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电磁学（第三册） 第5章 静电场中的电介质 本章讨论： 电介质如何影响电场？ 在电场作用下，电介质的电荷如何分布？ 如何计算有电介质存在时的电场分布？ 引 言 电介质 (dielectric)，就是绝缘体 无自由电 荷，不导电。 请关注：电介质和导体在电学机制上的区 别。 5.1 电介质对电场的影响 5.3 d 的高斯定理 5.2 电介质的极化 5.5 电容器的能量 5.4 电容器和它的电容 目 录 5.6 介质中电场能量密度 5.1 电介质对电场的影响 +q -q e0 u0 +q -q 相对介电常数 变压器油： r2.24 钛酸钡： r103104 铁电体 电介质 e，u 电场被削弱： 端面出现电荷 如何解释上述实验结果？ 束缚电荷的电场e不能全部抵消e0，只能 削弱总场e. + - + + + + + + + + - - - - - - 机制与导体有何不同？ “束缚电荷”（bound charge）或“极化电荷”。 电介质情况： 导体和电介质的区别： （2）在电场中，导体会因静电感应 ， 介质会极化 。 （1）有无自由电荷。 电中性的分子中，带负电的电子(或负离子 )与带正电的原子核(或正离子)束缚得很紧， 不能自由运动束缚电荷或极化电荷。 5.2 电介质的极化（polarization） 一、电介质的电结构 电偶极子模型： 每一个分子中的正电荷集中于一点，称为 正电荷重心；负电荷集中于另一点，称为负 电荷重心 两者构成电偶极子 固有电偶极矩 1、有极分子(polar molecule) 极性电介质 例如 hcl、 h2o、co h2o . . . o hh h o + h + 分子正负电重心不重合 有固有电偶极矩 二、有极分子和无极分子 1030 cm 分子 hcl3. 43 h2s5. 3 hbr 2. 60 so2 5. 3 hi1. 26 nh35. 0 co 0. 40 c2h5oh 3. 66 分子p / (1030c m) p / (1030c m) h2o6. 2 有极分子的电偶极矩 分子正负电中心重合 无固有电偶极 2、无极分子 (nonpolar molecule) 例如 h2、o2、co2、ch4 c h + h + h + h + 非极性电介质 三、电介质的极化 (polarization) 在外电场作用下，电介质表面出现正负 电荷层的现象电极化 极化机制 无极分子位移极化 有极分子取向极化 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 1、无极分子的位移极化 无外电场：正负电荷重心重合，介质不带电 加外电场： 产生感生电偶极矩 主要是电子（云）移动 极化的效果：端面出现束缚电荷 2、有极分子的取向极化 无外电场：固有电偶 极矩热运动，混乱分 布，介质不带电。 + + + + + + + + + + + + 加外电场：外场取 向与热混乱运动达 到平衡。 + + + + + + + + + + + + + + + + 极化的效果：端面出现束缚电荷 有极分子电介质也存在位移极化，但取向极 化是主要的，它比位移极化约大一个数量级。 电场频率很高时，分子惯性较大，取向极化 跟不上外电场的变化，只有惯性很小的电子才 能紧跟高频电场的变化而产生位移极化，只有 电子位移极化机制起作用。 四、电极化强度 (polarization intensity） 表征电介质极化程度 如何表征？ 电极化强度：电介质中某点附近单位体积内分 子电偶极矩的矢量和 单位：c/m2面电荷密度？ 极化状态：各分子电偶极矩矢量和不会完 全相互抵消。表征极化程度。 - - - - - + + + + 含义：描述介质在电场 中各点的极化状态 n 单位体积内的分子数 每个分子的正电荷重心相对于其负电荷重心 都有一个位移l，各个分子的感应电矩都相同 ，电介质的极化强度为 以均匀的位移极化为例： 均匀极化：电介质各处极化强度p大小和方 向都相同。 电极化强度p 总场强e(成正比 ) e电极化率（介质性质，与场无关） 介质中的总场强(外电场束缚电荷电场) 相对介电常数 只讨论各向同性、线性电介质。 五、各向同性、线性电介质的极化规律 实验表明：在各向同性介质中，当电场不太强时： 六、束缚电荷与极化强度的关系 1、束缚电荷面密度 以极性电介质为例推导 结果也适用于非极性电介质 束缚电荷面密度： + + + + + + - - - - - - + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - 证： 表面该点的电极化强度矢量 表面该点外法线方向单位矢量 束缚电荷面密度： 当为锐角时，电介质表面上出现一层正极 化电荷。 当为钝角时，表面上出现一层负极化电荷。 束缚电荷面密度，等于电极化强度法向分量。 束缚电荷体密度： 封闭面s 内的束缚电荷： ds p v q 介质 内 s 2、束缚电荷体密度 束缚电荷体密度，等于电极化强度散度负值。 【例】已知介质球均匀极化，极化强度为 求：、. 解： p p 均匀极化电介质，体束缚 电荷密度为零。 1、铁电体（ferroelectrics） 钛酸钡（r 103104）、酒石酸钾钠、 pe 关系是非线性的； 电滞效应撤去外电场后p不会减为零，相 对两表面仍存在异号极化电荷。 增大电容器的电容（103 倍） 铁电记忆元件 七、铁电体和压电体 应用：电声换能器、压电晶体振荡器、 压电变压器、压电传感器 2、压电体 (piezoelectrics) 压电晶体、压电陶瓷 压电效应：机械形变（压缩或伸长）能改 变电极化强度，对应两表面产生异号极化 电荷。 电致伸缩 逆压电效应 5.3 d的高斯定理 给定自由电荷分布，如何求稳定后的电 场分布和束缚电荷分布？ 电荷重新分布 e0 e1 e2 e 实际计算：引入一个包含束缚电荷效应的 辅助量d，直接求d，再求e. 存在介质时，静电场的规律： 给定自由电荷分布 电场 束缚电荷分布 电场重新分布 迭代计算： + + + + + + - - - - - - + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - 1、 电介质中的电场强度 电介质的相对介电常数 电介质的相对介电常数 证明： + + + + + + + - - - - - - - 电介质的影响 相对介电常数介电常数 + + + + + + + - - - - - - - 2、 有介质存在时的环流定理和高斯定理 （1）环流定理： + + + + - - - + + + - - - - （2）高斯定理： 电位移矢量 普通形式的高斯定理 d 的高斯定理： 通过任意封闭曲面的电位移矢量的通量， 等于该封闭面所包围的自由电荷的代数和 电位移矢量 + 3、 电位移线（d 线）发自正自由电荷，止于负 自由电荷。在闭合面上的通量只和闭合面内的 自由电荷有关。 所以，d的分布 一般也和束缚电荷（介质分布）有关。 只有当介质的分布满足一定条件时，d 才与 束缚电荷无关。 因为 , 其中e 是所有电荷共同 产生的，p 与束缚电荷有关。 电位移通量 2） 线与所有电荷有关，从正电荷出发终 止与负电荷。 线与自由电荷有关，从自由正电荷出发终 止与自由负电荷。 + + + + + + + + + + + + + + + + + e 线 d 线 注：1） 与电介质有关， 而 与电介质无关。 【思考】由微分形式，如何理解d可能与束缚 电荷的分布有关？ 二、各向同性、线性介质 d、e、p 的关系 d 的高斯定理微分形式： 三、有电介质时电场、束缚电荷的计算 例1，金属球（r，q）周围被电介质 充满，求 电场分布和电势分布. 解：金属球所带电荷均匀分布在外表面上，束缚电荷也 具有球对称分布，产生的电场和电势也具有球对称。 (1)由高斯定理： 【例2】一带正电的金属球浸在油中。求球外的电 场分布和贴近金属球表面的油面上的束缚电荷。 r + + + + + + + + + - - - - - - - q q d 的高斯定理 p e d r 为什么？ 解： r + + + + + + + + + - - - - - - - q q p e d r 总与 反号，数值小于 。 球表面的油面上的束缚电荷： -r p(r) 另一解法：用 e 的高斯定理 r + + + + + + + + - - - - - - qq + + + - ds 练习五 *四、静电场的边界条件 在两种介质的分界面上 1、e 的切向分量连续 2、对无自由电荷的界面，d的法向分量连续 d线连续 e 的环流定理 证明： dl 介质1，1 介质2，2 d 的高斯定理 ds 介质1， 1 介质 2，2 n 5.4 电容器和它的电容 电容器是由两块彼此绝缘的导体板组成的电子元件，能储存电荷和电能。 纸质电容器陶瓷电容器 电解电容器钽电容器 可变电容器 一、电容器的电容 在充电过程中，q从0q，q增加，uab增加， 但比值不变，定义为： 孤立导体的电容 + + + + + + + + q u 决定因素：导体的几何尺寸、 形状、周围介质。 单位： 微法 皮法 q,u 孤立导体 【1】孤立导体球的电容 二）电容器的电容计算 电介质减弱了极板间的电场和电势差，电 容增加到r 倍。 2、平板电容器 3、球形电容器的电容 由两个同心金属球壳组成，内 外半径分别为ra，rb,球壳间 充满电介质 1)当b在无穷远处，a为孤立导体球， 2) 接近于平行板电容器 3 ) 近似为金属球 4、圆柱形电容器 由两个同轴的圆柱面极板组成， 半径分别为ra、rb，长为 ，极板间充满电介质 a ra + + + + + + + + + + rb b 2）求电容步骤： a）让导体带等量异性电荷并求其电场分布； b）求两极板间电压 c）用定义q/u求c 1）电容器的串联 c1c2 c3 c4 a b c d e 特点： u ae c三）电容器的联接 uae 同除q c 2）电容器的并联 特点： a b c1c2c3c4 u c a b u 同除uc 例1 平行板电容器两极板间距为d，面积为s ，在内部放一电介质厚度为t，相对介电常数 为 。已知稳定 ，求c，q 解：假设极板带电量为 ， 面密度为 ， 法二，可看作为两电容器串联 5.5 电容器的能量 一、带电系统的能量（电容器） + + + + + + + q r + dq 当带电量为q，相应电势 为v时，把一个dq移过来 需要做的功： 当带电体带电量为q的全部过程中 外力做功转化为带电体的能量 充电 a、b板带电量为q：从0q 移动dq外力作的功： 电容器的能量还可以这样计算： r ：正电荷板上dq处电势 ：负电荷板上dq处电势 【思考】公式中的dq包括束缚电荷吗？束缚电 荷对能量有贡献吗？ 电容器的能量： 以平板电容器为例说明 5.6 介质中电场能量密度 电场能量密度： 普适公式 电场能量密度： 电场能量： 1、各向同性、线性介质 在 e 相同的情况下，电介质中的电场能量 密度比真空中的增大到 r 倍 极化能。 （真空） 没有上述简单公式。对电介质所作极化功 ，只有一部分转化为极化能，另一部分转化 为热能。 2、各向异性电介质（d与e方向不同） 3、非线性有损耗的电介质 例1 计算球形电容器的能量。 已知ra、rb、q 解：场强分布 取体积元 例2 求一半径为r的均匀带电q