=0.又B为三角形的内角,sin B0,所以sin A-cos A=0,即2sinA-4=0.又A(0,),所以A=4.(2)在ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,将a=25,b=2,cos A=22代入,得20=4+c2-4c22,即c2-22c-16=0,解得c=-22(舍去)或c=42.所以SABC=12bcsin A=1224222=4.2.(2018年河南郑州高三质检一)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2ccos B=2a+b.(1)求角C;(2)若ABC的面积S=32c,求ab的最小值.解析 (1)由正弦定理得2sin CcosB=2sin A+sinB,即2sin CcosB=2sin(B+C)+sin B,2sin BcosC+sinB=0.B为三角形的内角,sin B0,cos C=-12.又C为三角形的内角,C=23.(2)S=12absin C=32c,c=12ab.又c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2+ab,a2b24=a2+b2+ab3ab.ab12.故ab的最小值为12.3.(2018届江西省重点中学协作体联考)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,2acos B+b=2c,ABAC=4.(1)求SABC;(2)若D是BC的中点,AD=7,求a.解析 (1)2acos B+b=2c,A+B+C=,2sin AcosB+sinB=2sin C=2sin(A+B)=2sin AcosB+2cos AsinB,整理得sin B=2sin BcosA,又sin B0,cos A=12.A(0,),A=3.ABAC=4,bccos A=4,解得bc=8,SABC=12bcsin A=12832=23.(2)AD=12(AB+AC),AD2=14(AB2+2ABAC+AC2),即7=14(c2+24+b2),化简得b2+c2=20.又bc=8,a2=b2+c2-2bccos A=20-2812=12.a=23.4.(2018届襄阳调研)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知asinB=bcosA,cosB=35.(1)求cos C的值;(2)若a=15,D为AB边上的点,且2AD=BD,求CD的长.解析 (1)由asinB=bcosA得sin AsinB=sin BcosA.A,B,C是ABC的内角,sin B0,cos A0,tan A=1,故A=4.由cos B=35,得sin B=1-352=45