二次型毕业论文设计.doc

韩 山 师 范 学 院学 生 毕 业 论 文（2012届）题目（中文） 二次型正定性的判定及应用 （英文）the determination and application for the positive positive definite property of real quadratic forms 系别： 数学与信息技术系 专业： 数学与应用和数学 班级： 20081111 姓名： 谢锐斌 学号: 2008111159 指导教师： 吴捷云 讲师 韩山师范学院教务处制诚 信 声 明我声明，所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，我承诺，论文中的所有内容均真实、可信。毕业论文作者签名： 签名日期： 年 月 日摘要：矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念,本文主要讨论主要阐述的是实矩阵的正定性以及应用.本文在介绍实矩阵的正定性的定义及其判别方法后，简单的举了一些实例来阐述实矩阵正定性的应用.全文分两章,在第一章,矩阵的正定性的定义在第二章,正定性矩阵的判别方法,在本文的最后给出了几个正定性矩阵的应用实例 关键词：矩阵 实矩阵 正定性 应用 abstract：matrix is qualitative can from solid matrix and complex matrix two aspects elaborated, due to complex matrix more tedious and some properties of complex matrix can have a matrix on get, so here is mainly expounds the matrix is qualitative and application. based on the introduction of a matrix of the definition and is qualitative identification method, simple cited some examples to described the application of matrix is qualitative.key words: matrix； real matrix； qualitative； application 目录1. 二次型有定性的概念 (1)1.1 二次型的定义(1)1.2 二次型的有定性(1)2. 矩阵正定性的普通判别方法 (1)2.1 判别正定二次型(正定矩阵)的常用思路(1)2.2 与判定思路相应的五个定理(1)3.新的判定法(5)3.1 几个相关定义(5)3.2 理论基础及应用(5)4.正定性的应用(5)4.1 几个正定性定义和定理应用(7)4.2 应用的局限性(8)5.结束语 (9)参考文献 (10)致谢 (11)二次型正定性的判定及应用 1、二次型有定性的概念1.1 二次型的定义 具有对称矩阵之二次型(1) 如果对任何非零向量, 都有 （或）成立，则称为正定（负定）二次型，矩阵称为正定矩阵（负定矩阵）.(2) 如果对任何非零向量, 都有 （或）成立，且有非零向量，使，则称为半正定（半负定）二次型，矩阵称为半正定矩阵（半负定矩阵）.1.2 二次型的有定性 二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的.二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.2.正定性的普通判别方法2.1 判别正定二次型(正定矩阵)的常用思路 具体方法有：(1) 用定义；(2) 正惯性指数p=t (t正整数)；(3) 与e合同；(4) 顺序主子式全大于0；(5) 特征值全大于0.2.2 与判定思路相应的五个定理定理1、实二次型是正定二次型的充要条件是的规范形为.证明：实二次型是正定二次型则由定理1可知的正惯性指数为n，则二次型可经过非退化实线形替换成 的规范形为则的正惯性指数为由定理1可知为正定二次型.定理2、实二次型是正定二次型的充要条件是它的正惯性指数等于.证明设实二次型经线形替换x=py化为标准形 其中由于为可逆矩阵所以不全为零时也不全为零反之亦然. 如果是正定二次型那么当不全为零即不全为零时有 若有某个比方说则对这组不全为零的数代入式后得这与是正定二次型矛盾因此有, ,即的正惯性指数等于.如果的正惯性指数等于则于是当不全为零即当不全为零时式成立从而是正定型. 定理3、实二次型是正定二次型的充要条件是矩阵与单位矩阵e合同.证明：实二次型是正定二次型则由定理3可知的规范形为 ,此即存在非退化线形替换其中可逆使得所以因此矩阵单位矩阵e合同.矩阵单位矩阵e合同则存在可逆矩阵使得，令则因此由证明2可知是正定二次型.定理4、实二次型是正定二次型的充要条件是矩阵的顺序主子式全都大于零.证明：实二次型是正定二次型,则由定理5可知的主子式全大于零,所以的顺序主子式也全大于零.对二次型的元数作数学归纳法,当时由条件知所以是正定的. 假设充分性的判断对于元的二次型已经成立,现在来证元的情形.令= 于是矩阵可以分块写成：=则的顺序主子式也全大于零,由归纳法假定,是正定矩阵,则存在可逆的阶矩阵使得令= ,于是再令=,则有令 就有两边取行列式,则由条件因此.所以矩阵与单位矩阵合同,因此是正定矩阵即是正定二次型.定理5、实二次型是正定二次型的充要条件是矩阵a的全部特征值都是正的.证明实二次型是正定二次型,则是正定阵,又对于任意一个阶实对称矩阵都存在一个阶正交矩阵使得 成为对角形,令=则否则与为正定二次型相矛盾，则特征值为均大于零即为正的.又相似矩阵有相同特征值，则a的特征值也均为正. 的全部特征值均为正的则存在一个阶正交矩阵使得 = 其中为的特征值,此由相似矩阵有相同的特征值得到令则 , 所以为正定二次型.3.新的判定法 对于二次型的正定性，一般都是对所对应的矩阵进行研究，并且，所研究的范围也只限定在实对称矩阵或hermite矩阵进行讨论，这大大限制了二次型在一般情况下的应用本文在对一般实方阵正定性研究的基础上，提出了实方阵判定实二次型正定性的理论基础及几种新方法.3.1 几个相关定义定义1 设a是n阶实方阵，如果对于任意的非零的n阶实向量 ，都有xtax0，其中xt表示x的转置，则把a称做正定矩阵 定义2 含有n变量 x1， x2，xn的二次齐次函数f( x1， x2，xn )：b11x12 +b22x22 +bnnxn2+2bl2xlx2+2bl3xlx3+ +2bn-1,nxn-1xn称为二次型取bij=bji ，则f=xtbx，我们把对称矩阵b称为二次型f的矩阵，也把 f 叫做对称矩阵b的二次型定义3 设有实二次型 f(x)=xtcx，如果对于任意的 x0，都有f(x)0，则称f为正定二次型，并称对称矩阵c是正定的 由此可见，研究二次型的正定问题，可以转化为研究二次型所对应的矩阵正定问题接下来所讲的矩阵、向量如无特别声明，均指实矩阵、实向量3.2 理论基础及应用 一般判定实二次型正定性的理论基础是利用了标准型、特征值和主子式的方法对于给定的二次型对应的矩阵为实方阵，使得对二次型矩阵的判定可以拓展到实方阵中去本文在此基础之上利用下面的几个定理和推论，采用一般方阵的正定性来判断对称矩阵的正定性 对于实方阵来说，首先具备下面三个性质：性质1 设矩阵a为n阶实方阵，则下列命题等价：(1)a是正定矩阵；(2)at是正定矩阵；(3)对任意n阶可逆矩阵p，ptap是正定矩阵；(4)a+at是正定矩阵；(5)a-1是正定矩阵；(6)存在n阶可逆矩阵p，使ptap=diag，1，1其中，1 0, t0(7)a的各阶主子矩阵是正定矩阵；性质2 正定矩阵的特征值实部为正下面引入矩阵hadamard乘积(又称schur乘积，其定义为：aob=aijbij，a，br(m，n)schur乘积定理指出 ：两个对称正定矩阵的hadamard乘积仍为对称正定矩阵，这个结果可以推广到一般正定矩阵性质3 设a是正定矩阵，曰是对称正定矩阵，则aob也是正定矩阵证明： 因为a是正定矩阵，故a+at为对称正定矩阵，由schur乘积定理(a+at)ob为对称正定矩阵注意到aob +(aob)t =aob +atob =aob +atob=(a+at)ob，aob+(aob)t 为对称正定矩阵，从而aob为正定矩阵推论1 设a、b是正定矩阵，则aob +atob也是正定矩阵对于二次型的实对称矩阵来说，要研究正定性，不妨先推广到正规矩阵，对正规矩阵成立的性质，当然对实对称矩阵也适用所以，判断二次型a正定的方法，以定理的形式给出定理1 设a为正规矩阵，其特征值实部为正，则a为正定矩阵证明由文献得到当a为正定矩阵时，存在正交矩阵q，使得qtaq=diag(al，a2，as ，2s+l，n )，其中a = ，它具有共轭复特征值(也是a的特征值)+ij ，j=1，2，s而2s+1 ，n是a的实特征值由于a的特征值实部为正，故j0 j=1，2，sj0 j=2s+1，n由于qt(a+at)q=diag(2l，2l，2s，2s，22s+1 ，2n)，可见a为正定矩阵定理2 设a为严格对角占优的正规矩阵，且主对角元全为正，则a是正定矩阵由gersgorin圆盘定理 ，当a的特征值实部为正，而a又是正规矩阵，由定理1知a是正定矩阵对于实对称矩阵来说，上述方法显得简单有效定理3 设a为正规矩阵，是b对称正定矩阵，且ab可交换，则a是正定矩阵的充分必要条件是ab为正定矩阵证明：首先，由于(ab)(ab)t =(ba)(ba)t =(ba)atbt =b(aat)b=b(ata)b=(bat)(ab)=(ab)t(ab)可知a为正规矩阵时，ab亦为正规矩阵，因b是对称正定矩阵，故存在对称正定矩阵c，使b=c2，这时,c(ab)c-1=c(ac2)c-1=cac=ctac。如果a是正定矩阵，那么ctac也是正定矩阵，所以ctac的特征值实部为正,从而ab的特征值实部为正，又因为ab正规矩阵，由定理1知ab为正定矩阵反之，如果ab是正定矩阵，那么ab的特征值实部为正，从而矩阵ctac的特征值实部为正,又因为,(ctac)(ctac)t =ctacctac =cabatc=cbaatc =c(ab)tac=c(ba)tac =catbac=catccac =(ctac)t(ctac)所以ctac为正规矩阵，因此ctac为正定矩阵，从而a为正定矩阵对于二次型方阵a来说，如果能找到一个满足定理条件的矩阵b，使得ab为正定矩阵，则可判断原二次型为正定二次型定理4 矩阵a正定的充分必要条件是对任何秩1非负定矩阵曰有trab0证明：首先，矩阵b=bij是秩1非负定矩阵的充分必要条件是有n维非零向量,使得b=xxt，这时对任何矩阵a=aij，有trab=trabt =则结论显然成立推论2 矩阵a正定的充分必要条件是对任何非零非负定矩阵曰有trab0定理4及推论2给出一种理论方法，使得只要能对所有的非零非负定矩阵，验证是否trab 0，就可以很方便的判断出二次型的正定 基于上述理论基础，以及二次型与对称矩阵之间有一一对应关系，所以讨论二次型的问题可转化为讨论对称矩阵的问题；反之，涉及到对称矩阵的问题往往也可以转化为二次型来讨论。4.正定性的应用 在实际问题中经常要遇到求三元以上函数的极值问题，对此可由二次型的正定性加以解决.4.1 几个正定性定义和定理应用定义1 设元函数在的某个邻域内有一阶、二阶连续偏导数。 记, 称为函数在点处的梯度.定义2 满足的点称为函数的驻点.定义3 ，称为函数在点处的黑塞矩阵。显然是由 的个二阶偏导数构成的n阶实对称矩阵.定理1(极值存在的必要条件) 设函数在点处存在一阶偏导数，且为该函数的极值点，则.定理2(极值的充分条件) 设函数在点的某个邻域内具有一阶、二阶连续偏导数，且则 : (1)当为正定矩阵时，为的极小值; (2)当为负定矩阵时，为的极大值; (3)当为不定矩阵时，不是的极值。4.2 应用的局限性 利用二次型的正定性来判断多元函数的极值虽然是一个很好的方法,但也有一定的局限性,因为充分条件对正定和负定的要求是很严格的,若条件不满足,那结论就不一定成立. 例求三元函数的极值.解：先求驻点，由 得所以驻点为.再求(hessian)黑塞矩阵,因为,所以，可知是正定的，所以在点取得极小值：.当然，此题也可用初等方法求得极小值，结果一样.5.结束语 综上所述，二次型正定性的判定的常用方法的总结和不断的探究判定的新方法以及证明的方法，矩阵的正定性还有多种应用，在此就不一一列举.参考文献 1刘西垣，李永乐，袁荫堂数学复习全书m北京：国家行政学院出版社，2010.2北京大学数学力学系几何与代数教研室代数小组高等代数m北京：人民教育出版社，19783同济大学数学教研室线性代数m北京 高等教育出版社，19994苏金梅线性代数m 呼和浩特：内蒙古大学出版社，20005北京大学数学力学系. 高等代数 m . 北京:高等教育出版社,1978.6郭忠. 矩阵正定性的判定j . 科学通报,1987 ,2 :36 - 38