2014高考数学一轮汇总训练《简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词》理新人教A版.doc

备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义2.理解全称量词与存在量词的意义3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.1.新课标对三个逻辑联结词的要求虽然只是了解，但这三个逻辑联结词却是高考试题中的常客，多为选择题，其中，综合其他知识对含有这几个逻辑联结词的命题的判断问题成为高考命题的一个热点如2012年辽宁T4等2.对全称量词与存在量词的考查，主要是结合其他知识点考查含有全称量词与存在量词的命题的判断，多为选择题或填空题，试题难度一般如2011年湖北T2等.归纳知识整合1命题pq、pq、綈p的真假判定pqpqpq綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真探究1.逻辑联结词“且”“或”“非”与集合运算中的“交”“并”“补”有什么关系？提示：“且”“或”“非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“交”“并”“补”，因此，常常借助集合的“交”“并”“补”的意义来解答由“且”“或”“非”三个联结词构成的命题问题2全称量词和存在量词(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“”表示(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：xM，p(x)(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：x0M，p(x0)3含有一个量词的命题的否定命题命题的否定xM，p(x)x0M，綈p(x0)x0M，p(x0)xM，綈p(x)探究2.全称命题(特称命题)的否定还是全称命题(特称命题)吗？其真假性与原命题有什么关系？提示：不是全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，它们的真假性与原命题恰好相反自测牛刀小试1(教材改编题)下列命题是真命题的是()27是3的倍数或27是9的倍数；27是3的倍数且27是9的倍数；平行四边形的对角线互相垂直且平分；平行四边形的对角线互相垂直或平分；1是方程x10的根，且是方程x25x40的根ABC D解析：选C平行四边形的对角线互相平分但不一定垂直，故错误2命题p：“已知0x，若xcos x1，则xcos2x1”的否定为()A已知x0或x，若xcos x1，则xcos2x1B已知x0或x，若xcos x1，则xcos2x1C已知0x，若xcos x1，则xcos2x1D已知0x，若xcos x1，则xcos2x1解析：选C在命题p中，“已知0x”为大前提，在命题的否定中不能改变，命题“若A，则B”的否定是“若A，则綈B”，故命题p的否定为：已知0x，若xcos x0BxN*，(x1)20Cx0R，lg x00；B项，xN*，当x1时，(x1)20与(x1)20矛盾；C项，当x0时，lg 11；D项，当x0R时，tan x0R，x0R，tan x02.4(教材改编题)(1)命题p：任意两个等边三角形都是相似的，则綈p：_.(2)命题p：x0R，x2x020，则綈p：_.解析：(1)全称命题的否定为特称命题，则綈p：存在两个等边三角形，它们不相似(2)特称命题的否定为全称命题，则綈p：xR，x22x20答案：(1)存在两个等边三角形，它们不相似(2)xR，x22x205已知命题p：x0R，x2；命题q是命题p的否定，则命题p、q、pq、pq中是真命题的是_解析：x01时，p成立，所以p真，q假，pq假，pq真答案：p、pq含有逻辑联结词的命题的真假判断例1已知命题p：(a2)2|b3|0(a，bR)，命题q：x23x20的解集是x|1x2，给出下列结论：命题“pq”是真命题；命题“p綈q”是假命题；命题“綈pq”是真命题；命题“綈p綈q”是假命题其中正确的是()ABC D自主解答命题p：(a2)2|b3|0(a，bR)是真命题，命题q：x23x20的解集是x|1x0，则a与b的夹角为锐角；命题q：若函数f(x)在(，0及(0，)上都是减函数，则f(x)在(，)上是减函数下列说法中正确的是()A“p或q”是真命题B“p或q”是假命题C綈p为假命题 D綈q为假命题解析：选B当ab0时，a与b的夹角为锐角或零度角，命题p是假命题；命题q是假命题，例如f(x)综上可知，“p或q”是假命题.全称命题、特称命题的真假判断例2(1)下列命题中，真命题是()Ax0，sin x0cos x02Bx(3，)，x22x1Cx0R，xx01Dx，tan xsin x(2)已知a0，函数f(x)ax2bxc，若m满足关于x的方程2axb0，则下列选项中的命题为假命题的是()Ax0R，f(x0)f(m)Bx0R，f(x0)f(m)CxR，f(x)f(m)DxR，f(x)f(m)自主解答(1)对于选项A，sin xcos xsin ，此命题不成立；对于选项B，x22x1(x1)22，当x3时，(x1)220，此命题成立；对于选项C，x2x120，x2x1对任意实数x都不成立，此命题不成立；对于选项D，当x时，tan x0，命题显然不成立(2)a0，函数f(x)ax2bxc在x处取得最小值f(m)是函数f(x)的最小值故C错误答案(1)B(2)C在本例(2)中，若将“a0”改为“a0”，其他条件不变，则如何选择？解析：选D若a0，有lg2xlg x10CABC中，AB的充要条件是sin Asin BD对任意R，函数ysin(2x)都不是偶函数解析：选D对于A，当0时，tan()0tan tan ，因此选项A是真命题；对于B，注意到lg2xlg x120，因此选项B是真命题；对于C，在ABC中，ABab2Rsin A2Rsin Bsin Asin B(其中R是ABC的外接圆半径)，因此选项C是真命题；对于D，注意到当时，ysin(2x)cos 2x是偶函数，因此选项D是假命题.含有一个量词的命题的否定例3写出下列命题的否定，并判断其真假(1)p：xR，x2x0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：x0R，x2x020；(4)s：至少有一个实数x0，使x10.自主解答(1)綈p：x0R，xx00，真命题(4)綈s：xR，x310，假命题1.对含有一个量词的命题进行否定的方法一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论.2常见词语的否定形式正面词语是都是至少有一个至多有一个对任意xA使p(x)真否定词语不是不都是一个也没有至少有两个存在x0A，使p(x0)假3命题“能被5整除的数，末位是0”的否定是_解析：省略了全称量词“任何一个”，否定为：有些可以被5整除的数，末位不是0.答案：有些可以被5整除的数，末位不是0根据命题真假确定参数的取值范围例4(2013济宁模拟)已知命题p：关于x的方程x2ax40有实根；命题q：关于x的函数y2x2ax4在3，)上是增函数若p或q是真命题，p且q是假命题，则实数a的取值范围是()A(12，44，)B12，44，)C(，12)(4,4)D12，)自主解答命题p等价于a2160，即a4或a4；命题q等价于3，即a12.由p或q是真命题，p且q是假命题知，命题p和q一真一假若p真q假，则a12；若p假q真，则4a0，且c1，设p：函数ycx在R上单调递减；q：函数f(x)x22cx1在上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围解：函数ycx在R上单调递减，0c1.即p：0c0且c1，綈p：c1.又f(x)x22cx1在上为增函数，c.即q：00且c1，綈q：c且c1.又“p或q”为真，“p且q”为假，p真q假或p假q真当p真，q假时，c|0c1.综上所述，实数c的取值范围是.1个规律含逻辑联结词的命题的真假判断规律(1)pq：p、q中有一个为真，则pq为真，即一真全真；(2)pq：p、q中有一个为假，则pq为假，即一假即假；(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反2种方法含量词的命题的否定及真假判断方法(1)全称命题真假的判断方法(见例2)；(2)特称命题真假的判断方法(见例2)；(3)含量词的命题的否定方法是“改量词，否结论”，即把全称量词与存在量词互换，然后否定原命题的结论2个易错点命题否定中的两个易错点(1)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定(2)p或q的否定为：綈p且綈q；p且q的否定为：綈p或綈q. 易误警示辨析含有量词的命题的否定中的易误点典例(2012辽宁高考)已知命题p：x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0，则綈p是()Ax1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0Bx1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0Cx1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0Dx1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0解析题目中命题的意思是“对任意的x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0都成立”，要否定它，只要找到至少一组x1，x2，使得(f(x2)f(x1)(x2x1)0即可，故命题“x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0”的否定是“x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0”答案C1因忽视对量词的改写，错选D；因忽视对不等号的改写，误选B；因对量词的改写不准确，误选A.2此类问题，还易出现以下错误：有的全称命题的全称量词往往可以不写，从而在进行命题否定时将全称命题只否定判断词，而不否定省略了的全称量词如命题“三角形的两边之和大于第三边”的否定应为“有些三角形的两边之和小于或等于第三边”而不是“三角形的两边之和小于或等于第三边”3为避免上述错误，对含有一个量词的命题进行否定时，应重点关注以下几点：(1)正确理解含有一个量词的命题的否定的含义，从整体上把握，明确其否定的实质(2)明确命题的类型，是全称命题还是特称命题(3)记住一些常用的词语的否定形式及其规律1命题“x0R，x2x010CxR，x22x10DxR，x22x10解析：选C因为特称命题p：x0A，P(x0)，它的否定是綈p：xA，綈P(x)，所以命题“x0R，x2x01sin x，则命题綈p：()Ax0，tan x0sin x0Bx0，tan x0sin x0Cx0，tan x0sin x0Dx0，tan x0sin x0解析：选Cx的否定为x0，的否定为，所以命题綈p为x0，tan x0sin x0.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1(2013长沙模拟)设p、q是两个命题，则“复合命题p或q为真，p且q为假”的充要条件是()Ap、q中至少有一个为真Bp、q中至少有一个为假Cp、q中有且只有一个为真 Dp为真，q为假解析：选Cp或q为真p、q中至少有一个为真；p且q为假p、q中至少有一个为假，“命题p或q为真，p且q为假”p与q一真一假而由C选项“命题p或q为真，p且q为假”2下列四个命题中的真命题为()Ax0Z,14x00解析：选D14x03，x00.3(2013揭阳模拟)已知命题p：x0R，cos x0；命题q：xR，x2x10，则下列结论正确的是()A命题pq是真命题B命题p綈q是真命题C命题綈pq是真命题D命题綈p綈q是假命题解析：选C命题p是假命题，命题q是真命题，pq是假命题，p綈q是假命题，綈pq是真命题，綈q綈p是真命题4已知命题p：x0，sin x0，则綈p为()Ax，sin xBx，sin xCx0，sin x0Dx0，sin x0解析：选B依题意得，命题綈p应为：x，sin x.5已知命题p：抛物线y2x2的准线方程为y；命题q：若函数f(x1)为偶函数，则f(x)关于x1对称则下列命题是真命题的是()Apq Bp(綈q)C(綈p)(綈q) Dpq解析：选D抛物线y2x2，即x2y的准线方程是y；当函数f(x1)为偶函数时，函数f(x1)的图象关于直线x0对称，函数f(x)的图象关于直线x1对称(注：将函数f(x)的图象向左平移一个单位长度可得到函数f(x1)的图象)，因此命题p是假命题，q是真命题，pq、p(綈q)、(綈p)(綈q)都是假命题，pq是真命题6(2013南昌模拟)下列命题正确的是()A已知p：0，则綈p：0B在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，则ab是cos A0，则綈p：对任意的xR，x2x10D存在实数xR，使sin xcos x成立解析：选B对于A，綈p应是x10，因此A不正确；对于B，在ABC中，abABcos A3”的否定是_解析：全称命题的否定为特称命题，所以该命题的否定为：x0R，|x02|x04|3.答案：x0R，|x02|x04|38命题p：若a，bR，则ab0是a0的充分条件，命题q：函数y的定义域是3，)，则“pq”、“pq”、“綈p”中是真命题的有_解析：依题意p假，q真，所以pq，綈p为真答案：pq，綈p9若命题“xR，ax2ax20”是真命题，则实数a的取值范围是_解析：当a0时，不等式显然成立；当a0时，由题意知得8a0.解：(1)綈q：x0R，x0是5x120的根，真命题(2)綈r：每一个素数都不是奇数，假命题(3)綈s：xR，|x|0，假命题11已知命题p：x1,2，x2a0，命题q：x0R，x2ax02a0，若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围解：由“p且q”为真命题，则p，q都是真命题p：x2a在1,2上恒成立，只需a(x2)min1，所以命题p：a1；q：设f(x)x22ax2a，存在x0R使f(x0)0，只需4a24(2a)0，即a2a20a1或a2，所以命题q：a1或a2.由得a1或a2故实数a的取值范围是a1或a2.12已知命题p：存在实数m，使方程x2mx10有两个不等的负根；命题q：存在实数m，使方程4x24(m2)x10无实根若“pq”为真，“pq”为假，求m的取值范围解：存在实数m，使方程x2mx10有两个不等的负根，则解得m2，即m2时，p真存在实数m，使方程4x24(m2)x10无实根，则16(m2)21616(m24m3)0，解得1m3，即1m3时，q真因“pq”为真，所以命题p、q至少有一个为真，又“pq”为假，所以命题p、q至少有一个为假，因此，命题p、q应为一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真故或解得m3或10B存在x0R,2x00C对任意的xR,2x0D对任意的xR,2x0解析：选D原命题的否定可写为：“不存在x0R,2x00”其等价命题是：“对任意的xR,2x0”3已知命题p1：函数y2x2x在R上为增函数，p2：函数y2x2x在R上为减函数则在命题q1：p1p2，q2：p1p2，q3：(綈p1)p2和q4：p1(綈p2)中，真命题是()Aq1，q3 Bq2，q3Cq1，q4 Dq2，q4解析：选Cp1是真命题，则綈p1为假命题；p2是假命题，则綈p2为真命题所以q1：p1p2是真命题，q2：p1p2是假命题，q3：(綈p1)p2为假命题，q4：p1(綈p2)为真命题即真命题是q1，q4.4已知命题p：方程x2(2a)x2a0在1,1上有且仅有一解；命题q：存在实数x使不等式x22ax2a0成立若命题“pq”是真命题，求a的取值范围解：由x2(2a)x2a0，得(x2)(xa)0，x2或xa.又方程x2(2a)x2a0在1,1上有且仅有一解，1a1.存在实数x满足不等式x22ax2a0，4a28a0，解得a0或a2.又命题“pq”是真命题，命题p和命题q都是真命题a的取值范围为a|1a0三法破解集合运算和充要条件判断的问题一、三法定乾坤谈集合运算问题的三种方法集合的基本运算主要包括交集、并集、补集，集合是历年高考的必考内容，解决集合的基本运算问题，首先要明确集合中元素的性质，通过解不等式求出每个集合，然后弄清几个集合之间的关系，最后利用列举法、借助数轴或Venn图等根据交集、并集、补集的定义进行基本运算，从而得出结果1列举法列举法就是通过枚举集合中所有的元素，然后根据集合基本运算的定义求解的方法此类方法适用于数集的有关运算以及集合的新定义运算问题其基本的解题步骤是：例1设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P*Qz|zab，aP，bQ，若P1,0,1，Q2,2，则集合P*Q中元素的个数是()A2B3C4 D5解析当a0时，无论b取何值，zab0；当a1，b2时，z(1)(2)；当a1，b2时，z(1)2；当a1，b2时，z1(2)；当a1，b2时，z12.故P*Q，该集合中共有3个元素答案B点评求解两个集合之间的运算应该注意三个问题：一是集合中元素的形式，元素是数还是有序数对，是函数的定义域还是函数的值域等；二是注意集合中对应不等式端点值的处理，尤其是求解集合补集的运算，一定要搞清端点值的取舍；三是求解集合的补集运算时，一定要先求出原来的集合，然后求其补集，不要直接转化条件而导致漏解出错，如集合A的补集不是B，而是B.2数形结合法数形结合法就是利用数轴或Venn图表示出相关集合，然后根据图形求解集合的补集或者进行相关集合的交集、并集的基本运算其求解的基本步骤是：例2(2013嘉兴模拟)已知全集UR，集合Ax|log(x1)0，B，则B(UA)()A0,1 B0,1)C(0,1) D(0,1解析由log(x1)0，得0x11，即1x2，A(1,2)由0，得x(2x3)0，即0x，B.如图所示，在数轴上表示出集合A，B.则UA(，12，)，B(UA)(0,1答案D点评数形结合法主要是利用图形的直观性来进行集合的基本运算，应注意利用数轴表示集合时，要根据端点值的取舍情况正确选用实心点或空心点标注对应集合，避免因区间端点值的取舍不当造成增解或漏解3属性分析法属性分析法就是根据元素与集合之间的确定关系来进行集合基本运算的方法，主要是解决点集问题中某个集合与已知集合之间的关系问题解决此类问题的基本步骤是：例3已知全集U1,2,3,4,5,6,7，M3,4,5，N1,3,6，则集合2,7()AMN B(UM)(UN)C(UM)(UN) DMN解析显然2U,2M,2N，所以2UM,2UN，所以2(UM)(UN)；而7U,7M,7N，所以7UM,7UN，所以7(UM)(UN)综上，易知2,7(UM)(UN)答案B点评属性分析法的实质是利用集合中元素的确定性，即元素与集合之间的关系：属于与不属于在推理过程中还要注意已知集合之间的关系，如aU，aA且AU，则必有aUA.二、三法破解充要条件的判断问题充要条件是历年高考的必考内容，主要包括两个方面：一是以函数、数列、不等式、立体几何中的线面关系等为背景考查充要条件的判断；二是根据充要条件求解参数的取值范围，这两类问题常以填空题的形式进行考查，试题难度不大充要条件的判断问题要注意“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”这两种叙述方式的差异，先将问题转化为第一种基本的叙述方式，然后再判断利用充要条件之间的关系求解参数的取值范围可将其转化为两个集合之间的关系，然后构造相应的不等式进行处理1定义法定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题“若p，则q”与“若q，则p”的判断，根据两个命题是否正确，来确定p与q之间的充要关系其基本步骤是：例1设0x，则“xsin2x1”是“xsin x1”的_条件解析因为0x，所以0sin x1，不等式xsin x1两边同乘sin x，可得xsin2xsin x，所以有xsin2xsin x1.即xsin x1xsin2x1；不等式xsin2x1两边同除以sin x，可得xsin x，而由0sin x1，故xsin x1不一定成立，即xsin2x1/ xsin x1.综上，可知“xsin2x1”是“xsin x1”的必要不充分条件答案必要不充分点评判断p、q之间的关系，只需判断两个命题A：“若p，则q”和B：“若q，则p”的真假两命题的真假与p、q之间的关系如下表所示：命题A命题Bp、q之间的关系真真p为q的充分必要条件真假p为q的充分不必要条件假真p为q的必要不充分条件假假p为q的既不充分又不必要条件2.等价转化法等