计算机组成原理数据与文字的表示方法课件

第二章 运算方法与运算器,运算方法和运算器,本章内容：,2.1 数据与文字的表示方法 2.2 定点加法、减法运算 2.3 定点乘法运算 2.4 定点除法运算 2.5 定点运算器的组成 2.6 浮点运算方法和浮点运算器 本章小结,运算方法和运算器,2.1 数据与文字的表示方法,2.1.1 数据格式 2.1.2 数的机器码表示 2.1.3 字符与字符串的表示方法 2.1.4 汉字的表示方法 2.1.5 校验码,数据与文字的表示方法,无论什么类型的信息，在计算机内部都是以二进制编码形式表示的。 每个数都可以表示成按“权”展开的多项式 十进制 346.79=3102+4101+6100+710-1+910-2 二进制 1011.101=123+022+121+120+12-1+02-2+12-3 八进制 107.63=182+081+780+68-1+38-2 十六进制 1CB.D8=1162+12161+11160+1316-1+816-2 几进制的表示 （1）B,D,H,O的使用 （2）下标法,B: binary(二进制) D: decimal（十进制） O: octal（八进制） H: hexadecimal（十六进制）,如： 346.79D， 1011.101B 107.63O, 1CB.D8H,二、八、十六和十进制数的对应关系,二、八、十六和十进制数的对应关系,二进制数的运算规则,加法规则 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1= 0 减法规则 0-0=0 0-1=1 1-0=1 1-1=0 乘法规则 00=0 01=0 10=0 11=1 除法规则 01=0 11=1,1,1,01111111=10000000-1=27-1 0.1111111=1.0000000-0.0000001 = 1-2-7,2.1.1 数据格式,计算机中常用的数据表示格式有两种： （1）定点格式 （2）浮点格式,定点格式（小数点位置固定）容许的数值范围有限，但要求的处理硬件比较简单。,浮点格式（小数点位置浮动）容许的数值范围很大，但要求的处理硬件比较复杂 。,数据格式,1. 定点数的表示方法,定点表示：约定机器中所有数据的小数点位置是按约定固定不变的，小数点就不再使用记号“.”来表示。定点数据的形式：纯小数或纯整数。,（设：定点数表示为012n 其中：0符号位，0代表正号，1代表负号）,小数点的位置约定在符号位x0的后面（不显示）,小数点的位置约定在数值位xn的后面（不显示）,定点数的表示方法,定点数例,例： X=+1010110.,纯整数：X = 01010110.,正数，符号位取0,Y= - 1101001.,纯整数：Y = 11101001.,负数，符号位取1,X=+0.11011,Y=-0.10101,符号位取0,纯小数：X = 0.11011,符号位取1,纯小数：X = 1.10101,纯整数：X = 01010110.,符号位取0,纯整数：Y = 11101001.,符号位取1,符号位取0,纯小数：X = 0.11011,符号位取1,纯小数：X = 1.10101,注意到： 无论是整数或是小数，在机器数的表示中，都不出现小数点“.”,只是约定其位置。,定点数例,(012n 各位均为0时最小；各位均为1时最大) 纯小数的表示范围： 0|12n (2.1) 纯整数的表示范围为: 0|2n1 (2.2) 目前计算机中多采用定点纯整数表示，因此将定点数 表示的运算简称为整数运算。,定点数的表示方法,2、浮点数的表示方法,例：156.78 =15.678101 = 1.5678102 = 0.15678103=MRE 其中：M为尾数；R为基数；E为阶码（指数）。,二进制数,在定点计算机中，一般约定: 尾数|M|1.0，并按此原则 确定各数据的浮点表示格式。 上例 +156.67=0.15678 103 （规格化表示法） 同理：对于二进制数 +1011.1101= +0.10111101 2+4 = 0.10111101 2+100 =MRE,那么，计算机中究竟采用哪种数据形式？,显然存在多种数据形式,浮点数的表示方法,浮点数表示,可见： 一个机器浮点数由阶码E和尾数M及其符号位组成。 约定：尾数M用定点小数表示，给出有效数字的位数，M决定 了浮点数的表示精度； 阶码E：用整数形式表示，指明小数点在数据中的位 置， 其决定了浮点数的表示范围。 早期计算机中浮点数的一般形式为：,浮点数表示,按照 IEEE754 的标准，32位浮点数和64位浮点数的标准格式为：,其中：=浮点数的符号位，0表示正数，1表示负数。 =尾数，23位，用纯小数表示。 =阶码，8 位，阶符采用隐含方式，即采用移码方式来表示正负指数。,其中：=浮点数的符号位，0表示正数，1表示负数。 =尾数，52位，用纯小数表示。 =阶码，11 位，阶符采用隐含方式，即采用移码方式来表示正负指数。,浮点数表示,几点注释： 为了提高数据表示精度，当尾数值不为 0 时，尾数域的最高有效位应为1，否则通过修改阶码同时左右移小数点的办法，使其变成这一表示形式，这称为浮点数的规格化表示。 浮点数所表示的范围显然远比定点数大。 以下两种情况计算机都把该浮点数看成零值，称为机器零。 当浮点数的尾数M为 0；（不论其阶码E为何值） 当阶码E的值Emin值时。（不管其尾数M为何值）,IEEE754标准中，一个规格化的32位浮点数x的真值可表示为 x=(-1)S(1.M)2E-127 e=E-127 IEEE754标准中，一个规格化的64位浮点数x的真值可表示为 x=(-1)S(1.M)2E-1023 e=E-1023,因为规格化的浮点数的尾数域最左位（最高有效位）总是1，故这一位经常不予存储,浮点数表示,解: 首先分别将整数和分数部分转换成二进制数： 20.5937510100.10011 然后移动小数点，使其在第1，2位之间 10100.100111.01001001124 小数点被左移了4位， 于是得到：e4 尾符 S0， 阶码 E4127131，尾数 M010010011 最后得到32位浮点数的二进制存储格式为： 0100 0001 1010 0100 1100 0000 0000 0000 (41A4C000)16,此“1”被隐藏,例：将十进制数20.59375转换成位浮点数的二进制格式来存储。,3.十进制数串的表示方法,十进制数串在计算机内主要有两种表示形式： 1.字符串形式 字符串形式：每一个十进制的数位或符号位都用一个字节存放。 如：+12,-38,2.压缩的十进制数串形式 压缩的十进制数串形式：一个字节存放两个十进制的数位。 如：+123、-12,十进制数的表示方法,2.1.2 数的机器码表示,基本思想：把符号位和数字位一起编码来表示一个 实际的数。 主要表示方法有：原码、补码、反码、移码等。 各种编码表示的数称为机器数或机器码；其对应的 真实数值称为该编码对应的真值。,数的机器码表示,对于定点整数 X=Xn-1X1X0，则原码的定义是: 对于定点整数，其原码形式为： 原=nn-110, 注意到：原码机器中 “+0”、“-0” 有两种形式： 对于定点整数：+0原 =00000. -0原 =10000.,数的原码表示, 2n0 2n2n| 02n （2.8）,1. 原码表示法,一般情况下，对于定点整数，其真值与原码之间的转换符合下面的规律： x= +12n 原012n . x= -12n 原112n . 对于定点小数，其真值与原码之间的转换符合下面的规律： x=+0.12n 原0.12n x=-0.12n 原1.12n,数的原码表示,原码的表示范围是多少？,则它能表示的数的范围为-(2n-1), 2n-1,假设原=nn-110,正的最大值原码形式为：,负的最小值原码形式为：,0 111,1 111,原码表示法的主要特点是简单、易懂，但它的最大缺 点是：由于数值部分采用绝对值表示，因而使得加减法 运算比较复杂，而加减法运算正是计算机中最常使用的 运算。所以，必须探讨解决方法补码则正是一种解 决方法。,数的原码表示,例如，假设用5位原码来表示，x = +1001 则 x原 = 01001 y = -1001 则y原 = 11001,2. 反码表示法,二进制数求反：就是二进制的各位数码0变为1，1变为0。 即：若 xi =0，则 =1。 若 xi =1，则 =0. 对定点整数，反码表示的定义为：,数的反码表示,正数的反码就是本身,负数的反码则是符号位为1，数值位求反。,例如，假设用5位反码来表示，x = +1001 则 x反 = 01001 y = -1001 则y反 = 10110,注意到：机器中反码“+0”、“-0” 有两种形式： 对于定点整数：+0反 =00000. -0反 =11111.,反码的表示范围是多少？,则它能表示的数的范围为-(2n-1), 2n-1,假设反=nn-110,正的最大值原码形式为：,负的最小值原码形式为：,0 111,1 000,一般情况下，对于定点整数，其真值与反码之间的转换符合下面的规律： x= +12n 反012n . x= -12n 反112n . 对于定点小数，其真值与反码之间的转换符合下面的规律： x=+0.12n 反0.12n x=-0.12n 反1.12n,数的原码表示,3.补码表示法,补码的概念（以钟表对时为例） 假设现在的标准时间为4点正； 而有一只表已经7点了，为 了校准时间，可以采用两种方法：一是将时针退 7-4=3 格；一 是将时针向前拨12-3=9格。 显然：这两种方法都能对准到4点，由此可以看出，减3和加9 是等价的。所以称：当模数Mod=12时，9是(-3)补码。 用数学公式表示： -3+9 （mod12） “模”表示被丢掉的数值。上式在数学上称为同余式。 设某数为x，当Mod=12时，x-3=x+9、x+7=x-5 都是等价的。 从这里可以得到一个启示，就是负数用补码表示时，可以把减 法转化为加法。,数的补码表示,补码的定义：,1、定点整数,正数的补码就是本身,负数的补码需作运算,数的补码表示,注：上式机器数的位数为n+1,根据补码定义，求负数的补码时需作一次减法运算，这显然不是补码方法的初衷。后面将介绍反码表示法可以解决负数的求补问题。,例：已知 x=+10111, y=-11011, 求 x补、y补 (n=5) 按定义：x补 =010111 y补 =25+1+y=1000000-11011=100101,数的补码表示,数的补码表示,注：0的补码只有一种形式 对于定点整数: 0补0补00000 . 因此，补码的表示范围相对于原码、反码来 讲多一种，n+1位定点整数可以表示-2n。,对定点整数，反码表示的定义为： 比较两个公式，可以得出定点整数的补码与反码 的关系，找出利用反码求定点整数补码的方法。 当x为负数时，X补 = X反 + 1,数的补码与反码关系,对一个定点整数来说，一个负数的补码，可以通过将该数 符号位置1，其余取反，然后在最末位加1 的方法直接获得。,数的补码与反码关系,补码的表示范围是多少？,则它能表示的数的范围为-2n, 2n-1,假设补=nn-110,正的最大值原码形式为：,负的最小值原码形式为：,0 111,1 000,正负整数的补码与真值的关系,假设补=nn-110,则其补码表示的真值为：,例3：已知x补 = 010011011 求x=？ 例4：已知x补 = 110011011 求x=？,求一个数的补码的另一种有效的转换方法： 对于负数，将原码的符号位不变（或置真值的符号位至1），数值部分由低位向高位转换，对开始遇到的0和第一个1取其原码，以后的各位均取反。 例： y=-0.110100, 求 y补 解：y补=1.001 100,保持不变,逐位取反,y反=1.001011 y补=1.001011+0.000001 =1.001100,数的补码与反码关系,原码、反码、补码表示规律,一个正整数，当用原码、反码、补码表示时，符号位都固定为0，用二进制表示的数位值都相同，即三种表示方法完全一样。 一个负整数，当用原码、反码、补码表示时，符号位都固定为1，用二进制表示的数位值各不相同。 原码符号位为1不变，整数的每一位二进制数位求反得到反码。 反码符号位为1不变，反码数值位最低位加1，得到补码。,4.移码表示法,在计算机中，移码通常用于表示浮点 数的阶码。由于阶码一般取整数，所以 移码通常只用于整数的表示。 对定点整数,移码的定义是： 移2n 2n2n （n为移码数值部分的位数）,移码的表示方法,例：若阶码数值部分为5位,以表示真值，则 移25 25 25 又例： 当正数10101 时,移1,10101 当负数10101 时,移2525101010,01011。 注意到： 移码中的逗号不是小数点,而是表示左边一位是符号位。显然,移码中符号位0表示的规律与原码、补码、反码相反。移码的表示范围和补码一致，0只有一种表示方式，只是符号位正好相反。,移码的表示方法,机器码表示法小结：,在数据的四种机器表示法中， 正数的原码、反码、补码等于真值，只有负数才分别有不同的表示方法。补码和移码的0只有一种表示方法，因此其表示范围相对于原码和反码多一种，定点小数可表示-1（移码没有小数形式），整数可表示-2n。 移码表示法主要用于表示浮点数的阶码，可以直接比较大小。表示范围和补码相同，只有最高位相反。,机器码表示法小结,由于补码表示对加减法运算十分方便，因此目前机器中广泛采用补码表示法。在这类机器中数用补码表示，补码存储，补码运算。（也有些机器，数用原码进行存储和传送，运算时改用补码。还有些机器在做加减法时用补码运算，在做乘除法时用原码运算）,机器码表示法小结,例3 以定点整数为例,用数轴形式说明原码、反码、补码表示范围和可能的数码组合情况。 解: 原码、反码、补码表示分别示于下图。与原码、反码不同,在补码表示中“0”只有一种形式, 且用补码表示负数时范围可到2n 。,机器码表示法小结,例4将十进制真值(127,1,0,1,127)列表表示成二进制数及原码、反码、补码、移码值。 解: 二进制真值及其诸码值列于下表,其中0在原反中有两种表示。由表中数据可知,补码值与移码值差别仅在于符号位不同。,机器码表示法小结,例5 设机器字长16位,定点表示,尾数15位,数符1位,问： (1)定点原码整数表示时,最大正数是多少?最小负数是多少? (2)定点原码小数表示时,最大正数是多少?最小负数是多少?,解: (1) 定点原码整数表示 最大正数值 (2151)10(32767)10 =0 111111111111111 最小负数值(2151)10(32767)10 =1 111111111111111,机器码表示法小结,(2) 定点原码小数表示 最大正数值(1215)10(0.111.11)2 最小负数值(1215)10(0.11111)2,例6假设由S,E,M三个域组成的一个32位二进制字所表示的非零规格化浮点数,真值表示为： (1)s(1.M)2E128 问：它所表示的规格化的最大正数、最小正数、最大负数、最小负数是多少？,解: (1)最大正数,(2)最小正数,机器码表示法小结,(4)最大负数,(3)最小负数,机器码表示法小结,2.1.3 字符与字符串的表示方法,1.字符的表示方法 目前国际上普遍采用的字符系统是七单位的ASCII码(美国国家信息交换标准字符码),它包括10个十进制数码,26个英文字母和一定数量的专用符号,如$,%,等，共128个元素,因此二进制编码需7位,加一位偶校验位,共8位一个字节。 ASCII码规定8个二进制位的最高一位为0，余下的7位可以给出128个编码,表示128个不同的字符。,字符和字符串的表示方法,表2.1 ASCII字符编码表,0-3位,4-6位,2. 字符串,字符串：是指连续的一串字符,通常方式下,它们依次占用主存中 连续的多个字节,每个字节存一个字符。,例 将字符串： IFABTHENREAD(C) 从高位字节到低位字节依次存在主存中。,解: 设：主存单元长度由4个字节组成。每个字节中存放相应字符的ASCII值，文字表达式中的空格“”在主存中也占一个字节的位置。 因而每个字节分别存放十进制的73、70、32、65、62、66、32、84、72、69、78、32、82、69、65、68、40、67、41、32。,字符和字符串的表示方法,主存各字节单元内容,字符和字符串的表示方法,2.1.4 汉字的表示方法,1. 汉字的输入编码 包括：数字码、拼音码和字形码 数字码：常用的是国标区位码,用数字串代表一个汉字输入。区位码是将国家标准局公布的6763个两级汉字分为94个区,每个区分94位,实际上把汉字表示成二维数组,每个汉字在数组中的下标就是区位码。区码和位码各两位十进制数字,因此输入一个汉字需按键四次。 数字编码输入的优点是无重码,且输入码与内部编码的转换比较方便,。缺点是代码难以记忆。 拼音码：拼音码是以汉字拼音为基础的输入方法。使用简单方便，但汉字同音字太多,输入重码率很高,同音字选择影响了输入速度。,汉字的表示方法 （汉字的输入编码）,字形码：字形编码是用汉字的形状来进行的编码（例：五笔字型）。把汉字的笔划部件用字母或数字进行编码,按笔划的顺序依次输入,就能表示一个汉字。 为了加快输入速度,在上述方法基础上,发展了词组输入联想输入等多种快速输入方法。但是都利用了键盘进行“手动”输入。理想的输入方式是利用语音或图象识别技术“自动”将拼音或文本输入到计算机内,使计算机能认识汉字,听懂汉语,并将其自动转换为机内代码表示。目前这种理想已经成为现实。,汉字的表示方法 （汉字的输入编码）,2 .汉字内码 汉字内码是用于汉字信息的存储、交换、检索等操作的机内代码,一般采用两个字节表示。英文字符的机内代码是七位的ASCII码,当用一个字节表