测不准原则与第二次数学危机.doc

测不准原则与第二次数学危机兼评曹俊云、杨键辉的著作摘要 物体按照某一瞬时速度运动的时段长是不是0呢？这是一个只能根据测不准原则进行回答的问题。在测不准原则下的数轴，只能是与实数一一对应的数轴，而不是与超实数一一对应的数轴。因此，含有实无穷小数的超实数域的提出没有实践根据；非标准分析不可能成为未来的数学分析。关键词 测不准原则；近似点；理想点；真值；测定值；近似数轴；理想数轴 中图分类号 O172.1Principle of uncertainty to measure and the second mathematical crisisAbstract: Is 0 or not is 0 of that length of time segment of instantaneous of which body movement according on some one instantaneous velocity? This is a question of which answer only by principle of uncertainty to measure. By the principle of uncertainty to measure, the number axis only is that number axis of possess one to one correspondence to real number, and is not the hyper real number axis of which possess one to one correspondence to hyper real number. Therefore, the hyper real number have not basis to practice; and the non-standard analysis could not become the mathematical analysis in future. Keywords: principle of uncertainty to measure; approximation point; ideal point; true value; measured value; approximation number axis; ideal number axis 1问题的提出 看了曹俊云、杨健辉合著的全能近似分析数学理论基础及其应用，初步感觉是：虽然该书有很多问题，但该书确实提出了一些数学理论建立的新方法与新观点。本文只想谈谈第二次数学危机的问题。曹俊云1962年发现“物体按照它的某一个瞬时速度运动的时段长是否为0”的问题1 曹俊云 杨键辉 合著 全能近似分析数学理论基础及其应用M. 北京中国水利水电出版社2009，2，3.，53，55-57.。具体说来，这个问题是：将自由落体运动的表达式 （1-1）对时间求导数，即可以得瞬时速度。于是，在时的瞬时速度就为。现在的问题是，若问：物体按照这个速度运动的时段长是不是0呢？很显然，这是一个“既不能回答说是0，又不能回答说不是0”的、形式逻辑所无法回答的问题。事实上，如果回答说是0，那么就意味着物体没有按照这个速度运动，这显然是不对的。而如果回答说不是0，那么它究竟等于多少呢？此时又面临着“用任何正实数表示这个时段长度又都不合适，亦即不能用任何正实数去表达物体按照这个速度运动的时段长”的问题 1 。为了解决这个问题，曹俊云首先想到的是把实数域扩充为包括实无穷小数的非标准分析数域；其中正无穷小数是大于0而又小于一切正实数的数。这样扩充实数之后，可以说：物体按照瞬时速度运动的时段长是一个正无穷小数；但这样扩充实数域之后，又出现“物体在扩充实数域的各个时刻上的瞬时速度是什么？”的新的麻烦问题。1980年前后曹俊云参加过几次介绍非标准分析的学术会议，但在非标准分析中也没有找到上述瞬时速度问题的解决方法。不仅如此，在非标准分析学习过程中，曹俊云还发现：非标准分析与现行数学分析（或称标准分析）有矛盾。这个矛盾实质就是“无穷小究竟是什么？”的第二次数学危机问题。事实上，牛顿创立微积分学的时候，提出了“流数法”，并遭到贝克莱的攻击，这就是人们所说的第二次数学危机。这个危机的实质是：“无穷小是什么？”“微分是什么？”的争论问题，到了柯西的时候，把无穷小解释为“以0为极限的变数”，但二十世纪，在A.鲁宾逊的非标准分析中无穷小又被看作是一种定数（即实无穷小数）2 陆传务 余明曦等译 A. 鲁宾逊著 非标准分析武汉 华中工学院出版 1978，2，35-36。这样就出现了“无穷小究竟是变数还是定数？”、“实数域能不能扩充？”的问题。这两个个问题可以说是第二次数学危机的继续。经过五十年的反复研究之后，曹俊云认为：第一，纯形式逻辑无法解决上述问题；第二，必须承认实践是数学理论的基础，必须使用测不准原则与唯物辩证法来解决上述问题。2测不准原则与瞬时速度的问题现行的数学理论不提测不准原则，它们不加分析地认为：任何一个直线段都有一个实数表示其长度。但曹杨的著作（即曹俊云与杨健辉合著的全能近似分析数学理论基础及其应用）不是这样的。在曹杨的著作的引论中就指出：“对于线段长度，人们无法得到真值的绝对准确地测定方法，这是必须尊重的事实，也是一个原则，并称尊重这个事实的原则为测不准原则。” 1 曹杨的著作中称“这一原则可以作为建立数学理论的第一公理” 1。 根据这个原则，我们应当知道：任何线段都有一个真值为其理想长度，但是，我们却没有找到线段长度真值的绝对准测量方法。由于“在绝对准意义下，时间与空间坐标是不能在绝对准要求下测出的；所以不能在绝对准意义下，讨论一个理想时刻处的瞬时速度”。 事实上，在量子力学中的有测不准关系3 黄宏荃 彭 灏 译苏 .瑞德尼克 著量子力学史话M，科学出版社1979, 87-90： （2-1）根据这个关系，都不能为零. 这说明：按照“绝对准方式”讨论的物理意义是行不通的。按照近似方法，我们可以回答说：自由落体近似地按照瞬时速度运动的时段长，是包含了的一个足够小的时段。即下落物体在包含的一个足够小的时段上近似地按照速度下落。但不能在“绝对准意义下”讨论时刻的瞬时速度； 因为：按照（2-1）式，当时，就成为无穷大了。3 测不准原则与直线段的长度”上一节的讨论说明：上述瞬时速度问题的解决必须使用测不准原则与近似方法，那么绝对准方法与无理数是不是就不需要了?也不是。事实上,对于直线段长度的研究，就必须提出真值的概念.。曹杨的著作中就指出:“对线段长度就需要提出理想长度(即真值)、近似长度(测定值应当看作是具有一定误差界的近似长度)两个术语。 理想长度与近似长度之间有着相互依赖的对立统一关系：若没有理想长度，那么近似长度就失去了与之近似的对象；反之，没有近似长度，理想长度的数字表示就无法得到。”1 曹杨的这种说法，可以说是：使用了对立统一法则的说法。也是数学著作中前所未有的新说法。至于线段长度与测量工作的关系，曹杨的著作在引论中谈了这个问题。在尊重测不准原则下，只能在一定误差界下进行线段长度的测量工作，这时得到的线段长度的近似值，只用有尽小数就可以了，不需要无理数。但这个测定值只是线段长度的近似值。至于理想长度，在曹杨的著作中是使用公理方法提出的。这条公理如下。“公理0.1 当测量误差界时，线段长度的测定值序列的极限，叫做线段长度的真值(即理想长度)。”1这条公理把线段长度的真值与测不准原则联系起来了，使得可以在尊重测不准原则下，讨论线段长度的真值。曹杨的这种做法，也是在数学著作中前所未有的新方法与新观点。4实数要不要扩充为超实数的问题在非标准分析再版序言中，Gdel教授指出：“我们有充分理由相信，不论从哪方面看，非标准分析将会成为未来的数学分析”2。这说明：非标准分析与现行数学分析两者之中哪一个成立,哪一个有理的问题是一个争论者的问题。争论的焦点就在于： 实数域要不要扩充为包括实无穷小数的超实数域的问题。关于这个问题，文献4中评论到：“我们不要为实数的名称所愚弄，实数集纯粹是数学家的创作，它可以是也可以不是现实空间中直线的精确写照. ，我们无法识别现实空间中的直线真正是什么，它可以是超实数线、实数线或者两者都不是。”4 H. Jerome Keisler著美. Elementary CalculusM.(ISBN 0-87150-213-5), Printed in the United States of America, 1976，1，28 究竟如何，在曹杨的著作中认为：必须从测量的实际工作中研究这个问题。 根据测不准原则，从测量的实际情况出发，在曹杨的著作中首先提出，直线上有大小的近似点与有尽小数对应的近似数轴。近似数轴有误差，再让误差界取向于0，可得理想实数与没有大小的理想点一一对应的理想数轴1。在提出近似数轴与理想数轴之前，在曹杨的著作中不仅提出了有大小的近似点与没有大小的理想点相互依赖的对立统一关系，而且改革了实数理论。在这个改革的实数理论中，所有无尽小数都被认为是无穷数列的简写，它们不是定数，而是变数；它们的极限才是定数（有理数或无理数）。 从这个改革后的数轴概念来看，直线是：其上的点与实数一一对应的实数线是有测量