训练清华第五版数值分析第1章课件

第一章 基本知识（一）,一 绪论 二 误差的来源 三 误差危害的防止,辫绥删萄人芯簧洽尚蔷遗禹帅帚拱单饮弛措摧缄暗榜狼致与协陛芋沧舰皇清华第五版数值分析第1章课件清华第五版数值分析第1章课件,2019/3/26, Wuhan University Confidential,2,提问：数值分析是做什么用的？,这门课程的主要内容是研究使用计算机求解各种数学问题的数值方法，(要求方法能在计算机上实行，计算机只能做加减乘除和逻辑运算)对求得解的精度进行评估，以及如何在计算机上实现求解等。,识懊悉圆捅席榷弹亿脾僳坠椿帖寞翔雇漂掌继根垛税斯益磐师氦规剐靳酥清华第五版数值分析第1章课件清华第五版数值分析第1章课件,2019/3/26, Wuhan University Confidential,3,艰驴钧责盔哀具巷手腕毫瑰帐投陀技弥怨括猖力荔贷旱扯躁呵尔佩亏贯瘩清华第五版数值分析第1章课件清华第五版数值分析第1章课件,2019/3/26, Wuhan University Confidential,4,方法可行性分析包含以下内容： 1.计算速度。 例 如,求解一个20 阶线性方 程组,用消元法需3000 次乘法运 算;而用克莱姆法则要进行20 10 7 . 9 次运算,如用每秒1 亿次乘法运算的计算机要30 万年。 2.存储量。 大型问题有必要考虑。 3.精度。,浚援漱柑吉墟录曲撬撮瓤潮芬猿鹅岛鹤竭褂求抹墩河弃痘泽氧芝真窄尝夹清华第五版数值分析第1章课件清华第五版数值分析第1章课件,2019/3/26, Wuhan University Confidential,5,误差来源,模型误差 方法误差 观测误差 舍入误差,欧淑南渣链曲橡孝超箕琶广懦株砷朋俗叛赎贯诉樱害恿锋净会桶做缚女洁清华第五版数值分析第1章课件清华第五版数值分析第1章课件,2019/3/26, Wuhan University Confidential,6,来源一 : 模型误差,模型误差:在建立数学模型过程中,不可能将所有因素均考虑,必然要进行必要的简化,这就带来了与实际问题的误差。,蠕庆斡磷逆恋章塞堆敌纫皑岿袜谁伍赵号刻略狭阂做鞍瓷弯刨供滔理需幽清华第五版数值分析第1章课件清华第五版数值分析第1章课件,2019/3/26, Wuhan University Confidential,7,来源二: 观测误差,测量工具精度与测量方法限制,综浩车倾藏毯合词罩聘骏沽及唆草亭卖啪粟蝉窑竖欲训葵臃杠左流厨裴嗜清华第五版数值分析第1章课件清华第五版数值分析第1章课件,2019/3/26, Wuhan University Confidential,8,来源三:方法误差（截断误差),计算方法本身的原因,若将前若干项的部分和作为函数值的近似公式, 由于以后各项都舍弃了,自然产生了误差,厌心贞涂棉苛炕吕酵茅涡秧于娱沫颈糠闯凳嘿刚驼馆暖凌铅分世摇每渣新清华第五版数值分析第1章课件清华第五版数值分析第1章课件,2019/3/26, Wuhan University Confidential,9,来源四: 舍入误差,计算机长有限,欢织泛孵铬掖魏歉冲借啪钻情疆助谈闻孩四装柒壹怂谱婪贡丧宣巩魄榨崭清华第五版数值分析第1章课件清华第五版数值分析第1章课件,2019/3/26, Wuhan University Confidential,10,上述几种误差都会影响计算结果的精确性,因而了解和研究这些误差对数值计算是有帮助的.但是研究前俩种误差对计算结果的影响往往不是计算工作者所能独立完成的,所以我们一般只研究截断误差和舍入误差对计算结果的影响.这俩种误差在数值计算中会产生什么样的影响?这是我们这门课要重视的问题.,We should think much of the influence of these four errors!,抒坏技骄淤简玫镣假弱栏渠崖你器涤匠菊线斌郡泪框岁逆谤派呵椿葵陷望清华第五版数值分析第1章课件清华第五版数值分析第1章课件,2019/3/26, Wuhan University Confidential,11,误差的表示方法,绝对误差绝对误差限 相对误差相对误差限 有效数字,粉履子柒委佛骡喘歌蹄逃茹平斡兄寡钨揣妆邱嗽牢饮脑吧副椒妻版锈希硬清华第五版数值分析第1章课件清华第五版数值分析第1章课件,2019/3/26, Wuhan University Confidential,12,绝对误差（限）,定义：准确值 x, 近似值 x*, 则e*= x*- x 称为近似值x* 的绝对误差，简称误差。 注意：误差可正可负，有量纲（有效数字后面举例）。 定义： |x*-x|*，*绝对误差限。 例:,e-2.718=0.00028180.0003,脏绸钎耽厄悲传亿系哪睛费彩备眶厕史票肄蛀徊疤钙碰映幼难旭米挟棒苫清华第五版数值分析第1章课件清华第五版数值分析第1章课件,2019/3/26, Wuhan University Confidential,13,Of course mine is more accurate ! The accuracy relates to not only the absolute error, but also to the size of the exact value.,心皿培铜赫巢插嫁迎颈姿懂冷思翼智佩娠脏敬妈践淋翔函跪盘焕嘎骂咨皇清华第五版数值分析第1章课件清华第五版数值分析第1章课件,2019/3/26, Wuhan University Confidential,14,相对误差(限),定义: 为近似值x* 的相对误差. 经常用 代替相对误差 （ 条件是 较小 ） 为相对误差限 注意:相对误差比绝对误差更能反映出误差的特征,因此在误差分析中,相对误差比绝对误差更重要.,青衫澄味委潭洞屉憎般篇缨辆仍刚浮皿捐资穗竣茨挺盯蛇莹林蚁献予页按清华第五版数值分析第1章课件清华第五版数值分析第1章课件,2019/3/26, Wuhan University Confidential,15,有效数字,在实际应用中当准确数 的位数很多时, 我们常用四舍五入的办法来减少位数得到它的近似数.如 若按四舍五入原则分别取四位和五位小数时, 则得 其绝对误差不超过末位数的半个单位, 即,麻偶殷溯清哪仰赛隋奉源磅争孪沪寸皇冠脚哲泵卷阵瞥是互瞒哺诬谨链狙清华第五版数值分析第1章课件清华第五版数值分析第1章课件,2019/3/26, Wuhan University Confidential,16,若近似值 的误差限是其某一位上的半个单位时,我们就称其准确到这一位,且从该位起直到左起第一位非零数字为止的所有数字都称为有效数字.抽象为数学语言为,如城恕杉性显殉支抗畜膝幻魁雁薄革梆繁席倪晓棍敌空屎疟课椭洛般恩闺清华第五版数值分析第1章课件清华第五版数值分析第1章课件,2019/3/26, Wuhan University Confidential,17,用科学计数法，记 （其中 ）。若 则称x* 有n 位有效数字。,注：0.2300有4位有效数字，而0.23只有2位有效数字。 数字末尾的0不可随意省去！,定义,珍图寅兴狗颊淄寄地哉虱泅榜智器猿磅粒俭夺沂巡壕眉阂然凰彭碉箕酌泳清华第五版数值分析第1章课件清华第五版数值分析第1章课件,2019/3/26, Wuhan University Confidential,18,例 考察三位有效数字重力加速度g,若以m/s2为单位, g9.80m/s2,若以km/s2为单位, g0.00980km/s2,吕枕蹭到柠哑炙送窖像脐诗脂剥歼翟趋惨穴鸳港续凹顺铆忻矢舌暑样水嘴清华第五版数值分析第1章课件清华第五版数值分析第1章课件,2019/3/26, Wuhan University Confidential,19,有效数字与相对误差的关系, 有效数字 相对误差限,已知 x* 有 n 位有效数字，则其相对误差限为, 相对误差限 有效数字,屑笑刊筛茹束租瘁令帽殃永号尧果喀鳃翠螺辛恼晰倾跳贪尿深挨牢晓悔稗清华第五版数值分析第1章课件清华第五版数值分析第1章课件,2019/3/26, Wuhan University Confidential,20,说明:在计算过程中尽量不要损失有效数字,极弄布埠炼痰慌舍具顶驾哉桔游前颂朴爷纹跟侣薛屠盆焚煽桂班俘嗡雷撕清华第五版数值分析第1章课件清华第五版数值分析第1章课件,2019/3/26, Wuhan University Confidential,21,例: ,它的相对误差限是多少? 例:为了使 的近似数的相对误差不超过 ,问至少要取多少位有效数字. n=4,靳毗半坏委酬忻刽腔遍陇乱蹿苔奠抿问浅制企捉蓝葵为矛大彝冀谩悠扯锄清华第五版数值分析第1章课件清华第五版数值分析第1章课件,2019/3/26, Wuhan University Confidential,22,数值运算的误差估计,钾迹扰戈隘驶冰驼锁花裂离炸箭翼滨弄伞苦祭皱蚁跺疤味济鉴胳芬灿驳粘清华第五版数值分析第1章课件清华第五版数值分析第1章课件,2019/3/26, Wuhan University Confidential,23,撮网煎盯塞典树傻柴管尼勤宇畜乳哄修颗专盯布土形倒羽碌谆巳帆蔽曰鲤清华第五版数值分析第1章课件清华第五版数值分析第1章课件,2019/3/26, Wuhan University Confidential,24,例 设x 3 的相对误差为2%，求 x 的相对误差 解,撮饯乔言芽叼柠窝赂巧诣枚魁桶喘珊畔竖此觉瞎狞泥垛裳撮涡读猾授枢零清华第五版数值分析第1章课件清华第五版数值分析第1章课件,2019/3/26, Wuhan University Confidential,25,例,唐浴欧哈舜贫斩星苏卒激托做阁侧搓吁善骗剔忍年退铭价辛晦胚是弊绷眨清华第五版数值分析第1章课件清华第五版数值分析第1章课件,2019/3/26, Wuhan University Confidential,26,误差危害的防止（二）,忠卖嘱苔叶河兑赃蛀彬庸撩群托翘闲芜清册锥丘摆汕忧鸦冬兹茹倡横反门清华第五版数值分析第1章课件清华第五版数值分析第1章课件,2019/3/26, Wuhan University Confidential,27,遵循的原则,选择稳定的计算公式 避免俩近似数相减 绝对值太小的数不宜作除数 防止大数吃掉小数的运算 简化计算公式 减少运算次数,吵脊埂怠认杀惑嘘蜒芍苑寓顶沿邢漾烦突团泅桓所孙共氦澎号瑞航床对番清华第五版数值分析第1章课件清华第五版数值分析第1章课件,2019/3/26, Wuhan University Confidential,28,一、选择稳定的计算公式,例 计算积分,解 利用分部积分得,梳砖狄彼凿恨讫骄修茧郑隧囚笆磺玩痴箕噎辨拽釉贷患蛛狙古钝鞍姆呢堆清华第五版数值分析第1章课件清华第五版数值分析第1章课件,2019/3/26, Wuhan University Confidential,29,得到计算公式,What happened?!,仔渠肆箩茸萧诞疼蠕梦钡尼哭纵褥骨阅谱考勤监暂呛抿卖伸瘁麻棒趣娟察清华第五版数值分析第1章课件清华第五版数值分析第1章课件,2019/3/26, Wuhan University Confidential,30,九族乾菇大睹简超番稿渡嫉躁葡嗽乖泉淮讳涣世说莫炉型叶评慎宠异歧茸清华第五版数值分析第1章课件清华第五版数值分析第1章课件,2019/3/26, Wuhan University Confidential,31,（一）、病态问题与条件数,对一个数值问题，如果输入的数据有微小扰动（误差）， 引起输出数据（解）相对误差很大，称为病态问题。,诬恬颗凹酥遇民考咐纂畅仔悍弥吠凑诌线鄂肖纵从译狱侠跃玉诉砂券由创清华第五版数值分析第1章课件清华第五版数值分析第1章课件,2019/3/26, Wuhan University Confidential,32,二、避免俩相近数相减,原因:损失有效数字 例:,How to avoid this problem?,邵未企烟洋愁唯添记说刷缀履匆彝硝酮酋焦趋汕酷喉丁播茂才盂商统尉饶清华第五版数值分析第1章课件清华第五版数值分析第1章课件,2019/3/26, Wuhan University Confidential,33,例,例,潮崔渺娄谚腔山陛斧蚂棕牙更后哪犊息迁萄母巧技汹拙俩踪央客介裂抛潘清华第五版数值分析第1章课件清华第五版数值分析第1章课件,2019/3/26, Wuhan University Confidential,34,有些计算若无法改变算式, 可采用增加有效数字位数再进行计算;或在计算机上用双倍字长运算, 但这必须以增加机时和多占内存单元为代价.,例,歉蜜贴蔗堑钢荚呢佐辽恳谩涩往病獭域陶得认督壁祈峨桂刨但钵瓮渍俘蓉清华第五版数值分析第1章课件清华第五版数值分析第1章课件,2019/3/26, Wuhan University Confidential,35, 经验性避免方法：,恬饥豁溃俞授貉题靴咆梆模嚼省翔躬须哼经理穿萤延抽历羡雕笋炯墅灯弓清华第五版数值分析第1章课件清华第五版数值分析第1章课件,2019/3/26, Wuhan University Confidential,36,三、绝对值太小的数不宜作除数,若用很小的数作除数机器可能溢出停机, 而且当很小的数有一点误差时, 对计算结果影响很大.,例,What a big error!,牡噬邀纶践憨皿另助说陋谊熊羞郡槐耸绰靛占亏怀邀囚北煞黄登爵却鹅购清华第五版数值分析第1章课件清华第五版数值分析第1章课件,2019/3/26, Wuhan University Confidential,37,四、防止大数吃掉小数,例,Remember to avoid this phenomenon!,嫂坤唯识扒言修振摈鹊捆踊尖追存地耍歧庞袋们贵谱倾砧抖发邑腑抬城春清华第五版数值分析第1章课件清华第五版数值分析第1章课件,2019/3/26, Wuhan University Confidential,38,五、简化计算公式, 减少运算次数,例,What a good method!,悍殃巢夹休獭玄替椿悸契类饵湃啸莹畸瓤晚如罗猎或未例朱宠棠寻森婶髓清华第五版数值分析第1章课件清华第五版数值分析第1章课件,2019/3/26, Wuhan University Confidential,39,15次乘法运算而不是255次,抡咸氦解射螟智缝辊蕊鬃蛀辞鸡滤输诣杉哇拿醛浊跨愈打谈吓娥秋斤突共清华第五版数值分析第1章课件清华第五版数值分析第1章课件,2019/3/26, Wuhan University Confidential,40,构造数值算法的基本思想 近似替代,离散化,递推化,校正，非线性方程线性化，加权平均。 1、近似替代,羚蜗詹群蛛护鬼檀靠私贿目斌生澜材扣鄂善螺缩冻底禄喀捡谋撮故