自动控制原理第二章控制系统的数学模型_2

1,数学工具拉普拉斯变换与反变换,一、 拉氏变换定义 设函数f(t)满足 t0时，f(t)分段连续 则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作 控制工程上函数都满足拉氏变换要求：能量有限,2,二、拉氏变换基本定理,1.线性定理：,2.延迟定理：,3.微分定理：,3,零初始条件：函数 f(t) 及其各阶导数的初始值都等于零,在零初始条件下，,5.初值定理：若函数 f(t) 及其一阶导数都是可拉氏变换的，则函数 f(t) 的初值为,4.积分定理：,4,注意：在运用终值定理前必须先判定终值定理中的条件是否都满足，比如,在虚轴上有极点,在右半平面上有极点,6.终值定理：若函数 f(t) 及其一阶导数都是可拉氏变换的，sF(s)在包含虚轴的右半平面内无极点，则函数 f(t) 的终值为,5,三、工程上典型函数的拉氏变换,时域上函数：f(t) 脉冲 (t) 单位阶跃 速度 加速度 指数 正弦,复数（S）域：F（s） 1,二阶响应 （01）,6,F(s)化成下列因式分解形式：,四、拉氏反变换,F(s)中具有不同的极点时，可（留数法）展开为,查表实现,7,例1 求 的原函数,将F(s)的分母因式分解为,8,F(s)含有多重极点时，可展开为,其余各极点的留数确定方法与上同。,9,例2 求 的原函数,10,第二章 控制系统的数学模型,2-1 线性微分方程的建立与求解 2-2 传递函数 2-3 控制系统的结构图及其等效变换 组成、等效变换、简化、Mason公式 2-4 自动控制系统例题,11,控制系统数学模型是对实际物理系统的一种数学抽象。 要对自动控制系统进行定量（精确）地分析和设计，首先要建立系统的数学模型。 数学模型：描述系统内部各物理量之间关系的数学表达式。 物理量：高度、速度、温度、压力、流量、电压、电流 。 描述方法：微分方程，传递函数，结构图，信号流图，频率 特性以及状态空间描述。 动态数学模型：系统变量对时间的变化率，反映系统的动态特性。 用微分方程描述,12,建模方法 ：分析法、实验法,分析法是对系统各部分的运动机理进行分析，根据系统运动规律（定律、经验公式）和结构参数，写出系统输入输出之间数学关系式（运动方程式）。,利用物理定律如牛顿定律、基尔霍夫电流、电压定律、能量守恒定律和热力学定律等。,13,实验法（黑箱法、辨识法）：人为施加某种测试信号，记录基本输出响应，根据输入输出响应辨识出数学模型或用适当的数学模型去逼近。,系统辨识（数学建模）是一门独立学科 方法：频率特性法 最小二乘法 (曲线拟合) 神经元网络法 模糊模型法,模型验证：将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近。,14,2-1 线性微分方程的建立与求解,1.线性系统的基本特征,性质或特征：满足叠加原理（叠加性、齐次性）,叠加原理表明：两个外作用同时加于系统所产生的总输出等于各个外单独作用时分别产生的输出之和。且外作用的数值增大若干倍时，其输出亦相应增大同样的倍数。,15,微分方程的建立步骤,第二步：联立各环节的数学表达式，消去中间变量，得到描 述系统输出、输入关系的微分方程。,第一步：将系统分成若干个环节，列写各环节的输出输入的数学表达式。,利用适当的物理定律如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等。,重点研究描述线性、定常、集中参（数）量控制系统的微分方程的建立和求解方法。,2、建立系统的微分方程,16,例2-1 如图所示，写出RLC电路的微分方程。,这是一个线性定常二阶线性微分方程,解：明确输入量 ， 输出量,第一步：环节数学表达式,第二步：消去中间变量,17,例2-2 求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。输入量为外力F，输出量为位移x。,解：图1和图2分别为系统原理结构图和质量块受力分析图。图中，m为质量，f为粘性阻尼系数，k为弹性系数。,根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下： 这也是一个两阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。 在国际单位制中，m,f和k的单位分别为：,控制系统的微分方程,18,相似系统和相似量：,我们注意到例2-1和例2-2的微分方程形式是完全 一样的。 这是因为：若令 （电荷），则例2-1式的结果变为：,可见，同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系统也可以有相同形式的数学模型。,相似系统和相似量,定义具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。 例2-1和例2-2称为力-电荷相似系统，在此系统中 分别与 为相似量。,作用利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟相对复杂的系统，实现仿真研究。,19,列写如图所示电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电枢电压Ua(t)为输入量，电动机转速m(t)为输出量，列写微分方程。图中Ra、La分别是电枢电路的电阻和电感，Mm为电磁转矩。,例2-3电枢控制直流伺服电动机,电,枢,控,制,直,流,电,动,机,原,理,图,教材P27,20,解：,电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压Ua(t)在电枢回路中产生电枢电流ia(t)，再由电流ia(t)与激磁磁通相互作用产生电磁转距Mm(t)，从而拖动负载运动。因此，直流电动机的运动方程可由以下两个部分组成。 电枢回路电压平衡方程 电动机轴上的转距平衡方程,21,ea 是电枢反电势，它是当电枢旋转时产生的反电势，其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与电枢电压ua(t)相反， Ce反电势系数(v/rad/s),电枢回路电压平衡方程：,22,电枢回路电压平衡方程：,23,电枢回路电压平衡方程：,-电枢电流产生的电磁转距,-电动机转距系数,fm-电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数,Jm转动惯量（电动机和负载折合到电动机轴上的）,24,电枢回路电压平衡方程：,、求出ia(t)，连同一起代入得：,25,电动机机电时间常数,在工程应用中，由于电枢电路电感La较小，通常忽略不计，因而可简化为,电动机的放大系数,26,例2-5：编写下图所示的速度控制系统的微分方程。,27,消去中间变量：推出 之间的关系： 显然，转速 既与输入量 有关，也与干扰 有关。,28,3、线性微分方程的求解,线性微分方程的求解方法：,解析法、拉普拉斯变换法、计算机辅助求解,拉普拉斯变换法求解微分方程基本步骤：,（1）考虑初始条件，对微分方程中的各项进行拉式变换，变成变量s的代数方程。,（2）由变量s的代数方程求出系统输出量的拉式变换式。,（3）对输出量的拉式变换式进行拉式反变换，得到系统微 分方程的解。,29,例2-6 设线性微分方程为,式中， 为单位阶跃函数，初始条件为 ， ，试求该微分方程的解。,解：,（1）对微分方程中的各项进行拉式变换得,（2）将初始条件代入上式，得,30,（3）对式（1）进行分解：,式中,对Y（S）进行拉式反变换（查表）,31,例2.7 设线性微分方程为,式中， 为单位阶跃函数，初始条件为零，试求 。,式中,教材例2.3，P19,32,非线性元件（环节）微分方程的线性化 在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。如果描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称该系统为线性定常系统，其最重要的特性便是可以应用线性叠加原理，即系统的总输出可以由若干个输入引起的输出叠加得到。,非线性环节微分方程的线性化,对于非线性方程，可在工作点附近用泰勒级数展开，取前面的线性项。可以得到等效的线性环节。,设具有连续变化的非线性函数为:y=f(x)，若取某一平衡状态为工作点，如下图中的 。A点附近有点为 ，当 很小时，AB段可近似看做线性的。,33,非线性环节微分方程的线性化,设f(x)在 点连续可微， 则将函数在该点展开为泰勒级 数，得：,若 很小，则 ，即 式中，K为与工作点有关的常数，显然，上式是线性方程， 是非线性方程的线性表示。为了保证近似的精度，只能在工 作点附近展开。,34,非线性环节微分方程的线性化,对于具有两个自变量的非线性方程，也可以在静态工作点附近展开。设双变量非线性方程为： ，工作点为 。则可近似为： 式中： ， 。 为与工作点有关的常数。,注意：上述非线性环节不是指典型的非线性特性（如间隙、库仑干摩擦、饱和特性等），它可以用泰勒级数展开。 实际的工作情况在工作点附近。 变量的变化必须是小范围的。其近似程度与工作点附近的非线性情况及变量变化范围有关。,35,例2-4：倒立摆系统,非线性环节微分方程的线性化,该系统由小车和安装在小车上的倒立摆构成。倒立摆是不稳定的，如果没有适当的控制力作用到它上面，它将随时可能向任何方向倾倒。这里我们只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图所在的平面内运动。 若有合适的控制力u作用于小车上可使摆杆维持直立不倒。这实际是一个空间起飞助推器的姿态控制模型(姿态控制问题的目的是要把空间助推器保持在垂直位置)。,设小车和摆杆的质量分别为M和m，摆杆长为 ，且重心位于几何 中点处，小车距参考坐标的位置为 ，摆杆与铅垂线的夹角为 ， 摆杆重心的水平位置为 ，垂直位置为,36,画出倒立摆系统隔离体受力图,非线性环节微分方程的线性化,设摆杆和小车结合部的水平反力和垂直反力为H和V，略去摆杆与小车、小车与地面的摩擦力。可得方程如下：,摆杆围绕其重心的转动运动 ,式中J为摆杆围绕其重心的转动惯量， 为垂直力关于其重心的力矩， 为水平力关于其重心的力矩。,摆杆重心的水平运动 ,摆杆重心的垂直运动 ,小车的水平运动 ,37,因为在这些方程中包含 和 ，所以它们是非线性方程。,非线性环节