2011高考平面解析几何（专题复习）课件

,第十单元 平面解析几何,第一节 直线与方程,基础梳理,1. 直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角 定义：当直线 与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线 向上方向之间所成的角叫做直线 的倾斜角.当直线 与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. 倾斜角的范围为0180. (2)直线的斜率 定义 一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k=tan ,倾斜角是90的直线斜率不存在. 过两点的直线的斜率公式 经过两点 (其中 )的直线的斜率公式为,2. 直线方程的五种形式,典例分析,题型一 直线的倾斜角和斜率,【例1】直线xcos+ y+2=0的倾斜角的范围是 ( ) A. B. C. D.,分析 先求斜率的取值范围，再求倾斜角的取值范围.,解 由直线xcos+ y+2=0, 所以直线的斜率为k= 设直线的倾斜角为,则tan=,又 即 所以 .,学后反思 求倾斜角范围的步骤是： （1）求出斜率的取值范围； （2）利用正切函数的单调性，结合图象，确定倾斜角的取值范围.,举一反三,直线xcos+y-1=0(R)的倾斜角的范围是 ( ) A. 0,) B C. D,解析 设倾斜角为,则k=tan=-cos. R,-1-cos1,-1tan1， .,答案 D,题型二 求直线的方程,【例2】求下列直线 的方程. （1）过点A(0,2),它的倾斜角的正弦是 ; (2)过点A(2,1),它的倾斜角是直线 ：3x+4y+10=0的倾斜角的一半.,分析 由已知条件求出直线的斜率，然后用适当形式写出直线的方程.,题型三 与直线方程有关的最值问题,【例3】直线 过点M(2,1),且分别与x、y轴交于A、B两点，O为原点.求当AOB面积最小时，直线 的方程.,分析 先根据题意，用点斜式设出直线的方程，然后求方程中的参数，从而求出直线的方程.,解 方法一：如图所示，直线 如果 通过一、二、三或一、三、四象限时， AOB的面积不存在最值，因此只考虑 直线 与x,y轴正方向相交的情况，这时 斜率必为负值. 设直线 的方程为y-1=k(x-2)（k0）,则有A(2- ,0)与B(0,1-2k)， 所以 当且仅当 ,即k=- 时，等号成立. 故直线 的方程为y-1=- (x-2),即x+2y-4=0.,方法二：设过P（2，1）的直线为 (a0,b0), 则 . 由基本不等式得 ,即ab8, ,当且仅当 ,即a=4,b=2时，等号成立. 故直线方程为 ,即x+2y-4=0.,学后反思 (1)对直线 的大致位置分析，界定了斜率的存在性及其范围，指明了解题方向，这种分析是避免解题盲目性的重要技能. （2）本题将面积表示为k的函数，再用基本不等式求最小值，方程选择不同，自然参数不同，但是求最值的方法首先考虑基本不等式，然后是函数单调性、换元等方法.,举一反三,3. 已知直线 过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求ABO的面积的最小值及此时直线 的方程.,解析 方法一：设A(a,0),B(0,b)(a0,b0),则直 线 的方程为 过点P(3,2), ,且a3. 从而 ,故有 当且仅当 ,即a=6时,等号成立. ,此时 . 故直线 的方程为 ,即2x+3y-12=0.,方法二：依题意知，直线 的斜率存在. 设直线 的方程为y-2=k(x-3)(k0), 则有A（3- ,0）,B(0,2-3k), 当且仅当-9k= 时，即k=- 时，等号成立， . 故所求直线的方程为2x+3y-12=0.,方法三：如图所示，过P分别作x轴，y轴的垂线PM,PN,垂足分别为M,N. 设=PAM=BPN,则,当且仅当 ，即tan= 时, , 此时直线 的斜率为- ，其方程为2x+3y-12=0.,题型四 应用问题,【例4】(12分)为了绿化城市，拟在区域ABCD内建一个草坪（如图），另外EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量AB=100 m,BC=80 m,AE=30 m,AF=20 m,应如何设计才能使草坪面积最大？,分析 欲使草坪面积最大，点P的位置选取是关键，因此，应考虑建立适当的坐标系，求出线段EF所在直线的方程，再设出点P的坐标，做为解题的切入点.,解 如图所示建立直角坐标系，则E(30,0),F(0,20),2 所以线段EF的方程为 (0x30)4 在线段EF上取点P(m,n), 作PQBC于点Q，PRCD于点R,设矩形PQCR的面积为S，则 S=PQPR=(100-m)(80-n).6 又 . 9 所以当m=5时，S有最大值，这时 .10 所以当草坪矩形的两边在BC、CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分EF成51时，草坪面积最大12,学后反思 本题是一道用地规划的实际问题，应把问题化归为在线段EF上找一点，使长方形PQCR面积最大的数学问题，这样，就需要建立直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而把问题转化为代数问题，利用代数方法使问题得到解决.,举一反三,4. 美丽的呼伦贝尔大草原的一条公路旁边，在某镇北偏西60且距该镇30 km处有A村，在镇东北50 km处有B村，要在公路旁修一车站C,从车站C向A、B两村修公路，问：车站C修在公路的什么地方，可使费用最小？（结果保留1位小数）,解析 以公路为x轴，该镇为原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则A、B两点坐标分别为A(-15 ,15),B(25 ,25 ),作A点关于x轴的 对称点A(-15 ,-15),连接AB交x轴于C.x轴是线段AA垂直平 分线，|CA|=|CA|, |CA|+|CB|=|CA|+|CB|=|AB|最短.,由两点式,得 令y=0,得 , 车站应修在距该镇的正西方约7.7 km处.,易错警示,【例】已知直线 过点P(1,2)且与以A(-2,-3),B(3,0)为端点的线段相交，求直线 的斜率的取值范围.,错解 设PA与PB的倾斜角分别为, 则 所以直线 的斜率k的取值范围为-1k .,错解 分析不清楚倾斜角和斜率的关系，尤其是忽略了当倾斜角为90时，斜率不存在这种情况.,正解 设PA与PB的倾斜角分别为, 则 当直线 由PA变化到与y轴平行的位置时，它的倾斜角由增至90， 故斜率的取值范围为 ,+)；,当直线 由与y轴平行的位置变化到PB的位置时，它的倾斜角由90增至 ,此时斜率的取值范围为（-,-1. 综上，斜率的取值范围为（-,-1 ,+).,考点演练,10.（2009广东湛江）曲线y= -2x+4在（1，3）处的切线的倾斜角为.,解析 y=3 -2,曲线在（1，3）处的切线斜率为 ,设倾 斜角为，且0180,=45.,答案 45,11. 一条直线经过点A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线的方程.,解析 设所求直线的方程为 . A(-2,2)在直线上， ， 又直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ab=1. a-b=1, a-b=-1, 由可得，（1） 或（2） ab=2， ab=-2. a=2， a=-1， 由(1)解得 或 方程组（2）无解. b=1 b=-2， 故所求的直线方程为 或 , 即x+2y-2=0或2x+y+2=0为所求直线的方程.,12. 设直线 的方程为（a+1）x+y+2-a=0(aR). (1)若 在两坐标轴上截距相等，求 的方程； （2）若 不经过第二象限，求实数a的取值范围.,解析 (1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，当然相等,a=2,即方程为3x+y=0. 当直线不过原点时，又截距存在且相等，则截距均不为0， ,即a+1=1,a=0,即方程为x+y+2=0. (2)方法一：将 的方程化为y=-(a+1)x+a-2, -(a+1)0, -(a+1)=0, 或 a-20 a-20， a-1. 综上可知，a的取值范围是a-1. 方法二：将 的方程化为（x+y+2）+a(x-1)=0(aR). 它表示过 :x+y+2=0与 :x-1=0的交点（1，-3）的直线系（不包括x=1).由图象可知 的斜率为-(a+1)0,即当a-1时，直线 不经过第二象限.,第二节 直线的位置关系,基础梳理,1. 两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 对于两条不重合的直线 ，其斜率分别为 ，则有 特别地，当直线 的斜率都不存在时， 与 的关系为平行. (2)两条直线垂直 如果两条直线 的斜率存在，分别设为 ,则 一般地，若直线 ( 不全为0)， 直线 ( 不全为0)，则 且,与 重合 且,2. 三种距离 （1）两点间的距离 平面上的两点 间的距离公式 特别地，原点O（0,0)与任一点P(x,y)的距离OP= (2)点到直线的距离 点 到直线 :Ax+By+C=0的距离 (3)两条平行线的距离 两条平行线Ax+By+ =0与Ax+By+ =0间的距离,典例分析,题型一 两条直线位置关系的判定和应用,【例1】已知直线 :ax+2y+6=0和直线 :x+(a-1)y+ -1=0. (1)试判断 与 是否平行； （2）当 时，求a的值.,分析 可以把直线化成斜截式，运用斜率或截距的数量关系来判断求解，但由于直线的斜率可能不存在，就必须进行分类讨论；也可以运用一般式方程中的系数关系来判断或求解，这样可以避免讨论.,解 （1）方法一：当a=1时， :x+2y+6=0, :x=0, 不平行于 ; 当a=0时， :y=-3, :x-y-1=0, 不平行于 ; 当a1且a0时，两直线可化为 解得a=-1, 综上可知,当a=-1时, ,否则 与 不平行.,方法二：由 ,得a(a-1)-12=0, 由 0,得a( -1)-160, a(a-1)-12=0， -a-2=0， a=-1 a( -1)-160 a( -1)6,故当a=-1时， ，否则 与 不平行.,（2）方法一：当a=1时, :x+2y+6=0, :x=0, 与 不垂直，故a=1不成立. 当a1时， 由 方法二：由 ,得 a+2(a-1)=0,学后反思 (1)直线 : ,直线 , “ ”的前提条件是 , 的斜率都存在，若不能确定 斜率的存在性，应对其进行分类讨论：,当 , 中有一条存在斜率，而另一条不存在斜率时， 与 不平行； 当 , 的斜率都不存在（ 与 不重合）时, ;当 , 均有斜 率且 时， .为避免分类讨论，可采用直线方程的一 般式，利用一般式方程中的“系数关系”的形式来判断两直线是否平行， 如本例方法二. （2）当 时，可分斜率不存在与斜率存在，斜率存在时,有 ，如果利用 可避免分类讨论.,举一反三,1. 已知直线ax+3y+1=0与x+(a-2)y+a=0平行，求a的值.,解析 由a(2a-1)-a=0,得a=1或a=0. 当a=1时，两方程为x-y+2=0与x+y+1=0，互相垂直； 当a=0时，两方程为y=0与x=0，互相垂直. 所以a=1或a=0即为所求.,解析 当a-2=0或a=0时两直线显然不平行； 当a-20且a0时，由 ,得a=-1或a=3. 若a=-1,则 成立,故a=-1（舍去）,则a=3.,2. 已知直线ax-y+2a=0与（2a-1）x+ay+a=0互相垂直，求a的值.,题型二 距离问题,【例2】求过点A(-1,2),且与原点的距离等于 的直线方程.,分析 设出所求直线的点斜式方程，运用待定系数法求直线的方程，但必须要注意斜率是否存在这个问题.,解 过点A(-1,2)且垂直于x轴的直线不满足题意， 设过点A(-1,2)的直线点斜式方程为y-2=k(x+1), 即kx-y+k+2=0. 原点到直线的距离等于 ,d= 解得k=-1或k=-7, 即所求直线方程为x+y-1=0或7x+y+5=0.,学后反思 （1）直线的点斜式方程不能代表垂直于x轴的直线，故要进行讨论. （2）使用点到直线的距离公式时，必须把直线方程化为一般式.,举一反三,3. 与直线2x+3y+5=0平行，且距离等于 的直线方程是.,答案 2x+3y+18=0或2x+3y-8=0,解析 所求直线 与直线 :2x+3y+5=0平行， 可设 ：2x+3y+C=0,由 与 距离为 ，得 ,解得C=18或C=-8, 所求直线 的方程为2x+3y+18=0或2x+3y-8=0.,题型三 交点及直线系问题,【例3】求经过直线 :3x+2y-1=0和 :5x+2y+1=0的交点且垂直于直线 :3x-5y+6=0的直线 的方程.,分析 本题可以先求交点坐标，然后由直线间位置关系求解，也可以先设出直线系方程，后代入点具体求解.,3x+2y-1=0, 解 方法一：由 得 , 的交点P(-1,2). 5x+2y+1=0, 又 的斜率 的斜率k=- , :y-2=- (x+1),即5x+3y-1=0. 方法二：由 ,可设 :5x+3y+C=0. , 的交点可以求得为P(-1,2). 5(-1)+32+C=0,C=-1, :5x+3y-1=0.,方法三： 过 , 的交点， 故设 :3x+2y-1+(5x+2y+1)=0， 即（3+5）x+(2+2)y+(-1+)=0， ,解得= ,代入上式整理得 :5x+3y-1=0.,学后反思 三种解法都能比较迅捷地解决问题，但方法一、方法二都是在两直线的斜率存在的前提下进行的，如果其中含有字母参数之类的，则要进行分类讨论；运用直线系方程时，则必须对直线系中不包含的直线进行检验.因此，本题的三种解法应该是各有优缺点.,举一反三,4. 已知两直线 :x+2=0, :4x+3y+5=0,定点A(-1,-2),求过 , 的交点 且与点A的距离等于1的直线 .,解析 方法一： , 的交点为（-2，1）. 若直线 斜率存在，设所求的直线方程为y-1=k(x+2), 即kx-y+2k+1=0. 所求直线 与点A(-1,-2)的距离为1, ,得k=- ,代入,得 所求直线 的方程为4x+3y+5=0. 若直线 斜率不存在，即判断过点（-2，1）且与y轴平行的直线x=-2是否 符合所求直线 的条件. 点A（-1，-2）到直线x=-2的距离为1， 直线x=-2，即x+2=0也符合直线 的要求， 故所求直线 的方程是x+2=0和4x+3y+5=0.,方法二： , 的交点为（-2，1）， 过 , 交点的直线系方程是（x+2）+(4x+3y+5)=0, 是参数，化简得(1+4)x+3y+(2+5)=0， 由 ,得=0. 代入方程，得x+2=0. 又直线系方程中不包含 , 应检验 是否也符合所求 的条件. 点（-1，-2）到 的距离为 也符合要求， 故所求直线 的方程是x+2=0和4x+3y+5=0.,题型四 对称问题,【例4】(12分)光线沿直线 :x-2y+5=0射入，遇直线 :3x-2y+7=0后反 射，求反射光线所在的直线方程.,分析 本题用光学原理得入射光线与反射光线所在的直线关于直线 对称，用对称点方法求出入射光线上一点P关于 的对称点，再由两点式写出方程.,3x-2y+7=0, x=-1, 解 方法一：由 得 x-2y+5=0, y=2, 即反射点M的坐标为(-1,2)2 又取直线x-2y+5=0上一点P（-5，0），设点P关于直线 的对称点为 由PP ,可知 4 而PP的中点Q的坐标为,又Q点在 上， 联立 解得,即P点坐标为 .10 反射光线过M(-1,2)和P 根据直线的两点式方程,可得 反射光线所在的方程为29x-2y+33=0.12,方法二：设直线x-2y+5=0上任意一点 关于直线 的对称点 P(x,y),则 3 又PP的中点 在 上，, ,6 由 9 代入方程x-2y+5=0中，化简得29x-2y+33=0, 即所求反射光线所在直线方程为29x-2y+33=012,学后反思 比较两种解法可知，对于直线的对称问题，都是转化为点关于直线的对称或点关于点的对称问题来解决的.其中，方法一通过求点关于直线的对称点坐标，用两点式方程求解；方法二则利用了轨迹思想求对称直线的方程，是求解曲线关于直线对称问题的通法.,举一反三,5. 已知A(7,-4)关于直线 的对称点为B（-5，6），则直线 的方程是 ( ) A. 5x+6y-11=0 B. 6x-5y-1=0 C. 6x+5y-11=0 D. 5x-6y+1=0,解析 AB的中点（1，1）在直线 上, 又 ,即所求直线的斜率k= , 所求直线 的方程为y-1= (x-1),即6x-5y-1=0.,答案 B,易错警示,【例】已知一直线 经过点P(1,2)且与点A(2,3)和B（0，-5）距离相等，求此直线的方程.,错解 方法一：设所求直线方程为y-2=k(x-1), 即kx-y-k+2=0， ,即k-1=k-7， 解得k=4，所求直线方程为4x-y-2=0. 方法二：由已知 AB,又 :y-2=4(x-1)，即4x-y-2=0.,错解分析 方法一中忽视了斜率可能不存在的情况，方法二中忽视 了 可以过AB中点的情况.,正解 方法一：当 斜率不存在时，直线方程为x=1,满足条件. 当斜率存在时，解法同错解中“方法一”. 方法二：当 过AB中点时，直线方程为x=1. 当 AB时，解法同错解中“方法二”. 综上,直线 的方程为x=1或4x-y-2=0.,考点演练,10. (2009青岛模拟）平行四边形两邻边方程是x+y+1=0和3x-y+4=0,对 角线交点为（3，3），则另两边的方程为和 .,解析 方法一：所求直线与已知直线关于（3，3）中心对称，故方程为 （6-x）+(6-y)+1=0和3(6-x)-(6-y)+4=0,即x+y-13=0和3x-y-16=0.,方法二：所求直线与已知直线分别平行，且过已知两直线的交点关于（3，3）的对称点.设 :x +y+ =0, :3x-y+ =0.两已知直线的交点坐 x+y+1=0, x= 标满足 解得 3x-y+4=0, y= 即 ,它关于（3，3）的对称点为 将 代入 , ，解得 =-13, =-16. 所以所求直线 :x+y-13=0, :3x-y-16=0.,答案 x+y-13=03x-y-16=0,11. 已知正方形的中心为直线2x-y+2=0与x+y+1=0的交点，正方形一边所 在的直线方程为x+3y-5=0,求正方形的其他三边所在的直线方程.,解析 设与直线 :x+3y-5=0平行的边所在的直线方程为 :x+3y+c=0. 2x-y+2=0， 由 得正方形的中心坐标P(-1,0), x+y+1=0 由点P到两直线 , 的距离相等，得 , 解得c=-5或c=7(-5不合题意，舍去)， :x+3y+7=0. 又正方形另两边所在直线与 垂直， 设另两边方程为3x-y+a=0,3x-y+b=0. 正方形中心到四条边的距离相等， ，解得a=9或a=-3, 正方形的其他两条边所在的直线方程为 3x-y+9=0,3x-y-3=0. 正方形的其他三边所在的直线方程为 3x-y+9=0,x+3y+7=0,3x-y-3=0.,12. 光线从A(-3,4)点射出，到x轴上的B点后，被x轴反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射线恰好过点D（-1，6），求BC所在直线的方程.,解析 方法一：如图所示，依题意，B点在原点O左侧，设其坐标为（a,0）,由反射角等于入射角，得1=2,3=4, 又 ,即BC所在直线方程为 y= (x-a),所以C点坐标为 又 ,解得a=- , 代入BC的方程,得5x-2y+7=0.,方法二：A关于x轴的对称点A(-3,-4), D关于y轴的对称点D(1,6), 由光学知识知,A、B、C、D四点共线，且 则BC所在的直线方程为5x-2y+7=0.,第三节 圆的方程,基础梳理,1. 圆的标准方程 （1）方程 表示圆心为(a,b),半径为 r 的圆的标准方程; （2）特别地，以原点为圆心，半径为r(r0)的圆的标准方程为 . 2. 圆的一般方程 方程 +Dx+Ey+F=0可变形为 （1）当 时，方程表示以 为圆心，以 为半径的圆;,（2）当 =0时，方程表示一个点 ; (3)当 0时，方程不表示任何图形.,3. 与圆 的位置关系 （1）若 ，则点P在圆外； （2）若 ，则点P在圆上； （3）若 ，则点P在圆内. 4. 求圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤为： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程； （2）根据条件列出关于a,b,r或D，E，F的方程组； （3）解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程.,典例分析,题型一 求圆的方程,【例1】求过两点A(1,4)、B（3，2）且圆心在直线y=0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关系.,分析 欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标和圆的半径的大小，而要判断点P与圆的位置关系，只需看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内.,解 方法一:设圆的标准方程为 . 圆心在y=0上，b=0， 圆的方程为 又该圆过A(1,4)、B(3,2)两点， 解得 故所求圆的方程为,方法二：设圆的一般方程为 +Dx+Ey+F=0,因为圆心在x轴上， 则- =0,即E=0. 又该圆过A（1,4）和B（3,2），所以 D+17+F=0, D=2, 解得 E=0, 3D+13+F=0, F=-19. 所以圆的方程为 +2x-19=0.,方法三:圆过A(1,4)、B(3,2)两点， 圆心C必在线段AB的垂直平分线l上， 又 , 的斜率为1. 又AB的中点为（2，3）， 故AB的垂直平分线 的方程为y-3=x-2, 即x-y+1=0.,又知圆心在直线y=0上，圆心坐标为C(-1,0). 半径r=AC= 即所求圆的方程为 又点P(2,4)到圆心C(-1,0)的距离为 d=PC= =5r， 所以点P在圆外.,学后反思 （1）本题方法一与方法二都使用了待定系数法，其中方法一设了圆的标准方程，方法二设了圆的一般方程，都是结合条件来求所设方程中的待定系数；方法三则应用了平面几何知识：圆心与弦的中点的连线与弦垂直.一般而言，在解析几何问题中，用上平面几何知识，会使解题变得相对简单. (2)无论哪种解法，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系.,举一反三,1. 求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程.,解析 圆经过点A(5,2),B(3,2),圆心在x=4上，又圆心在2x-y- 3=0上，圆心为（4，5），可设圆的方程为 ,又 圆过B(3,2)，即 , ， 圆的方程为,题型二 与圆有关的参数问题,【例2】(2009威海模拟）已知圆的方程为 ,要使过定点A（1，2）的圆的切线有两条.求a的取值范围.,分析 (1)若方程表示圆，则 0,即 (2)由定点A的切线有两条，则点A一定在圆外.,解 若 表示圆，则应满足 ,即4-3 0, 又点A应在圆外，则 即 +a+90, 由得 故a的取值范围是,学后反思 (1)一般地，方程表示圆隐含着条件 0.此点易被忽视. (2)若点 在圆 +Dx+Ey+F=0外，则,举一反三,2. 已知圆的方程 ,要使圆的半径不大于 且过定点 A（1，2）的圆的切线有两条，求a的取值范围.,解析 圆的方程可化为 . 由已知 即 解得 a-1或1a , 所以a的取值范围为( ,-11, ).,题型三 与圆有关的最值问题,【例3】已知实数x、y满足方程 -4x+1=0. (1)求 的最大值和最小值； （2）求y-x的最大值和最小值； （3）求 的最大值和最小值.,分析 根据代数式的几何意义，借助于平面几何知识，数形结合求解.,解 原方程可化为 ,表示以（2，0）为圆心， 为半径的圆. (1) 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设 =k,即y=kx. 当直线y=kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时 ,解得k= ，如图1，所以 的最大值为 ,最小值为- .,(2)y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵 截距b取得最大值或最小值，此时 ,解得b=-2 .如图2，所 以y-x的最大值为-2+ ，最小值为-2- . (3) 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点 与圆心的连线和圆的两个交点处取得最大值和最小值，如图3. 又圆心到的原点的距离为 所以， 的最大值为 的最小值为,学后反思 （1）本例中利用图形的直观性，使代数问题得到非常简捷的解决，这是数形巧妙结合的好处. （2）本例的解题关键在于抓住“数”中的某些结构特征，从而联想到解析几何中的某些公式或方程，从而挖掘出“数”的几何意义，实现由“数”到“形”的转化. （3）与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型： 形如= 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； 形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； 形如 形式的最值问题，可转化为动点到定点距离的平方的最值问题.,举一反三,3. 已知圆C： ,点A(-1,0),B(1,0),点P为圆上的动 点，求d= 的最大值、最小值及对应的P点坐标.,解析 设 则 欲求d的最值，只需求= 的最值，即求圆C上的点到原点距离平 方的最值，故过原点O与圆心C的直线与圆的两个交点 即为所求. 设过O,C两点的直线交圆C于 两点， 则 此时 此时,题型四 与圆有关的简单的轨迹问题,【例4】已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆 上 运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.,分析 动点M的轨迹与点A的位置变化有关，因此可以把点A的坐标用点M的坐标表示出来，再代入点A所满足的方程求得点M的轨迹方程.,解 设点M的坐标为(x,y),点 因为M是线段AB的中点，且B（4，3）， 所以 所以 又点A在圆 上运动，,所以 . 把代入，得 整理得 . 所以点M的轨迹是以 为圆心，半径为1的圆.,学后反思 （1）本例中M、A是相关动点，M、A、B三者存在着不变的关系，抓住该关系可以实现动点M、A的坐标间的转化. （2）一般地，设点时，动点设为（x,y），相关点设为 ，并将(x,y)用 表示出来，代入 满足的关系式.,举一反三,4. 已知圆 上一定点A(2,0),P为圆上的动点.求线段AP中点 的轨迹方程.,解析 设AP中点为M(x,y),由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x-2,2y）. P点在圆 上， 故线段AP中点的轨迹方程为,题型五 圆的方程的实际应用,【例5】(12分)在气象台A正西方向300千米处有一台风中心B，它以每小时40千米的速度向东北方向移动，距台风中心250千米以内的地方都要受其影响，问：从现在起，大约多长时间后，气象台A所在地将受台风影响？持续多长时间？,分析 几小时后气象台所在地受到台风影响，就是指以台风中心为圆心的圆何时开始经过该城市，持续多长时间即为台风圆何时离开.可建立直角坐标系，用变量t表示出B点坐标，进而求解.,解 以气象台为坐标原点，正东方向为x轴正方向， 正北方向为y轴正方向建立直角坐标系， 如图，则现在台风中心B的坐标为（-300，0）. 根据题意可知,t小时后B的坐标为 （-300+40tcos 45,40tsin 45）, 即（-300+20 t,20 t）.3 因为以台风中心为圆心，以250千米为半径长的圆上和圆内的区域将遭受台风影响，所以气象台A在圆上或圆内时，将受台风影响，所以令AB 250,即 . 6 整理得16 -120 t+2750,8 解得 10 故大约2小时后，气象台A所在地将遭受台风影响，大约持续6个半小时12,学后反思 在解决有关的实际问题时，关键要明确题意，根据所给条件建立直角坐标系，建立数学基本模型，将实际问题转化为数学问题解决.,举一反三,5. 有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：A地每公里的运费是B地每公里运费的3倍.已知A、B两地距离为10公里，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是：运费和价格的总费用较低.求P地居民选择A地或B地购货总费用相等时，点P所在的曲线方程，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点.,解析 如图，以A、B所在的直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直 角坐标系，AB=10, A(-5,0),B(5,0). 设P(x,y),P到A、B两地购物的运费分别是3a、a(元/公里). 当由P地到A、B两地购物费用相等时，即 价格+A地运费=价格+B地运费， ， 化简整理，得,(1)当P点在以 为圆心， 为半径的圆上时，居民到A地或B地购 货总费用相等，故此时到A地或B地购物均可.,（2）当P点在上述圆内时， 故此时到A地购物合算.,（3）当P点在上述圆外时， 故此时到B地购物合算.,考点演练,10. 过直线2x+y+4=0和圆 +2x-4y+1=0的交点且面积最小的圆的方 程是.,解析 因为通过两个定点的动圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆，于是解方程组 2x+y+4=0， +2x-4y+1=0， 得交点A ,B(-3,2). 因为AB为直径，则其中点为圆心，即为 , . 所以圆的方程为,答案,11. 已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线 =2x上，其中O为坐标原 点，设圆C是OAB的外接圆（点C为圆心），求圆的方程.,解析 方法一：设A、B两点坐标分别为 . 由题设知 解得 所以A(6,2 ),B(6,-2 )或A(6,-2 ),B(6,2 ). 设圆心C的坐标为（r,0）,则r= 6=4. 因此，圆C的方程为 .,方法二：设A、B两点坐标分别为 由题设知 .又 , 所以 ,即 .,由 ,可知 , 故A、B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上. 设C点的坐标为（r,0）,则A点坐标为 , 于是有 ,解得r=4, 所以圆C的方程为,解析 如图所示，设P(x,y), 则线段OP的中 点坐标为 ,线段MN的中点坐标为 .,因为平行四边形的对角线互相平分， =x+3， 故 ,从而 =y-4. N(x+3,y-4)在圆上，故 . 因此所求轨迹为圆 ,但应除去两点： 和 (点P在OM所在直线上时的情况).,第四节 直线与圆的位置关系,基础梳理,1. 直线与圆的位置关系 （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点. 2. 直线与圆的位置关系的判断方法 直线 :Ax+By+C=0(A,B不全为0)与圆 (r0)的位置关系的判断方法： （1）几何法. 圆心（a,b）到直线Ax+By+C=0的距离为d, dr直线与圆相离.,（2）代数法. Ax+By+C=0, 由 消元，得到的一元二次方程的判别式为,则 0直线与圆相交； =0直线与圆相切； 0直线与圆相离. 3. 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含. 4. 弦长问题 圆的弦长的计算：常用弦心距d,弦长一半 a及圆的半径r所构成的直角 三角形来解：,典例分析,题型一 直线与圆的位置关系,【例1】已知圆 -6mx-2(m-1)y+10 -2m-24=0(mR). (1)求证：不论m为何值，圆心在同一直线 上； （2）与 平行的直线中，哪些与圆分别相交、相切、相离.,分析 （1）用配方法将圆的一般方程配成标准方程，求圆心坐标，消去m.(2)比较圆心到直线的距离与圆半径的大小.,解 （1）证明：配方得 x=3m, 设圆心为（x,y），则 消去m，得 ：x-3y-3=0, y=m-1, 则不论m为何值，圆心恒在直线 :x-3y-3=0上. (2)设与 平行的直线是 :x-3y+b=0, 则圆心到直线 的距离为,圆的半径为r=5, 当dr,即b5 -3时，直线与圆相离.,学后反思 判断直线与圆的位置关系一般有两种方法： （1）代数法：将直线方程与圆的方程联立，由所得一元二次方程根的判别式来判断. （2）几何法：确定圆的圆心和半径，比较圆心到直线的距离与圆半径的大小关系来判断. 实际应用中“几何法”要优于“代数法”.,举一反三,1. (2009启东调研）已知圆C： ,直线 :mx-y+1-m=0. （1）求证：无论m取什么实数，直线 与圆C恒交于两点； （2）求直线 被圆C截得的弦长最小时 的方程.,解析 （1）证明： :mx-y+1-m=0的方程可化为 y-1=m(x-1),其恒过定点P(1,1). PC= 点P恒在圆C内，直线 与圆C恒交于两点. （2）由（1）及平面几何知识知，当 垂直于PC时，直线 被圆C截得的弦 长最小，又 ， 所求直线 的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.,题型二 圆与圆的位置关系,【例2】已知圆 ： -2mx+4y+ -5=0,圆 : +2x-2my+ -3=0, 试就m的取值讨论两圆的位置关系.,分析 先把两圆的方程化为标准方程，再求两圆的圆心距d，进而判断d与R+r,R-r的关系.,解 圆 , 圆 . 两圆的圆心距 . (1)当 ,即 时, 解得m=-5或m=2, 故当m=-5或m=2时，两圆外切；,（2）当 ,即 时, 解得m=-2或m=-1, 故当m=-2或m=-1时，两圆内切； （3）当 , 即-52时，两圆外离； （5）当 ,即-2m-1时，两圆内含.,学后反思 在讨论两圆的位置关系时，一般根据其关系的判定条件，即圆心距与两圆半径之间的和差关系来判断.,举一反三,2. 已知半径为1的动圆与圆 相切，求动圆圆心的轨迹方程.,解析 设动圆的圆心坐标为(a,b)，当两圆外切时，由题意可得 ， ； 当两圆内切时，由题意可得 , 即 . 所以动圆圆心的轨迹方程为 或 .,题型三 圆的切线及弦长问题,【例3】已知点P（0,5）及圆C: +4x-12y+24=0. (1)若直线 过P且被圆C截得的线段长为4 ,求 的方程； （2）求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.,分析 （1）可以用代数法将直线l的斜率k设出（优先考虑斜率不存在的情况），写出直线方程，并将其代入圆C的方程，然后运用弦长 公式 来解决；也可以用几何法设出直线 的方程： y-5=kx,首先注意斜率不存在的情况，运用圆心到直线的距离，圆半径和一半弦长构成直角三角形来解决. （2）中点弦问题，可以考虑“代点作差法”，也可以利用“垂直于弦的直径平分弦”这一几何特征来求解.,解 (1)方法一：如图所示，AB=4 ,D是AB的中点，CDAB,AD=2 ,AC=4. 在RtADC中，可求得CD=2.设所求直线的斜率为k,则直线的方程为 y-5=kx,即kx-y+5=0. 由点C到直线AB的距离公式 ,得k= . 又直线 的斜率不存在时也满足题意，此时方程为x=0. 当k= 时，直线 的方程为3x-4y+20=0. 所求直线的方程为x=0或3x-4y+20=0.,方法二：设所求直线的斜率为k, 则直线 的方程为y-5=kx,即y=kx+5, y=kx+5, 联立直线与圆的方程 +4x-12y+24=0, 消去y，得 +(4-2k)x-11=0, ,设方程的两根为 ,由韦达定理,得 由弦长公式,得 将式代入，解得k= ，此时直线方程为3x-4y+20=0. 又k不存在时也满足题意，此时直线方程为x=0. 所求直线方程为x=0或3x-4y+20=0.,(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x,y)，则CDPD,即 =0, (x+2,y-6)(x,y-5)=0,化简得所求轨迹方程为 +2x-11y+30=0.,学后反思 （1）直线与圆的相交问题，往往用垂径定理解决，即圆心距 d,圆半径r，半弦长 ,三者满足勾股定理来解决. （2）在研究与弦的中点有关的问题时，注意运用“平方差法”，即设弦AB 两端点的坐标分别为 ，中点为 ，由 得 .该法常用来解决与弦的中点、直线 的斜率有关的问题. (3)OAOB(O为原点)可转化为 ，再结合根与系数的关系等代 数方法简化运算过程，这在解决垂直关系问题中是常见的.,举一反三,3. 已知圆O的方程是 =9,求过点A(1,2)所作的圆的弦的中点P的轨迹.,解析 设过A的弦长为MN, . M、N皆在圆 =9上， 两式相减,得 当 时， . 设P(x,y),则 又M、N、P、A四点共线，即 (x1), 所以式可化为 , 整理,得 -x-2y=0.,当 ，即x=1时，中点P(1,0)也适合此方程. 故点P的轨迹是以（ ,1）为圆心，以 为半径的圆.,题型四 简单的“圆系方程”的应用,【例4】(12分)求过直线2x+y+4=0和圆 +2x-4y+1=0的交点，且过原点的圆的方程.,分析 可用待定系数法，由两交点坐标和过原点的条件，求出待定系数，也可用圆系方程求经过两圆交点的圆的方程.,+2x-4y+1=0, 解 方法一：由 2x+y+4=0,2 解得交点坐标分别为A(-3,2), .4 设所求圆的方程为 +Dx+Ey+F=0，5,则 .8 解得 11 故所求圆的方程为 .12,方法二:设所求圆的方程为 +2x-4y+1+(2x+y+4)=0,3 即 +2(1+)x+(-4)y+(1+4)=0，6 此圆过原点，1+4=0,=- .9 故所求圆的方程为 .12,学后反思 此类问题利用方法一计算量较大，而利用圆系方程，则因为避免了解方程组而相对简单，但在化简一般形式时一定要细心.,举一反三,4. 求过直线2x+y+4=0和圆 +2x-4y+1=0的交点且面积最小的圆的方程.,解析 设所求圆的方程为 +2x-4y+1+(2x+y+4)=0, 即 +2(1+)x+(-4)y+(1+4)=0. 方法一：当半径最小时，圆面积也最小，对左边配方，得 . 所以当= 时，此圆面积最小，故满足条件的圆的方程为,方法二：当圆心