大一高数期末复习b班ppt课件

总复习 第一章、第二章,1.函数在一点有定义、连续、可导、可微之间的关系，函数定义的理解，连续与间断点的判定。,函数有定义、连续、可导、可微之间的关系,有定义,连续,可导,可微,有极限,f(x)在x0连续意味着：,（1）函数f在某U（x0）内有定义（包含x0点），,且（2）函数f在x0有极限（左右极限存在且相等），,且（3）函数f在x0点的极限值等于函数f(x0)。,间断点分类:,第一类间断点:,及,均存在 ,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在 ,称,若其中有一个为振荡,称,若其中有一个为,为可去间断点 .,为跳跃间断点 .,为无穷间断点 .,为振荡间断点 .,1、 设f(x)在x0处不连续，则f(x)在x0处必定（ ）（A）无定义； （B）左、右极限不相等； （C）不可微； （D）不一定可导.,设f(x)在x0处连续是f(x)在x0处可导的 （ ）. （A）必要非充分条件；（B）充分非必要条件；（C）充分必要条件； （D）无关条件.,C,A,2.函数在一点可导的定义，导数的几何意义：求曲线在一点处的切线和法线方程。,函数在一点可导的定义,导数的几何意义切线的斜率,一、4,3.会求导数、微分及高阶导数会求二、三阶（包括抽象函数）。 复合函数求导：具体函数，抽象函数 隐函数求导（求一点处的导数）； 由参数方程确定的函数求导（与变限积分综合）；,导数与微分的计算方法：,1）用定义； 2）用导数与单侧导数的关系（求分段函数的导数）； 3）用基本函数的导数（微分）公式、运算法则（四则运算法则、复合函数的求导法则（微分的形式不变性） 、反函数的求导法则）； 4）用导数与微分的关系； 5）用隐函数的求导法； 6）对数求导法(适合幂指函数、连乘、连除、连续开方)； 7）参数方程的求导法；,4/21,解,二、12（1）,解,二、12（2）,三、1,解,切线方程：,法线方程：,解：,4. 求极限基本方法（两个重要极限、等价无穷小替换），罗比达法则、 会求铅直、水平、斜渐近线,极限的计算方法:,无穷小与有界量相乘；,极限存在性的两个准则；,两个重要极限；,罗比达法则。,函数的恒等变形（通分、约分、分子或分母有理化、无穷小分离.）；,利用左右极限求分段函数的极限；,有理函数在无穷远的极限；,等价无穷小替换；,两个重要极限,几个常用的极限,1,0,（o(1)O(1)）,0,1,0,不存在,0.,不存在,常用等价无穷小：,二、3,二、5,一、4,水平渐近线。,铅垂渐近线。,求其渐近线。,斜渐近线,斜渐近线的求法:,若k=0则为水平渐近线。,如果上述两个极限有一个不存在，则意味着曲线没有斜渐近线。,渐近线。,解：,第三章,5. 函数单调性、极值、极值点、凹凸性、拐点的判定 用单调性证明不等式 求实际问题的最值,单调性可以由一阶导数的符号确定；,利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数;,曲线的弯曲方向凹凸性;,改变弯曲方向的点拐点;,凹凸性及拐点可以由二阶导数的符号确定;,利用函数的单调性和凹凸性可以证明某些不等式.,19/21,单调性的判定步骤,在 f 的定义域上求 f 的零点及 f 不存在的点； 2. 用 f 的零点及 f 不存在的点将 f 的定义区间划分为子区间； 根据 f 在各子区间内的符号及 f 在各子区间端点处的连续性确定 f 的单调性。 二、三两步可借助于表格方式完成。,4/21,凹凸与拐点的判定步骤,16/21,二、4,求单调区间、凹凸区间和拐点,单调减，,单调增，,拐点：,极小值为0，极大值为,二、5,求单调区间、凹凸区间和拐点,定义域内没有导数等于0的点， 也没有导数不存在的点，,单调减，,单调增，,拐点：,无极值点。,注意:,当 在 内只有一个极值可疑点时,当 在 上单调时,最值必在端点处达到.,若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 .,(小),对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的可疑点,是否为最大值点或最小值点 .,(小),应用题最值的求法,最小值求法类似。,（1）根据实际问题列出背景函数，并指出定义域；,（2）,欲做一个容积为300立方米的无盖圆柱形蓄水池，已知池底单位造价为周围单位造价的两倍，问蓄水池的尺寸怎样设计才能使总造价最低。,解：,设圆柱底圆半径为r,高为h，周围单位造价为a,则,总造价:,从而是最小值。,所以当底圆半径和高均设计为 时 ，,总造价最低。,作业3-2 三、1,设容器底面半径为 r,高微h,则,容器所用的材料为,为所求最小值点。,作业3-2 三 2,解,解得,14/18,14. 证明题：零点定理，罗尔中值定理，拉格朗日中值定理 ，用单调性证明不等式,定理（零点定理） 若函数在闭区间a,b上连续，(a)与(b)异号（即(a)(b)0），,几何解释:,则至少存在一点x0(a,b)，使得(x0)=0,即方程(x)=0在(a,b)内至少有一根。,例1,证,证毕,5/9,例2,至少有一个不超过 4 的,证：,证明,令,且,根据零点定理 ,原命题得证 .,内至少存在一点,在开区间,显然,正根 .,例3,证,由零点定理,证毕,6/9,则,则,由零点定理，得证。,作业1-2 三、2,由零点定理，得原方程有一实根。,故f(x)单调增，,综上，原方程有唯一实根。,证:,几何解释:,例3. 设,且在,内可导, 证明至少存,在一点,使,则,在,上满足罗尔定理条件.,设,证明：,证毕。,例10,证,例11. 设,在,内可导, 且,证明至少存在一点,使,上连续, 在,证: 问题转化为证,设辅助函数,显然,在 0 , 1 上满足罗尔定理条件,故至,使,即有,少存在一点,几何解释:,已知f(x)在a,b连续，(a,b)可导，证明,证明：,则,满足拉格朗日中值定理，,即,作业3-1 四、1,则F(x)在0,1连续，在(0,1)可导，,由Rolle定理，,即,作业3-1 四、2,则F(x)在a,b连续，在(a,b)可导，,由拉格朗日中值定理，,即,四、1,证明：,f(x)单调增，,证,8/21,第四章,6. 原函数、不定积分的定义、性质 求不定积分的方法直接积分、凑微分法、第二换元法、分部积分法,求不定积分时，对最终结果检查两点：,（1）函数表达式中变量是否与原题中的一样？,（2）是否加了任意常数C？,1）恒等变形（加一项减一项、乘一项除一项、三角 恒等变形）；,2）线性运算；,3）换元法： 第一类（凑分法）不需要变换式可逆； 第二类变换式必须可逆；,4）分部积分法常可用于两个不同类型函数乘积的的积分； “反对幂三指，前者设为u”,不定积分的计算：,1）没有万能的积分法； 2）有的初等函数的积分不是初等函数，从而“积不出来”，如,基本积分表,是常数),常用的凑微分:,三角代换去掉如下二次根式：,可令,可令,可令,当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令x=tn, （其中n为各根指数的最小公倍数）,当分母的阶分子的阶时, 可考虑试用倒代换：,二、9,二、10,二、11,二、13,二、1,二、5,二、8,二、9,二、10,二、15,第五、六章,7. 变限积分求导（各类综合问题）,求,解,两边对 x 求导：,解：,求此曲线在横坐标为 的切线和法线方程.,解：,方程两边对x求导：,代入方程，得：,切线方程：,解：,解,12、,二、3,两边对 t 求导：,再求导：,此时，由（1）式：,从而由（2）式：,由题意：,8. 定积分计算与性质： 换元积分法、分部积分法、利用几何意义、对称性（奇0偶倍） 用定积分求平面图形的面积，要求会画圆、直线、以及下列曲线的图形： 用定积分求旋转体的体积（绕x轴或y轴）,定积分计算,（1）线性；,恒等变形；,换元；,分部积分；,一些特殊类型函数的积分。,（2）与不定积分法的差别,（3）利用对称性、周期性及几何意义。,积分限的确定，换元要换积分限，原函数求出后不需回代。,（4） 开偶次方时，要带绝对值。,对称区间上，奇0偶倍,1、,0,0,连续的奇函数在对称区间上的积分为0.,解,二、 8,二、 12,设平面区域D由曲线,围成，,（1）求D面积S， (2) 求D分别绕x轴y轴旋转所得旋转体的体积,解（1）,解之得,（2）,设平面区域D由,围成，,（1）求D面积S， (2) 求D分别绕x轴y轴旋转所得旋转体的体积,解（1）,解之得,（2）,9. 反常积分收敛、发散,广义积分的定义,积分限的极限。,（1）注意（-，+ ）上的积分、以内点为瑕点的积分。,（2）注意区分常义积分与瑕积分。,广义积分的计算,求常义积分+求极限。,注意： 常义积分、无穷限的积分、瑕积分在换元法之 下可以相互转换。,5/20,下列反常积分收敛的是： A. B. C. D.,答：A,10、,P1收敛,P1收敛,所以，对任意的p都发散。,第七章,10. 一阶微分方程的通解和特解： 可分离变量的方程，齐次方程， 一阶线性方程 。,求解微分方程的步骤：,1、判断类型；,2、根据类型选择相应解法。,可分离变量的微分方程,解法：,解 分离变量,积分,即,例.,齐次方程,代入原式,可分离变量,例 求,还原，得原方程的通解为,解,则,通解（公式）:,一阶线性微分方程,2.,通解为,解,两边对x求导：,一阶线性,通解为,11.二阶方程可降阶：第一、第二类 二阶常系数线性非齐次：第一类会求通解，第二类会设特解形式,可降阶微分方程的解法, 降阶法,逐次积分,令,解,解,5/10,二阶常系数齐次线性方程的代数解法,3/10,一、f (x)=ex Pm (x) 型,通解：,二、f (x)=exPm1(x)cosx+Pm2(x)sinx 型,解,特征方程为,解得,对应齐次方程通解为,设,代入原方程得,原方程通解为,解,特征方程为,解得,对应齐次方程通解为,设,