天津2020版高考数学复习4.4解三角形精练.docx

4.4解三角形挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.正弦、余弦定理的应用1.理解正弦定理与余弦定理的推导过程2.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题2016天津,3利用余弦定理解三角形2015天津,13利用余弦定理解三角形三角形面积公式2014天津,122014天津文,16正弦定理、余弦定理2.解三角形的综合应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题2018天津,152017天津,15利用正弦定理、余弦定理解三角形三角恒等变换分析解读1.利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面几何图形中有关量的问题时,需要综合应用两个定理及三角形有关知识.2.正弦定理和余弦定理应用比较广泛,也比较灵活,在高考中常与面积或取值范围结合进行考查.3.利用数学建模思想,结合三角形的知识,解决实际生活中的相关问题.本节内容在高考中常以解答题的形式出现,有时也会出现在选择题和填空题中.破考点【考点集训】考点一正弦、余弦定理的应用1.在ABC中,a=1,A=6,B=4,则c=()A.6+22B.6-22C.62D.22答案A2.在ABC中,A=3,BC=3,AB=6,则C=. 答案43.在ABC中,a=2,c=4,且3sinA=2sinB,则cosC=.答案-14考点二解三角形的综合应用4.在ABC中,a=1,b=7,且ABC的面积为32,则c=.答案2或235.在ABC中,a=5,c=7,cosC=15,则b=,ABC的面积为.答案6;666.在ABC中,a=3,C=23,ABC的面积为334,则b=;c=.答案1;13炼技法【方法集训】方法1三角形形状的判断1.在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c-acosB=(2a-b)cosA,则ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形答案D2.在ABC中,若tanAtanB=a2b2,则ABC的形状是()A.直角三角形B.等腰或直角三角形C.等腰三角形D.不能确定答案B方法2解三角形的常见题型及求解方法3.在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.若A=3,a=3,b=1,则c=.答案24.(2014课标,16,5分)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则ABC面积的最大值为.答案35.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos2B+cosB=0.(1)求角B的值;(2)若b=7,a+c=5,求ABC的面积.解析(1)由已知得2cos2B-1+cosB=0,即(2cosB-1)(cosB+1)=0.解得cosB=12或cosB=-1.因为0B,所以cosB=12.所以B=3.(2)由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB.将B=3,b=7代入上式,整理得(a+c)2-3ac=7.因为a+c=5,所以ac=6.所以ABC的面积S=12acsinB=332.过专题【五年高考】A组自主命题天津卷题组考点一正弦、余弦定理的应用1.(2016天津,3,5分)在ABC中,若AB=13,BC=3,C=120,则AC=()A.1B.2C.3D.4答案A2.(2015天津,13,5分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ABC的面积为315,b-c=2,cosA=-14,则a的值为.答案83.(2014天津,12,5分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=14a,2sinB=3sinC,则cosA的值为.答案-144.(2014天津文,16,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a-c=66b,sinB=6sinC.(1)求cosA的值;(2)求cos2A-6的值.解析(1)在ABC中,由bsinB=csinC,及sinB=6sinC,可得b=6c.又由a-c=66b,有a=2c.所以,cosA=b2+c2-a22bc=6c2+c2-4c226c2=64.(2)在ABC中,由cosA=64,可得sinA=104.于是cos2A=2cos2A-1=-14,sin2A=2sinAcosA=154.所以cos2A-6=cos2Acos6+sin2Asin6=15-38.评析本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦公式、两角差的余弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.考点二解三角形的综合应用1.(2018天津,15,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acosB-6.(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.解析(1)在ABC中,由正弦定理可得bsinA=asinB,又由bsinA=acosB-6,得asinB=acosB-6,即sinB=cosB-6,可得tanB=3.因为B(0,),所以B=3.(2)在ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=3,有b2=a2+c2-2accosB=7,故b=7.由bsinA=acosB-6,可得sinA=37.因为ab,a=5,c=6,sinB=35.(1)求b和sinA的值;(2)求sin2A+4的值.解析(1)在ABC中,因为ab,所以AB,故由sinB=35,可得cosB=45.由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accosB=13,所以b=13.由正弦定理得sinA=asinBb=31313.所以,b的值为13,sinA的值为31313.(2)由(1)及ac,得cosA=21313,所以sin2A=2sinAcosA=1213,cos2A=1-2sin2A=-513.故sin2A+4=sin2Acos4+cos2Asin4=7226.方法总结利用正、余弦定理求边或角的步骤:(1)根据已知的边和角画出相应的图形,并在图中标出;(2)结合图形选择用正弦定理或余弦定理求解;(3)在运算和求解过程中注意三角恒等变换和三角形中常用结论的运用.评析本题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角的正弦、余弦公式,两角和的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一正弦、余弦定理的应用1.(2018课标,6,5分)在ABC中,cosC2=55,BC=1,AC=5,则AB=()A.42B.30C.29D.25答案A2.(2016课标,8,5分)在ABC中,B=4,BC边上的高等于13BC,则cosA=()A.31010B.1010C.-1010D.-31010答案C3.(2018浙江,13,6分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=7,b=2,A=60,则sinB=,c=.答案217;34.(2018课标,17,12分)在平面四边形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求cosADB;(2)若DC=22,求BC.解析(1)在ABD中,由正弦定理知BDsinA=ABsinADB.故5sin45=2sinADB,所以sinADB=25.由题设知,ADB90,所以cosADB=1-225=235.(2)由题设及(1)知,cosBDC=sinADB=25.在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252225=25.所以BC=5.方法总结正、余弦定理的应用原则:(1)正弦定理是一个连比等式,在运用此定理时,只要知道其中一对的比值或等量关系就可以通过该定理解决问题,在解题时要学会灵活运用.(2)运用余弦定理时,要注意整体思想的应用.(3)在利用正、余弦定理判断三角形形状时,等式两边一般不要约去公因式,应移项提取公因式,避免漏解.(4)在利用正弦定理求三角形解的个数问题时,可能会出现一解、两解或无解的情况,所以解答此类问题时需要进行分类讨论,避免漏解或增解.考点二解三角形的综合应用1.(2018课标,9,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC的面积为a2+b2-c24,则C=()A.2B.3C.4D.6答案C2.(2017浙江,14,6分)已知ABC中,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则BDC的面积是,cosBDC=.答案152;1043.(2015湖北,13,5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一垂直于路面的山CD在西偏北30的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD=m.答案10064.(2017课标,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知ABC的面积为a23sinA.(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求ABC的周长.解析(1)由题意得SABC=12acsinB=a23sinA,即12csinB=a3sinA.由正弦定理得12sinCsinB=sinA3sinA.故sinBsinC=23.(2)由题意及(1)得cosBcosC-sinBsinC=-12,即cos(B+C)=-12.又B、C为三角形内角,所以B+C=23,故A=3.由题意得12bcsinA=a23sinA,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=33.故ABC的周长为3+33.思路分析(1)首先利用三角形的面积公式可得12acsinB=a23sinA,然后利用正弦定理,把边转化成角的形式,即可得出sinBsinC的值;(2)首先利用sinBsinC的值以及题目中给出的6cosBcosC=1,结合两角和的余弦公式求出B+C,进而得出A,然后利用三角形的面积公式和a的值求出bc的值,最后利用余弦定理求出b+c的值,进而得出ABC的周长.方法总结(1)应用正弦定理、余弦定理将条件转化为仅有边或仅有角的形式,以便进一步化简计算,例如:将12csinB=a3sinA变形为12sinCsinB=sinA3sinA.(2)三角形面积公式:S=12absinC=12acsinB=12bcsinA.(3)三角形的内角和为.这一性质经常在化简中起到消元的作用,例如:在ABC中,sin(B+C)=sinA.5.(2016课标,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.(1)求C;(2)若c=7,ABC的面积为332,求ABC的周长.解析(1)由已知及正弦定理得,2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,2cosCsin(A+B)=sinC.故2sinCcosC=sinC.所以cosC=12,又C为三角形内角,所以C=3.(2)由已知,得12absinC=332.又C=3,所以ab=6.由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcosC=7.故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.a+b=5.所以ABC的周长为5+7.6.(2015课标,17,12分)ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD面积是ADC面积的2倍.(1)求sinBsinC;(2)若AD=1,DC=22,求BD和AC的长.解析(1)SABD=12ABADsinBAD,SADC=12ACADsinCAD.因为SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得sinBsinC=ACAB=12.(2)因为SABDSADC=BDDC=2,DC=22,所以BD=2.在ABD和ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB,AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.7.(2015陕西,17,12分)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,3b)与n=(cosA,sinB)平行.(1)求A;(2)若a=7,b=2,求ABC的面积.解析(1)因为mn,所以asinB-3bcosA=0,由正弦定理,得sinAsinB-3sinBcosA=0,又sinB0,从而tanA=3,由于0A0,所以c=3.故ABC的面积为12bcsinA=332.解法二:由正弦定理,得7sin3=2sinB,从而sinB=217,又由ab,知AB,所以cosB=277.故sinC=sin(A+B)=sinB+3=sinBcos3+cosBsin3=32114.所以ABC的面积为12absinC=332.8.(2015湖南,17,12分)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA.(1)证明:sinB=cosA;(2)若sinC-sinAcosB=34,且B为钝角,求A,B,C.解析(1)证明:由a=btanA及正弦定理,得sinAcosA=ab=sinAsinB,所以sinB=cosA.(2)因为sinC-sinAcosB=sin180-(A+B)-sinAcosB=sin(A+B)-sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB-sinAcosB=cosAsinB,所以cosAsinB=34.由(1)知sinB=cosA,因此sin2B=34.又B为钝角,所以sinB=32,故B=120.由cosA=sinB=32知A=30.从而C=180-(A+B)=30.综上所述,A=30,B=120,C=30.评析本题考查了正弦定理,三角恒等变换,考查了运算求解能力,熟练、准确地应用公式是求解关键.C组教师专用题组考点一正弦、余弦定理的应用1.(2017山东,9,5分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC为锐角三角形,且满足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是()A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A答案A2.(2015广东,11,5分)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=3,sinB=12,C=6,则b=.答案13.(2015安徽,16,12分)在ABC中,A=34,AB=6,AC=32,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.解析设ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosBAC=(32)2+62-2326cos34=18+36-(-36)=90,所以a=310.又由正弦定理得sinB=bsinBACa=3310=1010,由题意知0B4,所以cosB=1-sin2B=1-110=31010.在ABD中,由正弦定理得AD=ABsinBsin(-2B)=6sinB2sinBcosB=3cosB=10.考点二解三角形的综合应用1.(2018江苏,13,5分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ABC=120,ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为.答案92.(2016浙江,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;(2)若ABC的面积S=a24,求角A的大小.解析(1)证明:由题意及正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,于是sinB=sin(A-B).又A,B(0,),故0A-B,所以B=-(A-B)或B=A-B,因此A=(舍去)或A=2B,所以A=2B.(2)由S=a24得12absinC=a24,故有sinBsinC=12sin2B=sinBcosB.又sinB0,所以sinC=cosB.因为B,C(0,),所以C=2B.当B+C=2时,A=2;当C-B=2时,A=4.综上,A=2或4.3.(2014湖南,18,12分)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=7.(1)求cosCAD的值;(2)若cosBAD=-714,sinCBA=216,求BC的长.解析(1)在ADC中,由余弦定理得cosCAD=AC2+AD2-CD22ACAD=7+1-427=277.(2)设BAC=,则=BAD-CAD.因为cosCAD=277,cosBAD=-714,所以sinCAD=1-cos2CAD=1-2772=217,sinBAD=1-cos2BAD=1-7142=32114.于是sin=sin(BAD-CAD)=sinBADcosCAD-cosBADsinCAD=32114277-714217=32.在ABC中,由正弦定理,得BCsin=ACsinCBA,故BC=ACsinsinCBA=732216=3.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2018天津南开二模,3)ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知b=5,c=2,cosB=23,则a=()A.2B.3C.2D.3答案D2.(2018天津一中4月月考,4)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2=a2-2bc,A=23,则角C为()A.6B.6或34C.34D.4答案A3.(2018天津南开中学第四次月考,4)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c2=(a-b)2+6,C=3,则ABC的面积为()A.3B.932C.332D.33答案C4.(2018天津河西一模,5)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足2acosA=3c-2bcosB,b=5sinB,则a=()A.53B.23C.35D.253答案A5.(2018天津河东一模,3)ABC中,AB=3,BC=13,AC=4,则ABC的面积是()A.33B.332C.3D.32答案A6.(2017天津五校联考(2),5)ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2=(b+c)2-4,ABC的面积为3,则A等于()A.30B.60C.150D.120答案D7.(2017天津河西二模,5)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则A=()A.6B.4C.3D.23答案C二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018天津和平二模,10)在ABC中,AB=3,cosA=23,ABC的面积S=352,则BC边长为.答案69.(2019届天津耀华中学统练(2),12)ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=3bc,sinC=23sinB,则A=.答案610.(2019届天津河西期中,13)在ABC中,a=4,b=5,c=6,则sin2AsinC=.答案1三、解答题(共60分)11.(2019届天津耀华中学第一次月考,15)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,acosC+3asinC-b-c=0.(1)求A;(2)若a=2,ABC的面积为3,求b,c.解析(1)由acosC+3asinC-b-c=0及正弦定理得sinAcosC+3sinAsinC-sinB-sinC=0.因为B=-A-C,所以3sinAsinC-cosAsinC-sinC=0.由于sinC0,所以3sinA-cosA-1=0,即sinA-6=12.又0A,故A=3.(2)ABC的面积S=12bcsinA=3,故bc=4.又a2=b2+c2-2bccosA,故b2+c2=8.解得b=c=2.12.(2019届天津一中月考,15)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(cosA-3sinA)cosB=0.(1)求角B的大小;(2)若a+c=1,求b的取值范围.解析(1)由已知得-cos(A+B)+cosAcosB-3sinAcosB=0,即有sinAsinB-3sinAcosB=0,因为sinA0,所以sinB-3cosB=0,又cos