柯西收敛准则的3种不同证法.doc_第1页
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柯西收敛准则的不同证法方法一:用定理2证明柯西收敛准则证明：必要性:易知，当 an 有极限时(设极限为a)， an 一定是一个柯西数列。因为对任意的0，总存在N(N为正整数)。使得当n ，mN时，有| an -a| ， | am -a| an - am | an -a|+| am -a| N0 时有| an aNo+1 | N0 时| an | aNo+1 |+1即 an 有界。不妨设 an a ，b，即aanb，我们可用如下方法取得 an 的一个单调子列 ank ：(1)取 ank an 使a，ank 或ank ，b中含有无穷多的 an 的项；(2)在a，ank 或ank，b中取得ank+1 an 且满足条件(1)并使nk+1nk；(3)取项时方向一致，即要么由ab要么由ba。由数列 an 的性质可知以下三点可以做到，这样取出一个数列 ank an 且 ank 是一个单调有界数列，必有极限设为a，下面我们证明 an收敛于a。因为ank =a,则对0， 正整数K，当k K时| ank -a|N时有| an am |N以及 k+1 k。所以当n N时| an -a| an am |+| am -a|0，存在N 0，使得当n ， m N时，有| xn xm | (1)令yn =sup xn+p | p =1，2，zn =inf xn+p | p =1，2，显然，yn是单调递减数列，zn是单调递增数列。取M =max x1，x2 ， ，xN, xN +1。由(1)，不难知xnM， n =1，2，。于是，yn和zn都是有界数列。根据单调有界原理，yn和zn都是收敛数列。不妨设 yna zn bn (2)由yn和zn的构造以及(1)，我们有znxnyn n =1，2， (3)yn-zn N (4)于是由(4)，有a-b，而是任意正数，因此a = b (5)最后，根据(2)，(3)和(5)，我们有xna (n)。这就完成了证明。方法三:用定理4证明柯西收敛准则证明：必要性是显然的。下面只证充分性。根据条件，对=1，存在n0，当n ，m n0时，有| xn xm | 1。于是| xn | xn xn0+1 |+| xn0+1 |1+| xn0+1|。令M=max| x1|，x2,，| xn0 |，1+| xn0+1|，则| xn|M(n=1，2，)，故 xn 有界。因此存在收敛子列 xnk ，
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