随机变量的数字特征

第四章 随机变量的数字特征,随机变量的概率分布反映了随机变量的统计规律性，但是在实际问题中，要确定一个随机变量的分布不是一件容易的事情在许多情况下，并不需要求出随机变量的分布，只须知道从不同角度反映随机变量取值特征的若干个数字就够了，这些数字就称为随机变量的数字特征 本章将讨论随机变量的数学期望、方差、矩以及相关系数，它们在概率论与数理统计中起着重要的作用,第一节 数学期望,一、离散型随机变量的数学期望,例1 一台机床加工某种零件，已知它加工出优质品、合格品和废品的概率依次为0.2、0.7和0.1如果出售优质品和合格品，每一个零件可分别获利0.40元和0.20元；如果加工出一件废品则要损失0.10元问这台机床每加工出一个零件，平均可获利多少元？,解 以 X 表示加工出一个零件所获得的利润，则 X 的分布律为,其中 ， 和 分别是事件 、 和 出现的频率当 很大时， ， 和 分别接近于0.1、0.7和0.2，于是可以期望该机床加工出的每一个零件所获得的平均利润为,（元） 上述结果称为随机变量 X 的数学期望,例2 设 X 服从参数为 p 的( 01 )分布，求 X 的数学期望,例3 设 ，求 ,解 X 的分布律为,例4 设 ，求 ,解,例5 已知10件产品中有2件次品，求任意取3件中次品数的数学期望,解 以 X 表示任取3件中次品的个数，可取值为0, 1, 2，其分布律为 因此 .,二、连续型随机变量的数学期望,例6 设 X 在 a,b 上服从均匀分布，求 E ( X ),解 X 的概率密度为 .,例7 设 X 服从参数为 的指数分布，求E ( X ) ,例10 设 ，求 ,解 .,例11 设 X 在区间(0,a)上服从均匀分布，求 的数学期望,例12 设 X 的概率密度为 ，求 、 ,解,例13 设( X, Y )的联合密度为 求 E( X )、 E( XY ) ,解 .,四、数学期望的性质（设 、 存在）,性质1 设 C 为常数，则有E (C ) = C ,性质2 ,性质4 若X、Y 相互独立，则 E( XY ) = E( X ) E( Y ) 证 只对连续型加以证明设 ( X, Y ) 的联合密度为 f ( x, y ), 关于 X、Y 的边缘密度分别为 f X ( x ) 、 f Y( y ) . 则有f ( x, y ) = f X ( x ) f Y( y ) ，于是,例14 设 X 与 Y 独立， 求 ,思考题 是否任何一个随机变量都存在数学期望？请研究随机变量 X ，其概率密度为,解,第二节 方 差,一、方差的定义,定义3 D(X)=EXE(X)2 (6) 称为随机变量 X 的方差称 为 X 的均方差 或标准差,二、方差的计算公式,2设 X 为连续型随机变量，概率密度为f (x), 则 . （8）,3 （9） 证明如下,例1 设 X 服从参数为 p 的( 0 1)分布，求D( X ) ,例2 设 ，求 D( X ),解 ， .,例3 设 X 在 a,b上服从均匀分布，求D( X ) ,解 ,例4 设 X 服从参数为 的指数分布，求 D( X ),解 ， ,例5 设 ，求D( X ) ,解 , .,.,三、方差的性质,性质1 设 C 为常数，则 D(C ) = 0 证 ,性质2 . 证 .,性质3 设 X 与 Y 相互独立，则有 .,证,例6 设 ，求 ,例7 设 X 与 Y 相互独立， ， ，求 ,解 .,例9 设 相互独立，并且具有相同的期望 与方差 ， ，求 、 、 ,解 . . .,. （12） .,性质1 （a, b为常数） ,性质2 ， ,性质3 若 X 与 Y 相互独立，则 ,定义4 称 为 X 与 Y 的协方差，记作 （10）,第三节 协方差与相关系数,性质4 的充分必要条件是：存在常数 a, b， 使得 =1 当 时，称 X 与 Y 不相关,由于 即有 , 所以 X 与 Y 不相互独立,例2 设 ( X,Y ) 的联合概率密度为 验证 X 与 Y 不相关，但不相互独立,例3 设二维随机变量 ( X, Y )的概率密度为 证明： X 与 Y 不相关，但不相互独立,当 x = 0, y = 0时， ，而 ，即有 ，所以 X 与Y 不相互独立,从而有 ， ，即 X 与 Y 不相关,例4 设 ， 即 ( X,Y ) 的联合密度为 求 ,定义5 设 X 与 Y 是两个随机变量，称 E( X k )为 X 的 k 阶原点矩；称EX E( X ) k 为X 的 k 阶中心矩；称E( X k Y l ) 为 X 与 Y 的 k + l 阶混合原点矩；称 EX E( X ) k Y E( Y ) l为 X 与 Y 的 k + l 阶混合中心矩,第四节 矩,第五章 大数定律与中心极限定理,第一节 大数定律,定义1 设 为一随机变量序列， a 为一个常数，如果对于任意正数，都有 , 则称Yn按概率收敛于 a , 记作 （n）,定理1（契比雪夫不等式） 设 E ( X ) = ， D ( X ) = 2 ，则对于任意正数 ，有 ， 或 ,证 令 ，则有 ， ，由定理1有 ，,证 只就连续型进行证明，设 X 的概率密度为 f (x)， 则有,定理3（伯努利定理） 设 nA 是在 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数， P( A ) = p ，则对任意正数 ，有 .,证 由定理1可得 ， 于是有 .,第二节 中心极限定理,定义2 设 的分布函数依次为 X 的分布函数为 F ( x )如果对于F ( x ) 的每个连续点 x ，都有 , 则称随机变量序列 依分布收敛于 X ，记为 .,定理5（独立同分布中心极限定理） 设 相互独立，服从同一分布，存在期望 E (Xk) =和方差 ，则 依分布收敛于标准正态分布 N ( 0, 1 )，即对于 Yn 的分布函数 的连续点 x 有 .,此定理说明当 n 很大时，Yn 近似服从 N(