半导体物理课件课件

1,2.2 器件模拟技术中常用的迭代法,上节介绍了用有限差分法解微分方程的方法：将微分方程离散成网格点上的有限差分式，转变成为代数方程式(即利用有限差分法，能将解微分方程的问题转 变为解代数方程的问题)； 根据微分方程是否为线性，可将代数方程式分为线性 代数方程组和非线性代数方程组； 线性代数方程组原则上都可以用Gauss消去法求解。但是在实际问题中，方程组的数量很大，而且系数矩阵属于稀疏矩阵，有很多零元素，因此在计算机上解,2,迭代法(逐步逼近法)不用存储系数矩阵中的零元素，计算程序比较简单，适用于高阶系数矩阵的问题； 解线性、非线性方程组的迭代法有很多种，本节只介 绍器件模拟中常用的几种。,线性方程组时，Gauss消去法需要占用大量的存储单 元，一般不予采用；,3,2.2.1 Gauss-Seidel法 2.2.2 超松弛(SOR)法 2.2.3 非线性方程组的Newton迭代法,4,线性方程组：,一、 三个未知数的线性方程组,2.2.1 Gauss-Seidel法,(2-47),(2-46),(2-48),的系数矩阵非奇异，且对角线矩阵元素a11、a22、a33都 不为零。将上述各式分别改写为：,(2-50),(2-49),(2-51),5,将初始解代入式(2-49) ：,选择一组试探性的初始解进行迭代：,(2-52),迭代得到新的x1；,将新得到的 与初始解中的 代入式(2-50)：,迭代得到新的x2；,(2-53),一次迭代循环：,6,将新得到的 与 代入式(2-51)：,(2-54),迭代得到新的x3；,至此，完成了一次迭代循环。然后用新得到的：,置换初始解：,开始新的循环；,9,(2-57),10,该方程组的准确解为：x1 = x2 = x3 =1； 用Gauss-Seidel迭代法求解：,选定初始解为：,设三元方程组为：,三 举例,(2-58),据式(2-49) (2-51) ：,11,将初始解按式(2-52) (2-54)的方法代入，得一次迭代的 结果为：,得：,12,若取小数点后4位，则用5次迭代就可以求得解，结果 如表2.1；,13,14,四 终止迭代运算的判据,迭代法由初始试探解逐步逼近到准确解，一般迭代次 数越多，得到的解准确度也越高； 准确程度可以根据问题的要求确定。计算机运算时， 典型的做法是：,(2-59),根据问题的要求，指定一个很小的正数，如果：,就认为达到了准确解，可以停止运算。,15,对于含有3个变量、3个方程的Gauss-Seidel迭代方程式(2-55)：,一 SOR迭代式,2.2.2 超松弛(SOR)法,应用迭代法解方程组，关键是要确定迭代过程是收 敛的，并且要设法加快收敛速度。超松弛(Successive Over Relaxation，SOR)法是在Gauss-Seidel基础上发展起 来的方法，其特点是能够加快收敛速度。,16,(2-60),可以写成：,17,其变化量就是等式右边中括号内的量，称为迭代校正量,由上式可知，用Gauss-Seidel迭代法，从k-1次再迭代一次，解的数值变化是：,既然两次迭代的结果相差为校正量，则可以在校正量上乘一加速因子来加快迭代过程的收敛，即：,(2-61),18,称为含有三个变量、三个方程时的SOR迭代公式；,(2-62),对于n个变量的Gauss-Seidel迭代一般式(2-57)：,可以写成；,则SOR迭代一般式为：,19,(2-63),二 加速因子,也称为松弛因子，其值一般为：,当=1时，SOR法就是Gauss-Seidel迭代法；,适当选择值能显著加快收敛速度。如，对于方程组：,(2-64),20,选择最佳松弛因子具有重要意义，但一般来说相当困难 尽管在某些条件下，已经推出了计算公式，但由于不易 确定其中的每个参数，实际上不便引用；,选用不同的加速因子，其迭代次数如表2.2所示，=1.3时最佳；,选择松弛因子：,21,实际中经常采用试算的方法。即从同一个初始向量出发 取不同的松弛因子，迭代相同次数，比较其残余向量：,(2-65),其中，A是系数矩阵。弃去 较大的松弛因子；,这种方法简单易行，且往往有效；,在松弛法中，当1时，称为低松弛法；,22,三 松弛法分类,上述超松弛法中，每次只修改一个变量，称为点超松弛 (SPOR)法；,也可以对系数矩阵分块计算，每次同时修改几个变量， 称为块超松弛(SBOR)法； 如果对系数矩阵按行或列来分块，则称为线超松弛 (SLOR)法。,23,2.2.3 非线性方程组的Newton迭代法,一 非线性方程的Newton迭代式,Newton迭代法对非线性方程或方程组用Taylor级 数展开，取其前两项，使方程线性化，然后求得其近 似解。,设k是f() = 0的一个近似根，将f() 在k处做Taylor 展开：,(2-66),取前两项来近似f() ，使f() 线性化，得到近似的线性方程为：,24,(2-67),其中：,令其解为(k+1)，则有：,(2-68),称为f() = 0的Newton迭代式；,25,二 非线性方程组的Newton迭代式,(2-69),器件模拟中，要求解的是非线性方程组。设方程组为：,是其近似解。则Newton迭代式为：,(2-70),其中，上标k指第k次迭代；,26,设：,Newton迭代法除了用式(2-68)或式(2-70)计算外，也经常将i(i=1，2，n)的非线性方程组化为di的线性方程组，用矩阵法求解。,三 Newton迭代法的另一种计算方法,是方程组式(2-69)中未知量：,的起始近似解，它们的第一次近似解可以写成：,27,显然， 的近似程度越好，就越接近准确解，而 就越小；,(2-71),将式(2-71)代入式(2-69)，i按Taylor公式展开，取前两 项，得：,(2-72),28,其中， 是已知值，因此该方程组是关于：,的线性方程组；,如果 中的最大值仍然大于预置极值，则可进行另一 次迭代。令：,再代回原式(2-69)，则可解得 。,如此重复进行，直到第k次迭代解得的 中的最大值 小于预置极值为止。,29,2.3 有限差分法模拟p-n结中的电势分布,前面介绍了用有限差分法解微分方程的基本步骤。从本节开始，将用有限差分法研究半导体器件的电性 能，即所谓半导体器件的有限差分法数值模拟； 器件模拟是依据半导体器件的具体结构建立数学模型，然后从理论上进行计算，得到器件的各项电参 数； 在进行计算的过程中，首要的问题是器件内部电势分 布的模拟计算； 本节以一维p-n结为例，讨论其电势分布(x)的有限 差分法计算。,30,2.3.1 Poison方程及其边界条件 2.3.2 线性缓变p-n结中(x)的有限差分解 (Newton法) 2.3.3 线性缓变p-n结中(x)的有限差分解 (Newton法),31,一 p-n结中的电势分布与电荷分布的关系,2.3.1 Poisson方程及其边界条件,多数半导体器件都是由p-n结组成。p-n结可由合金、扩散、外延及离子注入等技术形成。根据p型层及n型层中杂质的分布，p-n结可分为突变结和缓变结。,二者关系可由Poisson方程决定。对一维情况， Poisson 方程为：,(2-73),其中：,32,是杂质的分布，由p-n结形成过程中的掺杂方法决定；,当p-n结两端加有电压V时，如图2.6所示，p-n结中就有,(2-74),电流I流过。如果p-n结两侧的杂质分布是对称的，则耗尽层宽度2a也对称地分布在p-n结两边；,33,由式(1-9) ：,(其中的准费米电势表达式(1-8)如下),二 小电流近似下p-n结中的Poisson方程,34,当p-n结中有电流流通时，费米电势随位置而变，且电 子、空穴没有统一的费米电势； 如果流经p-n结的电流采用小电流近似，则载流子浓度p 或n仅是单一变量的函数：,(2-75),一维情况下为：,可知，载流子浓度是器件内部电势和准费米电势的函数；,例如空穴电流密度公式(1-23)：,35,该式表明，除非空穴浓度非常小(一般器件内部不存在 这一问题)，在小电流Jp近似下，空穴的准费米电势梯 度近似为零，不随位置而变；,空穴电流Jp由p区流向n区时，经过耗尽区，一般假设耗 尽区中的复合电流在小电流近似下可以忽略：,空穴电流从p区到耗尽区，电流值保持不变，进入n区 后，才逐渐被复合下降为零； 由空穴电流的这个特点得出，空穴准费米电势p在p区 与耗尽区维持常数值，进入n区后才缓慢地下降为零；,36,同理，电子电流Jn由n区流向p区时，由于Jn很小，在n区 与耗尽区维持常数值，进入p区后才缓慢地复合下降为 零；相应的电子准费米电势n在n区与耗尽区维持常 数，等于n端外加的电压值，n=0，进入p区后才逐渐 上升，最后上升到V,如图2.7所示；,p,n,37,空间电荷区中空穴的准费米电势p=V，电子的准费米电 势n=0，则其中的空穴和电子浓度为：,(2-76),其中为：,将上述结果代入式(2-73)：,(2-77),(2-78),38,得到小电流近似下p-n结中的Poisson方程：,(2-79),39,无论用什么方法解上述Poisson方程，都必须知道 (x)的边界条件。,三 Poisson方程的边界条件,空穴和电子有统一的费米能级，即热平衡条件成立：,(2-81),p-n结的边界位于x = ，该处满足电中性条件：,(2-80),40,(2-82),